基于马科维茨投资组合模型的深交所最优投资组合研究与实证分析.pdf

收稿日期:2023-03-13基金项目:徐州市推动科技创新专项资金项目(KC16SQ183)作者简介:吴伟力(1979),男,副教授,主要从事高等教育、应用数学研究.第 38 卷第 2 期徐 州 工 程 学 院 学 报(自 然 科 学 版)2023 年6 月Vol.38 No.2Journal of Xuzhou Institute of Technology(Natural Sciences Edition)Jun.2023基于马科维茨投资组合模型的深交所最优投资组合研究与实证分析吴伟力,赵柳悦(徐州工程学院 数学与统计学院,江苏 徐州 221018)摘要:为减少投资带来的非系统性风险,针对选取的深圳交易所 A 股 ZK、ZC、PA、GY 4 只股票,运用马科维茨投资组合模型分析计算,最终发现证券市场的投资规律,并给予散户贴近实际的投资建议.关键词:马科维茨投资组合模型;股票;无风险资产;风险资产中图分类号:O212.4;F832.51 文献标志码:A 文章编号:1674-358X(2023)02-0017-12随着我国经济快速发展,人民生活水平得到很大程度的提升,累积的财富也越来越多.根据国家统计局给出的数据,20172021 年我国人均可支配收入呈现不断增长之势.2020 年底全国居民人均可支配收入32 189 元,到 2021 年底全国居民人均可支配收入 35 128 元,比 2020 年实际增长 8.1%.我国金融市场的日益完善,促进了中国国民证券投资欲望.证券投资是指投资者买卖股票、债券、基金券等有价证券的衍生品,来获取差价、利息以及资本利润的投资行为和投资过程.证券投资,是通过证券市场的买卖活动得以实现的.目前,中国(本文统计不含香港、澳门、台湾地区)有三家证券交易所.即 1990 年 11 月 26 日成立的上海证券交易所;1990 年 12 月 1 日成立的深圳交易所;2021 年 11 月 15 日习近平在中国国际服务贸易交易会全球服务贸易峰会宣布成立的北京证券交易所.证券市场又可分为一级市场和二级市场;一级市场又称发行市场,是筹资人发行新证券时,由投资人、筹资人和发行人(一般是投资银行)共同组成的市场;二级市场是证券发行以后转让流通的市场.二级市场上证券买卖的价格称为证券行市,其等于预期的当期证券收益与市场利率之比.二级市场还可以根据交易组织形式的不同,进一步分为证券交易所和店头交易市场(简称 OTC 市场).截至 2021 年 8 月 31 日,深圳交易所共有上市公司 2 492 家,总市值约 37 万亿元;挂牌债券 9 067 只,挂牌面值 2.8 万亿元;挂牌基金 502 只,资产规模 2 844 亿元;沪深 300ETF 期权累计成交 1.3 亿张,成交面值6.3 万亿元.2020 年,深市股票成交金额122.8 万亿元,股票融资额5 638 亿元,固收产品融资额1.9 万亿元.据世界证券交易所联合会 2020 年 12 月 31 日统计,深市成交金额、融资金额、股票市价总值分别位列世界第三、第四和第七位.1952 年,马科维茨在金融杂志上发表题为资产组合选择 投资的有效分散化一文,堪称现代金融理论史上的里程碑,标志着现代组合投资理论的开端.该文最早采用风险资产的期望收益率(均值)和方差(或标准差)代表风险来研究资产组合和选择问题.市场状况不同的几只股票组合投资,不再仅仅依赖于单只股票的风险,而是受到组合风险的影响.这一影响可以通过资产组合之间的协方差来进行衡量,根据资产组合之间协方差,可以找到风险最小的投资组合方案,为理性投资者的决策提供科学依据.夏雪1以马科维茨投资理论为基石,选取上证综合指数中具有市场代表的 4 个证券,验证了马科维茨投资组合模型在投资中的作用.胡语文2指出 A 股在疫情过后有望出现牛市行情.基于此,本文运用马科维茨投资模型对深圳交易所的金融产品进行研究,以期为理性投资者提供理论借鉴和操作指导.711 研究综述证券市场获取收益的同时往往伴随风险,个人理财投资管理中,大部分人会选择组合投资.大家在管理个人投资行为时,一般会选择分散投资来减少非系统风险,在更低投资风险下获得相对更高的预期收益.如何运用马科维茨投资模型对金融产品进行投资实证,已有较多研究.陈骏兰3认为,投资者在确定投资组合时,需要使用可靠的投资组合模型来量化投资风险与预期收益的关系,实现资产增值.