高等数学之一--关于矩阵的习题省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,习题课矩阵,1/21,P99,第10题,设A为n阶方阵,而且A,k,=O,试证E-A可逆,而且,证实:若n阶方阵A满足AB=E,则A可逆.,所以A-E可逆,而且(E-A),-1,=E+A+A,2,+,+A,k-1,2/21,第11题,设,A,为,n,阶方阵,且满足,A,2,+2,A,-3,E,=,O,证实,(1),A,可逆,并求,A,逆.,(2),A,-2,E,可逆,并求(,A-2E,)逆.,证实:(1),所以,A,可逆,而且,3/21,所以(,A,-2,E,)可,逆,而且,(2),4/21,第15题,已知为方阵,B,满足,AB,=,A,+,B,求矩阵,B,其中,解:,AB,=,A,+,B,(,A,-,E,),B,=,A,.能够用矩阵方程行初等变换方法计算,B,.,5/21,所以,第16题,已知,且矩阵,B,满足,A,2,-,AB,=,E,求矩阵,B,.,解法一:因为,A,2,-,E,=,AB,所以,B,=,A,-1,(,A,2,-,E,).,解法二:因为,AB,=,A,2,-,E,能够用矩阵方程初等变换方法计算,B,.,(,A,A,2,-,E,),行初等变换,(,E,B,),6/21,第17题,设,A,是,n,阶方阵,B,是,n,r,矩阵,且,r,(,B,)=,n,.,试证:(1)假如,AB,=,O,那么,A,=,O,;,(2),AB,=,B,那么,A,=,E,.,解:(1),因为,AB,=O,(,AB,),T,=,B,T,A,T,=,O,又,r(B)=n,所以,r,(,B,T,)=,n,.所以矩阵方程,B,T,A,T,=,O,(齐次线性方程组矩阵形式),A,T,仅有零解.即,A,T,全部元素为零.即,A,T,=O,所以,A=O,.,(2),因为,AB=B,(A-E)B=O,依据(1)则,A-E=O,即,A=E,.,7/21,第18题,设,A,B,是两个,n,阶反对称矩阵,则,(1),A,2,是对称矩阵.,(,2),AB=BA,时,AB,是对称矩阵.,解,:(1),(A,2,),T,=A,T,A,T,=(-A)(-A)=A,2,所以,A,2,是对称矩阵.,（2）（,AB）,T,=B,T,A,T,=（-B)(-A)=BA=AB,.,所以,AB,是对称矩阵,8/21,例题,:,设,n,阶方阵,A,伴随矩阵为,A,*,证实：,（1）若,|A|,0，则,|A,*,|,0。,（2）|,A,*,|,A|,n,1,。,证实：由伴随矩阵定义显然有,AA,*,=A,*,A=|A|E,n,两边取行列式即得,|A|A,*,|=det(|A|E,n,)|A|,n,故当|,A,|不等于0时，（2）是显然。,而只要我们证实了（1），则（2）对于,|,A,|0,矩阵,A,也是成立。下面我们证实（1）。,9/21,(反证法）假设则|,A,*,|,0，则,A,*,可逆，于是在,AA,*,=|A|E,n,两边右乘,(A,*,),1,有,A|A|E,n,(A,*,),1,O,（因为,|A|,0），,所以,A,伴随矩阵,A,*,应该为,O,。与假设矛盾！,10/21,例,设,A,为,n,阶方阵满足,A,2,A2E,O，,证实,A,和,A2E,均可逆，求它们逆矩阵。,解:由,A,2,A2E,O,易得,(AE)A=2E,即,(AE)A=E,.,故由逆矩阵定义可得,A,可逆，且,类似可求得,(A2E)(A3E)=4E,.,即,11/21,第19,证实:(1)非奇异对称(反对称)矩阵,A,逆依然是对称(反对称)矩阵;,(2)奇数阶反对称矩阵必不可逆.,解:,(1)因为,A,是非奇异,并对称矩阵.,A,可逆,且,(A,-1,),T,=（A,T,),-1,=A,-1,由定义可知A,-1,也是对称矩阵.,同理可证反对称句阵情况.,(2)设A为反对称矩阵,则,A,T,=-A,A,T,=-A=(-1),n,A=A,(行列式性质1),当,n,为奇数时,-A=A 则2 A=0,所以A=0,即A不可逆.,12/21,第20题,设n阶方阵A可逆,将A第,i,行与第j行元素交换后得到B.(1)证实B可逆;(2)求AB,-1,.,解,:(1)依据已知条件,有E(,i,j,)A=B(*)(E(,i,j,)是初等矩阵).,又A可逆,所以A,行初等变换,E,即 P,s,P,2,P,1,=A,代入(*)式:E(,i,j,)P,s,P,2,P,1,=B,即 P,1,-1,P,2,-1,P,s,-1,E(,i,j,),-1,B=E,B,行初等变换,E,所以B可逆.,(2)E(,i,j,)A=B,E(,i,j,)AB,-1,=E,AB,-1,=E(,i,j,),-1,=E(,i,j,),13/21,第22题,为n阶非零实矩阵,若,a,ij,=A,ij,其中 A,ij,元素,a,ij,代数余子式(i、j=1，2,.n)，证实A,O。,证实：用反证法。假设,A=O，即,这与A为n阶非零实矩阵矛盾，,所以AO。,14/21,证实:,因为,r(A)=r,矩阵A=(,a,ij,),mn,则,第23题,设A是秩为 r m,X,n矩阵,证实A必可表示,成秩为1,m,X,n,矩阵之和.,即存在m阶可逆矩阵P,1,及n阶可逆矩阵Q,1,使,15/21,所以,其中,因为P,Q均可逆,所以,第24题,设实对称矩阵A满足A,2,=O,证实A=O.,证实:用数学归纳法证实,当n=2时,因为A是实对称矩阵,16/21,假设n-1时结论成立,即,所以n=2时结论成立.,n时,所以n时,矩阵A=O.因而结论成立.,17/21,第25题,设A为二阶矩阵,A,2,=E,AE,证实,r(A+E)=r(A-E)=1.,证实:A为二阶矩阵,并A,2,=E 所以,A,2,-E=O,即(A+E)(A-E)=O,又A+E,O,A-E,O,所以r(A+E)O,r(A-E),O.以下用反证法,假设r(A+E)1(或r(A-E),1),只有r(A+E),=2(或,r(A-E)=2),(A+E)(A-E)=O (看成矩阵方程AX=O)中,A+EO,则(A-E)=O 与A,+,E,矛盾.所以,r(A+E),=,1,.,同理r(A-E),=,1.,18/21,第26题,设A为mXn矩阵,且mn,证实,A,T,A=O,证实:A,mXn,且mn,A,T,A=B,nn,r（,）min(r(A,T,),r(A),(依据定理2.6),r(A,T,),m,r(A)m,又mn,因而 r（,）,mn,所以,=,B,nn,=,0,19/21,例题,设3阶方阵A=满足,解:,(1)设,20/21,21/21,