1、本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,在前面课程中，我们讨论了随机变量及其分布，假如知道了随机变量,X,概率分布，那么,X,全部概率特征也就知道了.,然而，在实际问题中，概率分布普通是较难确定.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量一切概率性质，只要知道它一些数字特征就够了.,第1页,评定某企业经营能力时，只要知道该企业,人均赢利水平；,研究水稻品种优劣时，我们关心是稻穗,平均粒数及每粒平均重量；,检验棉花质量时，既要注意纤维平均长,度，又要注意 纤维长度与平均长度偏离程度，,平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;,考查一射手水平，既要看他平
2、均环数,是否高，还要看他弹着点范围是否小，即数,据波动是否小.,第2页,所以，在对随机变量研究中，确定一些数字特征是主要.,在这些数字特征中，最惯用是,期望、方差和协方差,第3页,第四章 随机变量数字特征,数学期望,方差,协方差与相关系数,第4页,数学期望引例,比如,：某7人高数成绩为90，85，85，80，80，,75，60，则他们平均成绩为,以频率为权重加权平均,第5页,数学期望EX,离散型随机变量,设离散型随机变量,X,分布律为,若无穷级数,绝对收敛，则称其和为随机变量,X,数学期望,定义4.1.1,记为,第6页,X,P,4,1/4,5,1/2,6,1/4,已知随机变量X分布律,：,例1
3、,求数学期望EX,解,第7页,连续型随机变量,设连续型随机变量,X,概率密度为,若积分,绝对收敛,则称此积分值为随机变量,X,数学期望,记为,第8页,例2,第9页,数学期望意义,试验次数较大时，X观察值算术平均值,在EX附近摆动,数学期望又能够称为,期望值,(,Expected Value,)，,均值,(,Mean,),EX反应了随机变量X取值“,概率平均,”,是X,可能值以其对应概率加权平均。,第10页,4.1.1 数学期望性质,第11页,性质 4 逆命题不成立，即,若,E,(,X Y,)=,EX EY,，,X,Y,不一定相互独立,反例,X,Y,p,ij,-1 0 1,-1,0,1,0,p,
4、j,p,i,注,第12页,X Y,P,-1 0 1,但,第13页,0-1分布数学期望,X服从,0-1分布,，其概率分布为,P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,X,P,0 1,1-p p,若X 服从参数为 p 0-1分布，则EX=p,分布律,数学期望,第14页,若,XB(n,p),那么,EX=np,二项分布数学期望,分布律,X服从,二项分布，,其概率分布为,数学期望,二项分布可表示为,个分布和,其中,则,第15页,泊松分布数学期望,If ,then,分布律,数学期望,第16页,均匀分布期望,分布密度,数学期望,第17页,X N(，,2,）,正态分布期望,分布密度,数学期望,第18页,指数分布
5、期望,分布密度,数学期望,第19页,常见随机变量数学期望,分布,期望,概率分布,参数为,p,0-1分布,p,B,(,n,p,),np,P,(,),第20页,分布,期望,概率密度,区间(,a,b,)上,均匀分布,E,(,),N,(,2,),第21页,注意,：,不是全部随机变量都有数学期望,比如：Cauchy分布密度函数为,但,发散,它数学期望,不存在,第22页,例3,第23页,解:,第24页,第25页,4.1.2,随机变量函数数学期望,1.问题提出：,设已知随机变量,X,分布，我们需要计算不是X期望，而是,X,某个函数期望，比如说,g,(,X,)期望.那么应该怎样计算呢？,第26页,怎样计算随机
6、变量函数数学期望?,一个方法是，因为,g,(,X,)也是随机变量，故应有概率分布，它分布能够由已知,X,分布求出来.一旦我们知道了,g,(,X,)分布，就能够按照期望定义把,E,g,(,X,)计算出来.,使用这种方法必须先求出随机变量函数,g,(,X,)分布，普通是比较复杂.,第27页,那么是否能够不先求,g,(,X,)分布而只依据,X,分布求得,E,g,(,X,)呢？,下面基本公式指出，答案是必定.,第28页,定理,第29页,第30页,该定理主要性在于:当我们求,E,g,(,X,),时,无须知道,g,(,X,)分布，而只需知道,X,分布就能够了.这给求随机变量函数期望带来很大方便.,第31页
7、,服从,已知,上均匀分布，求,数学期望。,因为,所以,例5,解,第32页,1,5,例6,设相互独立随机变量X，Y密度函数分别为,求E（XY）,解,第33页,X,1 3,P,3/4 1/4,Y,0 1 2 3,P,1/8 3/8 3/8 1/8,X,1 0 3/8 3/8 0,3 1/8 0 0 1/8,Y,0 1 2 3,解:,例7,第34页,4.1.3 数学期望简单应用,例8,市场上对某种产品每年需求量为,X,吨，,X U,4000,每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元,问应该生产这种商品多少吨,才能使平均利润最大？,解:,设每年生产,y,吨利润为,Y,y,4000,第35页,故,y=,3500 时，,EY,最大，,EY,=8250万元,第36页,例9,独立地操作两台仪器，他们发生故障概率分别为p,1,和p,2,.证实：产生故障仪器数目标数学期望为 p,1,+,p,2,设产生故障仪器数目为X,则X全部可能取值为0，1，2,解,所以,第37页,课堂练习,(2),设二维连续随机变量 概率密度为,第38页,解:,第39页,第40页,
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