曾颖苗等4 指出,马科维茨投资组合模型可以通过股票的收益率、协方差矩阵得到有效的投资组合.王淑燕等5 将马科维茨投资组合模型运用到风险资产与无风险资产的比例分配中,为家庭资产分配提出更贴切的建议.吴昆晟 6 认为,马科维茨投资组合模型在 A 股市场中既有一定的应用价值,又存在一些不足之处.组合投资有利于降低投资的总体风险,同时剔除市场上较低收益率却高风险的资产.但是模型的成立建立在有效市场、无交易费用、理想化投资者三个预设条件下的,根据模型做出投资决策的可能性也将大大降低.姜青舫等7认为马科维茨投资组合模型混淆了经济和数学的概念,以方差大小衡量投资风险不够严谨.李洋等8指出,虽然马科维茨模型存在一定程度的缺陷,但是根据实际情况进行适当修改,也可以应用到我国的证券市场.2 马科维茨投资组合模型2.1 模型概述投资者将一笔给定的资金在一定时期进行投资,期初购买证券,期末卖出.那么,在期初就要决定购买哪些证券以及资金在这些证券上如何分配,也就是说投资者需要在期初从所有可能的证券组合中选择一个最优的组合.这时投资者的决策目标有两个:尽可能高的收益率和尽可能低的不确定性风险.最好的目标应是使这两个相互制约的目标达到最佳平衡.由此建立起来的投资模型即为马科维茨投资组合模型.证券及其他风险资产的投资首先需要解决的是两个核心问题:即预期收益与风险.那么如何测定组合投资的风险与收益和如何平衡这两项指标进行资产分配是市场投资者迫切需要解决的问题.正是在这样的背景下,在 50 年代和 60 年代初,马科维茨理论应运而生.马科维茨投资组合模型,运用了分析学、概率论方面的知识,为投资学提供了定量分析证券市场的方法,与传统的个人感知、定性分析相比较而言更加令人信服.在马科维茨的理论中,优秀的投资不仅关注投资的期望收益率,投资存在的风险性也同样值得投资者考量.马科维茨投资组合模型同时兼顾了期望收益率与风险的问题,其实这是一个二次规划问题.当收益率一定时,风险更小的投资组合将成为投资者的第一选择;当风险一定时,收益率越高,该投资组合越优9.根据马科维茨模型的概述图(图 1)可以发现,组合内的股票数量越多,组合投资的风险就越小,即分散投资对降低风险的作用效果越明显.图 1 投资风险概述图2.2 马科维茨投资组合模型的建立本文用均值表示投资组合的期望收益率,用投资组合收益率的方差衡量实际收益率与均值的偏差(风险).投资组合期望收益率81徐州工程学院学报(自然科学版)2023 年第 2 期E(Rp)=4i=1iE(Ri),(1)式中:E(Rp)是投资组合期望收益,i是第 i 个资产所占的投资比例,E(Ri)是第 i 个资产的期望收益.投资组合风险2p=4i=12i2i+24i=14j=1ijij,(2)式中:2p是投资组合的方差,2i是第 i 个资产的方差,i是第 i 个资产所占的投资比例,ij是资产 i 和资产 j的协方差.至此,问题转化为给定组合的期望收益,使得组合方差最小10.min 2=4i=14j=1ijij,s.t.E(Rp)=4i=1iE(Ri),4i=1i=1.(3)本文选择了深圳交易所 A 股中电子元器件制造业的 ZK、航空装备板块的 ZC、金融行业中的 PA 以及互联网医疗中的 GY 作为样本案例;分别提取这 4 只股票从 2022 年 1 月 1 日2022 年 12 月 31 日的每个交易日的收盘数据进行实证分析.3 马科维茨投资组合模型的求解3.1 SPSS 软件对 4 只股票的初步分析利用 SPSS 软件计算 4 只股票的相关系数11.相关系数表明股票两两之间关系密切程度的统计指标.同时,股票之间的相关系数也影响投资组合模型的方差大小.2 只股票之间的相关系数越小,则 2 只股票的投资组合方差或标准差越小,即投资分散化的效果越好.相关性系数的符号是对 2 只股票的定性分析.当相关性系数大于 0 时,则正相关;当相关性系数小于 0 时,则负相关.表 1 是 ZK、ZC、PA、GY 的相关系数.表 1 4 只股票的相关系数股票ZKZCPAGYZK10.517-0.421-0.291ZC0.51710.0330.039PA-0.4210.03310.288GY-0.2910.0390.2881如表 1 所示:以 PA 为例,选取的 4 只股票中 ZC 和 GY 与 PA 呈现正相关关系,ZK 与 PA 呈现负相关关系.