4平差数学模型与最小二乘原理2省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,误差理论与测量平差基础,测绘工程学院,鲍建宽,第4章 平差数学模型,与最小二乘原理,第1页,测量平差,求平差值,精度评定,评定指标？,建立数学模型,如何求这些指标？,定义求,广义传播律,单位权方差、,对应权倒数,方差（阵）、,权（协因数阵）,数学模型解算,第2页,第四章,平差数学模型与最小二乘原理,本章教学内容,4-1 测量平差概述 4-2 函数模型 4-3 函数模型线性化 4-4 测量平差数学模型 4-5 参数预计与最小二乘原理,4-6,综合练习题,第3页,要求：,掌握各类控制网必要元素数目与类型和多出元素数计算方法；平差数学模型概念、最小二乘原理及其应用,重点：,必要起算数据、必要观察个数确实定；平差数学模型及其线性化方法；最小二乘法,第四章,平差数学模型与最小二乘原理,第4页,4-1 测量平差概述,测量目标：确定一些几何量大小,确定对应几何模型,*注,*,确定一个几何模型，并不需要知道该模型中全部元素大小，而只需要知道其中部分元素大小就行了，其它元素能够经过它们来确定。,一、确定模型必要元素,、必要元素（量）,：,能够唯一确定一个几何模型所必须知道元素。其个数用,t,m,表示,第5页,必要元素获取路径：此次测量值、往次测量结果,*,注,*,例1：确定三角形形状与大小，只需知道其中任意两角一边、两边一角或三边三个量就能够了。,必要元素个数,t,m,只取决于,模型,本身，个数与类型,全部必要元素都是彼此,函数独立,量，不能互替,模型中全部量都是必要元素函数,模型中作为必要元素“量”,不是唯一,第6页,3、必要起算元素或配置元素：,在唯一确定一个几何模型,t,m,个必要元素中，不能经过此次测量作业测定量。其数目用,t,0,表示。,可见有：,t,m,t,t,0,2、必要观察量（元素）：,为了能够唯一确定一个几何模型所必须测量元素。其个数用,t,表示，称为必要观察个数。,*注*必要观察量类型，与测量技术与设备相关。在同一模型中，有些量当前测量不了,例,2确定三角形形状和大小，,t,m,3，假如只测角度，则t=2,t,0,=1：若只测边，,t=，,t,0,=,4、多出观察元素(量)：,为及时发觉测量中错误，除必要观察量外还要观察其它量。其个数用,r,表示，称为多出观察个数,5、观察值总数,用,n,表示,r=n-t,第7页,在一个几何模型中，除,t,m,个独立量外，若再增加一个量，在必定要产生一个对应函数关系式。如（例）中增加为,3,个角度，则,条件方程,4-1 测量平差概述,二、多出观察与条件方程,第8页,*,注,*,一个几何模型中，假如有,r(,),个多出观察，就产生,r,个条件方程。可见，在列条件方程前，先确定必要观察数,t,t,m,t,0,因为观察值不可防止地存在观察误差，由观察值组成上述条件方程必不能满足，即,造成条件方程不闭合，或者说存在,闭合差,。,因为,则有,条件方程,求出一组真误差,(,更正数,),，消除闭合差,平差,第9页,4-1 测量平差概述,三、惯用测量控制网,必要观察个数确实定,1测站方向观察,目标：确定各个目标方向（方位）,观察值（量）：角度,必要起算元素：一边方位角,t,0,=1,*若没有已知方位角，能够假设一边方位角,必要观察值个数：t=,t,m,t,0,=总方向数1（多出起算元素个数）,第10页,2.(平面)测角三角网,目标：确定,网中各点在坐标系中坐标,观察值(量)：网中各内角角度,必要起算元素：一点坐标、一边方位和边长，,等价于两点坐标。,t,0,=4,*,若没有已知点和已知方位，能够假设,必要观察数：t=,2(总点数2)多出起算元素个数,“”表示坐标为已知固定点,；,“,O,”表示待定点,;,双线表示已知边，,虚线表示没观察,第11页,3.(平面)测边三角网,目标：确定网中各点坐标,观察值(量)：网中各点间距离,必要起算元素：一点坐标、一边方位，,t,0,=3,*若没有已知点和已知方位，能够假设,必要观察值个数：t=2总点数3,多出起算元素个数,第12页,4.(平面)边角三角网,目标：确定网中各点坐标,观察值(量)：网中角度和边长,必要起算元素：一点坐标、一边方位，,t,0,=3,若没有已知点，能够假设一点坐标、一边方位,必要观察值个数：t=2总点数3,多出起算元素个数,第13页,5高程控制网（水准网）,目标：确定网中各点高程,观察值(量)：网中两点间高差,必要起算元素：一点高程，,t,0,=1,*若没有已知点，能够假设一点高程,必要观察值个数：t=总点数1,多出起算元素个数,第14页,惯用控制网必要起算数据个数与类型,控制网,必要元素个数,必要起算数据个数与类型,(确定网位置、方向、尺度）,水准网,点数,t0=1 一个点高程,测角三角网,点数2,t0=4,一个点坐标、一边边长和方位角两个已知点,测边三角网,点数2,t0=3,一个点坐标、一边方位角,边角三角网,点数2,t0=3,一个点坐标、一边方位角,第15页,据起算数据情况，把控制网分为：,自由控制网,：不足或仅有必要起算数据,附和控制网,：有多出起算数据,第16页,4-1 测量平差概述,四、,计算,t,和,r,例题,1水准网,第17页,2.