1、*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,一、数学期望概念,二、数学期望性质,三、随机变量函数数学期望,四、小结,第一节 数学期望,第1页,引例1,分赌本问题(产生背景),A,B,两人赌技相同,各出,赌金100元,并约定先胜三局者为,胜,取得全部 200 元.因为出现意,外情况,在,A,胜 2 局,B,胜1 局时,不得不终止赌博,假如要分赌金,该怎样分配才算公平?,一、数学期望概念,第2页,A,胜 2 局,B,胜 1 局,前三局:,后二局:,把已赌过三局(,A,胜2局
2、,B,胜1局,)与上述结果,相结合,即,A,、,B,赌完五局,A A,A,B,B,A,B B,A,胜,B,胜,分析,假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:,A A,A,B,B,A,B B,A,胜,B,负,A,胜,B,负,A,胜,B,负,B,胜,A,负,B,胜,A,负,A,胜,B,负,B,胜,A,负,B,胜,A,负,第3页,所以,A,能“,期望,”得到数目应为,而,B,能“,期望,”得到数目,则为,故有,在赌技相同情况下,A,B,最终获胜,可能性大小之比为,即,A,应取得赌金 而,B,只能取得赌金,第4页,因而,A,期望所得赌金即为,X,“,期望,”值,等于,X,可能值与其概率之积累加,.,即为
3、,若设随机变量,X,为:在,A,胜2局,B,胜1局前提,下,继续赌下去,A,最终所得赌金.,则,X,所取可能值为:,其概率分别为:,第5页,设某射击手在一样条,件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中环数是一个随机变量).,射中次数统计以下,引例,2,射击问题,试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?,命中环数,k,命中次数,频率,第6页,解,平均射中环数,设射手命中环数为随机变量,Y,.,第7页,平均射中环数,频率随机波动,随机波动,随机波动,稳定值,“,平均射中环数”,稳定值,“,平均射中环数”,等于,射中环数可能值与其概率之积累加,第8页,1.离散型随机变量数学期望,第9页,分赌本问题,A,期
4、望所得赌金即为,X,数学期望,射击问题,“平均射中环数”应为随机变量,Y,数学期望,第10页,关于定义几点说明,(3)随机变量数学期望与普通变量算,术平均值不一样.,(1),E,(,X,)是一个实数,而非变量,它是一个,加,权平均,与普通平均值不一样,它从本质上表达,了随机变量,X,取可能值,真正平均值,也称,均值.,(2),级数绝对收敛性,确保了级数和不,随级数各项次序改变而改变,之所以这么要,求是因为数学期望是反应随机变量,X,取可能值,平均值,它不应随可能值排列次序而改变.,第11页,随机变量,X,算术平均值为,假设,它从本质上表达了随机变量,X,取可能值平均值.,当随机变量,X,取各个
5、可能值是等概率分布时,X,期望值与算术平均值相等.,第12页,试问哪个射手技术很好?,实例1,谁技术比很好?,乙射手,甲射手,第13页,解,故甲射手技术比很好.,第14页,实例,2,发行彩票创收利润,某一彩票中心发行彩票 10万张,每张2元.设头等奖1个,奖金 1万元,二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个,奖金各1千元;四等奖100个,奖金各100元;五等奖1000个,奖金各10 元.每张彩票成本费为 0.3 元,请计算彩票发行单位创收利润.,解,设每张彩票中奖数额为随机变量,X,则,第15页,每张彩票平均可赚,每张彩票平均能得到奖金,所以彩票发行单位发行 10 万张彩票创收利润为,第
6、16页,实例,3,怎样确定投资决议方向?,某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功机会为 30%，可得利润8万元，失败机会为70%，将损失 2 万元若存入银行，同期间利率为5%，问是否作此项投资?,解,设,X,为投资利润，则,存入银行利息:,故应选择投资.,第17页,实例,4,商店销售策略,第18页,解,第19页,第20页,实例,5,分组验血,第21页,解,第22页,第23页,第24页,到站时刻,概率,实例,6,第25页,解,第26页,第27页,2.连续型随机变量数学期望定义,第28页,解,所以,用户平均等候,5,分钟就可得到服务,.,实例,7,用户平均等候多长时间?,设用户在某银行窗口等
7、候服务时间,X,(,以分计,),服从指数分布,其概率密度为,试求用户等候服务平均时间,?,第29页,1.设,C,是常数,则有,证实,2.设,X,是一个随机变量,C,是常数,则有,证实,比如,二、数学期望性质,第30页,4.设,X,Y,是相互独立随机变量,则有,3.设,X,Y,是两个随机变量,则有,证实,说明,连续型随机变量,X,数学期望与离散型随机变量数学期望性质类似.,第31页,解,实例,8,第32页,第33页,1.离散型随机变量函数数学期望,解,三、随机变量函数数学期望,设随机变量,X,分布律为,第34页,则有,所以离散型随机变量函数数学期望为,若,Y,=,g,(,X,),且,则有,第35页,2.连续型随机变量函数数学期望,若,X,是连续型,它分布密度为,f,(,x,),则,3.二维随机变量函数数学期望,第36页,第37页,解,实例,9,设(,X,Y,)分布律为,第38页,因为,第39页,第40页,实例,10,第41页,解,第42页,第43页,实例,11,解,第44页,所以期望所得为,第45页,第46页,利用软件包求解,并演示计算结果.,单击图形播放/暂停 ESC键退出,第47页,四、小结,数学期望是一个实数,而非变量,它是一个,加权平均,与普通平均值不一样,它从本质上表达了随机变量,X,取可能值,真正平均值,.,2.数学期望性质,第48页,
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