对于相关系数的绝对值而言,ZK 和 PA 的相关性系数的绝对值较大,即表明 2 只股票的投资分散效应比较弱;ZC 和 PA 的相关性系数绝对值较小,即表明 2 只股票的投资分散效应较强.利用收盘数据使用 SPSS计算 4 只股票的方差和标准差,结果如表 2 所示.表 2 4 只股票的方差与标准差股票方差标准偏差ZK82.3809.076 35ZC7.3942.719 21PA3.2721.808 99GY7.7802.789 3191吴伟力,等:基于马科维茨投资组合模型的深交所最优投资组合研究与实证分析 图 2 4 只股票风险排名根据表 2 数据及马科维茨投资组合模型,标准差越大表明该股票的投资风险越大、投资的收益波动较为明显、投资者的收益稳定性越差.ZK 的标准差 9.076 35 是 4 只股票中最大的,投资风险性最大,收益波动大、稳定性差.PA 的标准差1.808 99 是 4 只股票中最小的即投资风险性最小,收益波动小、稳定性好.ZC 与 GY 的标准偏差相近,风险性差别不大.根据标准差可以得到 4 只股票的风险排名:ZKGYZCPA.通过 SPSS 软件计算出 4 只股票之间的协方差.当协方差越大时,2 只股票之间的相关性就越强,投资风险也越大.当协方差为正数时,则表现为一只股票盈利,另一只股票亏损;当协方差为负数时,则表现为两只股票同时盈利或同时亏损;当协方差为 0 时,说明股票之间的组合没有相关性.4 只股票之间的协方差如表 3 所示.表 3 4 只股票之间的协方差股票ZKZCPAGYZK82.38012.757-6.913-7.379ZC12.7577.3940.1610.293PA-6.9130.1613.2721.453GY-7.3790.2931.4537.780如表 3 所示:ZK 与 ZC 的协方差为正数,投资者进行投资后表现为同时盈利或同时亏损.ZK 与 PA 和GY 的协方差为负数,表现为一只股票盈利,另一只股票亏损.当 ZK 盈利、亏损的情况下得到图 3、图 4 的 3 种情况,图中 a 表示盈利,b 表示亏损.图 3 ZK 盈利情况下的 3 种股票盈亏图图 4 ZK 亏损情况下的 3 种股票盈亏图假设 ZK 当天是盈利的,则有图 3 的 3 种情况:第 1 种,ZC 盈利、PA 和 GY 亏损;第 2 种,ZC、PA 和 GY都盈利;第 3 种,ZC、PA 和 GY 都亏损.假设 ZK 当天是亏损的,则有图 4 的 3 种情况:第 1 种,ZC 亏损、PA 和GY 盈利;第 2 种,ZC、PA 和 GY 都亏损;第 3 种,ZC、PA 和 GY 都盈利.3.2 MATLAB 在投资组合中的应用3.2.1 针对风险资产的研究将 4 只股票的收盘价导入到 MATLAB 中,得到 4 只股票的历史收盘价折线图 59.02徐州工程学院学报(自然科学版)2023 年第 2 期 图 5 ZK图 6 ZC 图 7 PA图 8 GY 用 price2ret 函数将资产价格转化为 4 只股票的资产收益率见图 9.运用 MATLAB 金融工具箱,将 4 只股票的投资风险和期望收益率可视化得到图 10.图 9 4 只股票的资产收益率图 10 风险与期望收益率如图 10 所示,横轴是 4 只股票的收益率的标准差,即投资风险,纵轴表示 4 只股票的期望收益率.每一12吴伟力,等:基于马科维茨投资组合模型的深交所最优投资组合研究与实证分析个点表示一只股票.其中,ZK 的投资风险是 0.480 62,期望收益率为 0.044 679;ZC 的投资风险是 0.400 05,期望收益率为 0.187 31;PA 的投资风险是 0.398 94,期望收益率为 0.357 17;GY 的投资风险是 0.514 51,期望收益率为 0.596 73.风险与期望收益率见表 4.表 4 风险与期望收益率股票名称风险期望收益率ZK0.480 620.044 679ZC0.400 050.187 310PA0.398 940.357 170GY0.514 510.596 730有效边界是在收益、风险约束条件下能够以最小风险取得最大收益的各种证券的集合.如图 11 所示,横坐标表示风险,纵坐标代表收益,曲线上任意一点代表一种可行的组合证券,每一组合证券所提供的风险、收益组合可以通过横、纵坐标上相应的两点予以确定.图 11 马科维茨边界曲线显然,图中 SBAT 曲线上的各点代表的各种组合证券所对应的风险-收益组合远较阴影部分中其他各点代表的组合证券为优,因为他们能够在风险最小的情况下取得最大的收益.SBAT 曲线代表着证券投资的有效边界.