5.3-微积分基本定理(1-31)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,5.3,微积分基本定理,问题,:,研究不从定义出发计算定积分简便方法,1,0,两个问题,(1),在时间段,T,1,T,2,内,物体经过旅程,:,若物体位置函数,s=s(t),则,S(t),含有性质,:,第1页,(2),设,y,=,f,(,x,),在,a,b,上连续,对任意,x,a,b,面积函数,A(,x,),如图所表示,a,b,x,y,o,A(,x,),含有性质,:,其中,对普通积分 是否成立,自然要问,:,则,有,第2页,能否求一个函数,F(,x,),使在,a,b,上成立,问题一,:,函数,F,(,x,),是否有等式,对于求得在,a,b,上满足,问题二,:,成立,?,第3页,2,0,微积分第一基本定理及变限积分函数,能否求一个函数,F,(,x,),使在,a,b,先来研究问题一：,上成立：,定理,(,微积分第一基本定理,),若,y,=,f,(,x,),在,a,b,上连续,任取,x,0,a,b,固定,在,a,b,上可导,而且,则函数,(1),证实,:,任取,x,a,b,x,0,使,x,+,x,a,b,第4页,因为,(,介于,x,与,x,+,x,之间,),注意到,当,x,0,时,x,及,f,(,x,),在,a,b,上连续,故有,定理说明,:,当,f,(,x,),在,a,b,上连续时,问题一,有解,就是,问题一,解,函数,第5页,说明,:,(1),由式,(1),(2),变上限积分函数 是表示函数,主要伎俩,(,许多工程中主要函数用积分,形式表示,),它以公式,(1),作为求导公式,从而可知,:,求导运算“,”,与变上限积分运算,“”,是互逆运算,第6页,3,0,原函数和不定积分,问题,怎样计算,?,先讨论满足 函数性质,定义,设,f,(,x,),在,a,b,上有定义,假如对任意,x,a,b,都有,或,则称,F(,x,),为,f,(,x,)(,或,f,(,x,)d,x,),在,a,b,上一个,原函数,第7页,定理,(,原函数存在定理,),假如,f,(,x,),在,a,b,上连续,则 是,f,(,x,),在,a,b,上一个原函数,即 连续函数必有原函数,定理,(,关于原函数性质,),(1),若,F,(,x,),是,f,(,x,),在,a,b,上一个原函数,则对,任意,c,R,F,(,x,)+,c,也是,f,(,x,),在,a,b,上原函数,原函数,(2),若 是,f,(,x,),在,a,b,上另外两个,则存在,c,R,使,即,f,(,x,),任意两个原函数之间最多相差一个常数,第8页,证实,(2),设,则由,F,1,(,x,),F,2,(,x,),都为,f,(,x,),在,a,b,上原函数知,即,从而,F,(,x,),在,a,b,上恒等于常数,即存在常数,c,使,F,(,x,),c,第9页,由此得知,:,在知道,f,(,x,),一个原函数,F,(,x,),之后,则,F,(,x,)+,c,(,c,为任意常数,),表示了,f,(,x,),全部,原函数,定义,我们把,f,(,x,),在,a,b,上原函数普通,表示式,F,(,x,)+,c,称为,f,(,x,),在,a,b,上,不定积分,记为,即,其中,F,(,x,),是,f,(,x,),在,a,b,上某一原函数,c,为,任意常数,第10页,说明,:,(2),不定积分 表示一族函数,它涵,盖了,f,(,x,),在,a,b,上原函数全体,(1),即不定积分运算“,”与微分,运算“,d”,（或求导）,在相差一常数意义下是“互逆”,现若,f,(,x,),在,a,b,上连续,则变上限积分函数,是,f,(,x,),在,a,b,上一个原函数,于是有,第11页,即,从而将 计算转化为不定积分,计算问题,注意到,:,不定积分运算与求导运算呈互逆 关系,(,相差一常数意义下,),这就使我们,可从求导公式来取得不定积分计算公式,!,第12页,依据求导公式可得以下,不定积分公式,:,第13页,第14页,函数,F(,x,),是否有等式,对于求得在,a,b,上满足,问题二,:,成立,?,下面研究,问题二,第15页,4,0,微积分第二基本定理,设,f,(,x,),在,a,b,上连续,若能计算出不定积分,从而取得,f,(,x,),在,a,b,上一个原函数,F,(,x,),则有,令,x,=,a,得,F,(,a,)+c=0,c=,F,(,a,),可得,所以有,第16页,定理,(,微积分第二基本定理,),说明,:,(1),牛顿,莱布尼兹公式 把 计算问题,转化,f,(,x,),在,a,b,上一个原函数计算问题,转化,不定积分 计算问题,从而回避,从定义计算定积分,(2),前述,问题一,问题二,得到处理,设,f,(,x,),在,a,b,上连续,F,(,x,),是,f,(,x,),在,a,b,上,任意一个原函数,则,(,牛顿,莱布尼兹公式,),第17页,例,计算,解,首先计算 在,0,1,上原函数,为此计算,因为,所以,第18页,则,F,(,x,),在,0,1,上是,一个原函数,取函数,F,(,x,)=,x,2,arctan,x,第19页,例,计算,其中,解,第20页,变上限积分函数深入讨论,:,变限积分函数既然是一函数,就可讨论其一系列,函数性质,(,比如,单调性,最值,凹凸性等,),解,因为,设,f,(,x,),是连续函数，而,(,x,),，,(,x,),均为可微,证实,:,若,计算,若记,例,函数,(2),第21页,因为,同理可得,所以有,所以有,第22页,设,y,=,y,(,x,),是由方程,例,所确定，求,解,将方程两边对,x,求导,解得,第23页,解,计算,例,当,x,0,时，,第24页,(1),利用公式,(1),有,(2),解,由,设,f,(,x,),在,a,b,上,连续，且,f,(,x,)0,，又,证实,:,(2)F(,x,)=0,在,a,b,内有且仅有一个实根,例,(1),第25页,又,F(,x,),在,a,b,上可微,同时注意到,F,(,x,),严格单调增,F(,x,),在,a,b,上连续,依据零值定理知存在,(,a,b,),F()=0,使,有且仅有一个实根,所以方程,F,(,x,)=0,第26页,例,设,f,(,x,),在,a,b,上连续,且单调增,证实,:,解,原问题,结构辅助函数,则有,F,(,a,)=0,我们希望证实,F,(,x,),在,a,b,上单调增,对任意,x,a,b,第27页,所以,F,(,x,),在,a,b,上单调增,.,于是有,F,(,b,),F,(,a,)=0,由此证得,第28页,例,设,f,(,x,),在,a,b,上含有连续二阶导数,求证,:,在,(,a,b,),内存在,使得,解,设,取,x,=,b,在,x,0,处泰勒展开,有,其中,第29页,再取,x,=,a,在,x,0,处泰勒展开,有,其中,即,两式相减得,即,第30页,因为 连续,依据介值定理,存在,使得,故有,第31页,