测角网,(a),(b),第18页,多出观察个数：,r,=,n,-,t,当,n,t,时，不能确定平差问题模型,n,=,t,时，能确定模型，但无检核、有没有粗差不知,n,t,时，有多出观察，因观察误差使观察值间产,生矛盾，使模型出现多解。,经过平差处理，让观察值平差值之间满足对应条件关系，消除矛盾，获取模型唯一最优解。,五、,多出观察与平差关系,第19页,4-2 测量平差数学模型,平差数学模型包含：,函数模型,和,随机模型,两个部分。,函数模型,是指模型,(几何、物理),中量,(观察量、未知参数),真值,(或期望值),之间函数关系式。,随机模型,是指描述观察值先验精度及其相关性特征。惯用观察值,方差阵,或,协因数阵,或,权阵,表示。,函数关系式有线性非线性之分；,线性函数模型与非线性函数模型,(线性化后处理),。,第20页,一、函数模型,1,.,条件平差,函数模型,条件方程,普通：,第21页,一、函数模型,1,.,条件平差,函数模型,若有平差问题，观察向量为,L,、权阵为,P,，其中必要观察个数为,t,个，多出观察个数为,r=n,t,，则产生,r,个条件式：,值得注意,：,条件方程个数等于多出观察数r,各条件式之间必需是线性无关（独立）,一个平差问题中,条件形式不唯一,选取形式最简为易。,闭合差,第22页,t=2，选2个参数，这两个参数能够确定模型。函数模型：,一、函数模型,2,.,间接平差(参数平差),函数模型,普通：,第23页,选择,t,个函数独立参数：，这些参数刚好能够确定模型。则函数模型为：,线性情况下,一、函数模型,2,.,间接平差(参数平差),函数模型,第24页,一、函数模型,3,.,附有参数条件平差,函数模型,条件方程个数,r,+,u,=,c,个,普通：,第25页,在详细平差问题中,观察次数,n,，必要观察次数,t,，则多出观察次数,r,再增加,u,个独立参数,且 0,u,t,，则总共有,r,+,u,=,c,个条件方程，普通形式是：,线性情况下,一、函数模型,3,.,附有参数条件平差,函数模型,第26页,4,、,附有限制条件,间接平差法,函数模型,选择,u,个参数：，,u,t，,且包含,t,个函数独立参数。则多项选择择,s,=,u,t,个参数必定是 t个独立参数函数，亦即,u,个参数之间存在,s,个函数关系,。函数模型为：,线性形式是,第27页,选择,u,个参数：，其中有,s,个不独立参数，且不包含,t,个函数独立参数。则,u,个参数之间存在,s,个函数关系,。函数模型为：,线性形式,5,、,附有限制条件条件平差法,模型,第28页,4-2 测量平差数学模型,平差数学模型包含：,函数模型,和,随机模型,两个部分。,函数模型,是指模型,(几何、物理),中量,(观察量、未知参数),真值,(或期望值),之间函数关系式。,随机模型,是指描述观察值先验精度及其相关性特征。惯用观察值,方差阵,或,协因数阵,或,权阵,表示。,函数关系式有线性非线性之分；,线性函数模型与非线性函数模型,(线性化后处理),。,第29页,设有函数,设,因为 和,是微小量。对非线性函数进行Talay展开，只保留一阶项，于是有：,若令,4-3 函数模型线性化,第30页,则函数,F,线性形式是：,线性化方法：把,L,和,X,0,代入式子算出常数项，再加微分。,第31页,平差最终目标都是对参数 和观察量（或）作出某种,预计,，并评定其精度。,一、参数预计及其最优性质,4-4 最小二乘原理,设有参数 ，其真值为 、预计值为 。最优预计量含有性质：,无偏性,则称 为,无偏预计量,。,第32页,一致性,则称 为,一致预计量,。n为子样容量,任意小正数,则称 为,严格一致预计量,。,有效性,假如两个无偏预计量 和 ，满足,则称 比 有效。,则 为 最有效预计量，称为,最优预计量,。,含有没有偏性、最优性预计量必定是一致性预计量,第33页,4-4 最小二乘原理,二、最小二乘法,例,求一组最优解，满足,观察值,残差,，,更正数,观察值,平差值,第34页,最小二乘法表示式,同精度独立最小二乘法：,加权最小二乘法：,广义最小二乘法：,第35页,练习题,1 几何模型必要元素与什么相关？必要元素就是必要观察元,素吗？为何？,2 平差问题存在条件是什么?,3 为何要进行多出观察？,4 水准网、测角三角网、测边三角网、边角网必要起算数据,个数分别是几个？都分别是什么量？,5 写出每种平差方法函数模型及数学模型。,6 测量平差函数模型和随机模型分别表示那些量之间什么,关系？,7 最小二乘法普通表示式？,第36页,8 确定下列图控制网中必要观察个数t,第37页,第38页,