有效边界上的 20 种不同投资方案的风险与收益率如表 5 所示.表 5 20 种不同投资方案的风险与收益率方案收益率风险10.289 70.332 720.305 80.333 930.322 00.337 240.338 10.342 850.354 30.350 460.370 50.360 070.386 60.371 380.402 80.384 322徐州工程学院学报(自然科学版)2023 年第 2 期续表方案收益率风险90.418 90.398 8100.435 10.414 6110.451 30.431 6120.467 40.450 8130.483 60.472 3140.499 70.495 7150.515 90.520 9160.532 00.550 7170.548 20.586 2180.564 40.626 3190.580 50.670 2200.596 70.717 2通过上文计算结果,若对 ZK、GY、ZC、PA 4 只股票进行最优化组合,可以得到较小的投资风险(组合的标准差)为 0.332 7,与此同时这一投资风险最小的组合的收益率是 0.289 7.投资者可以获取的最高收益率为 0.596 7,与此同时需要承担 0.717 2 的投资风险.各项投资组合方案所对应的投资比例如图 12 所示.图 12 投资比例图横坐标从 120 表示马科维茨边界曲线上的 20 个点,即买入 4 只股票的 20 种方案.纵坐标是 4 只股票的投资比例.从上图可直观地观察到 110 方案,4 只股票都涉及投资.具体比例如表 6 所示.表 6 有效边界曲线上的投资方案方案ZKZCPAGY10.230 40.276 80.277 60.215 220.206 60.264 80.285 50.243 130.182 70.252 90.293 40.271 040.158 90.240 90.301 30.298 932吴伟力,等:基于马科维茨投资组合模型的深交所最优投资组合研究与实证分析续表方案ZKZCPAGY50.135 10.229 00.309 20.326 860.111 30.217 00.317 10.354 770.087 40.205 00.325 00.382 680.063 60.193 10.332 90.410 490.039 80.181 10.340 80.438 3100.016 00.169 10.348 70.466 21100.148 30.353 60.498 11200.109 60.352 30.538 11300.070 90.350 90.578 11400.032 20.349 60.618 115000.337 30.662 716000.269 80.730 217000.202 40.797 618000.134 90.865 119000.067 50.932 5200001例如,选择方案 8 时,收益率为 0.402 8,投资风险为 0.384 4.投资组成为:ZK 6.36%,ZC 19.31%,PA 33.29%,GY 41.04%.方案 8 的 4 只股票投资比例见图 13.3.2.2 增加无风险资产后的投资组合在个人投资过程中,往往会引入无风险资产的投资以确保自己的收益.此时,可以看作是无风险资产和风险资产组合的优化问题.本文在计算过程中规定无风险资产的收益率为 0.015,风险为 0.无风险资产参与投资的比例在 0 到 1 之间.生成的马科维茨有效边界曲线如图 14 所示.图 13 方案 8 的 4 只股票投资比例图 14 引入无风险资产后的有效边界曲线图中 Cash 一点表示无风险资产,其收益率为 0.015,风险为 0.在不考虑资产借贷的情况下,本文将初始资金分配到风险资产和无风险资产上.夏普比率在投资组合的收益与风险的衡量中有着重要的作用.夏普比42徐州工程学院学报(自然科学版)2023 年第 2 期率表明了投资组合每承受一单位风险,会产生多少的收益.夏普比率主要是根据测试集上数据平均收益和方差计算得出的,计算公式为S=E(Xtest)Var(Xtest),(4)根据 Tobin 的共同基金定理,最大夏普比率对应的组合是资本配置线与有效边界曲线的切点.MATLAB 找出的最大夏普比率的风险资产组合见图 15.连接无风险资产与最大夏普比率所在位置,可以得到一条资产配置线,如图 16 所示.图 15 最大夏普比率的风险资产组合图 16 资产配置线无风险资产与最大夏普比率之间的连线就是资产配置线,资产配置线上每一个点的横坐标表示无风险资产与风险资产组合投资的风险,纵轴表示无风险资产与风险资产组合投资的收益率12.得到的有效边界曲线如图 17 所示.图 17 有效边界曲线新形成的曲线 b 是无风险资产和风险资产组合的有效边界曲线.曲线上前部的点表示风险资产与无风险资产组合起来的风险与收益率;曲线后部的点仅包含风险资产的最优投资组合.有效边界曲线上各方案无风险资产与风险资产投资组合的比例如表 7 所示.如第 1 种方案将所有的资金都投资到无风险资产上,第15 种方案以及之后都将资产投资到风险资产上.52吴伟力,等:基于马科维茨投资组合模型的深交所最优投资组合研究与实证分析表 7 无风险资产与风险资产的投资比例方案 无风险资产 风险资产11020.926 10.073 930.852 10.147 940.778 20.221 850.704 20.295 860.630 30.369 770.556 40.443 680.482 40.517 690.408 50.591 5100.334 50.665 5110.260 60.739 4120.186 70.813 3130.112 70.887 3140.038 80.961 2150116011701180119012001确定风险资产在总的投资中所占的比例后,将风险资产看作需要被划分的“1”确定 4 只股票在投资风险资产的预算中所占的比例.4 只股票的投资比例如表 8 所示.表 8 4 只股票的投资占比表方案 ZK ZC PA GY1000020.001 80.012 80.025 50.033 630.003 60.025 60.051 1 0.067 340.005 50.038 50.076 60.101 050.007 30.051 30.102 20.134 760.009 20.064 10.127 80.168 470.011 00.077 00.153 30.202 180.012 80.089 80.178 90.235 890.014 70.102 70.204 50.269 5100.016 50.115 50.230 00.303 262徐州工程学院学报(自然科学版)2023 年第 2 期续表方案 ZK ZC PA GY110.018 40.128 30.255 60.336 9120.020 20.141 20.281 10.370 6130.022 00.154 00.306 70.404 3140.023 90.166 80.332 30.438 0150.003 40.162 80.352 8 0.480 881600.093 30.351 70.554 91700.020 00.349 20.630 718000.255 60.744 319000.127 80.872 1200001Portfolio 工具箱支持根据目标收益和风险构建投资组合.首先根据上文生成的有效边界曲线确定收益率范围和风险区间.收益率范围是 0.289 7,0.596 7,风险区间的范围是 0.332 8,0.717 3.获取的有效边界曲线如图 18 所示.图 18 有效边界曲线4 实证结论与建议4.1 研究结论利用马科维茨投资组合模型,投资者在股票投资组合的各股票收益率、协方差矩阵已知的情况下,可以计算得到有效的投资组合方案.通过上文计算结果,若对 ZK、GY、ZC、PA 4 只股票进行最优化组合,可以得到较小的投资风险(组合的标准差)为 0.332 7,与此同时这一投资风险最小的组合的收益率是 0.289 7.这要求投资者把资金分散投资到 4 只股票,投资比例分别是:ZK 23.04%、ZC 27.68%、PA 27.76%、GY 21.52%.投资者可以获取的最高收益率为0.596 7,与此同时需要承担0.717 2 的投资风险.这要求投资者将资金集中投资到 GY.这一结果与马科维茨组合投资理论的结果是相同的.投资组合方案中,风险性越小的组合,投资越分散;收益率越高的投资组合,组合中的股票数量越少4.加入无风险资产,与风险资产进行投资组合.本文设定无风险资产的风险为 0,收益率为 0.015.Portfolio工具箱支持根据目标收益和风险构建投资组合.首先根据上文生成的有效边界曲线收益率范围和风险区间,收益率范围是 0.289 7,0.596 7,风险区间的范围是 0.332 8,0.717 3.72吴伟力,等:基于马科维茨投资组合模型的深交所最优投资组合研究与实证分析4.2 投资建议经过定量分析,可以明显感受到 A 股市场高风险高收益原理.证券市场的不稳定性使得投资者收益不稳定.建议投资者在购买股票时,将资金分散购买不同类型的股票,而不是将鸡蛋放在同一个篮子中,这将大大有利于投资风险的分担,有利于盈亏互补.针对马科维茨投资组合模型的研究中,可以发现一个规律:投资组合方案中,风险性越小的组合,投资越分散;收益率越高的投资组合,组合中的股票数量越少.因此,投资者在进行投资时,不能一味地追求高收益,也要兼顾风险.坚持“生存第一”的原则,以保住投资者的本金为前提,以做短线为主,中长线为辅;把握获取利润的机会;在控制风险的前提下,利润最大化.理性投资者在投资过程中更倾向于规避高风险的投资行为.投资者要避免投入过多的资金,从而影响到投资者的生活水平.投资股票面临巨大风险,如果投资者只投入收入的五分之一或四分之一,这样即使有短期的损失也不会影响到家庭生活情况,就避免了被股票束缚.参考文献:1 夏雪.基于 MATLAB 的马科维茨投资组合理论的实证研究J.环渤海经济瞭望,2022(12):145-147.2 胡语文.A 股市场有望出现国企牛市行情J.股市动态分析,2022(23):18-19.3 陈骏兰.基于马科维茨模型的股票投资组合实证研究J.品牌研究,2018(2):146-147.4 曾颖苗,张珺,张晴.马科维茨模型在股市最优投资组合选择中的实证研究J.湘潭师范学院学报(社会科学版),2009,31(4):88-91.5 王淑燕,冯昌黎,郑灿畅,等.多目标模型在求解投资组合最优解中的应用J.财经界,2014(24):54-56.6 吴昆晟.马科维茨模型在 A 股市场中的应用分析J.新经济,2015(26):50.7 姜青舫,陈方正.经济学家使用数学方法应当慎重:评 H.M.马科维茨投资组合选择理论与模型J.同济大学学报(社会科学版),1999(4):18-24.8 李洋,余丽霞.基于马科维茨理论的最优证券组合分析J.财会月刊,2013(22):53-55.9 刘燕霄.浅谈马科维茨证券投资组合模型J.科技资讯,2006(18):250-251.10 MARKOWITZ H.Portfolio selectionJ.Journal of Finance,1952,7:77-9111 李俊兵,朱仁泽.股票最佳投资组合的相关系数法:基于上证 A 股J.现代商业,2014(16):88-90.12 刘科弟.马科维茨理论构造投资组合J.现代商业,2018(36):44-45.(责任编辑 崔思荣)The Optimal Investment Portfolio Study and Empirical Analysis of Shenzhen Stock Exchange Based on Markowitz Portfolio ModelWU Weili,ZHAO Liuyue(School of Mathematics and Statistics,Xuzhou University of Technology,Xuzhou,221018,China)Abstract:In order to reduce the unsystematic risks caused by investment,the Markowitz portfolio model was used to analyze and calculate the four selected A-share stocks including ZK,ZC,PA,GY from Shenzhen Stock Exchange.The investment rules of the securities market was then explored,and the practical investment suggestions were given to the retail investors.Key words:Markowitz portfolio model;stock investment;risk-free assets;risky assets82徐州工程学院学报(自然科学版)2023 年第 2 期