李超代数P(2)到奇Hamilton超代数HO的低维上同调.pdf

数学杂志Vol.43(2023)J.of Math.(PRC)No.4李超代数P(2）到奇Hamilton超代数HO的低维上同调霍雪童1，孙丽萍1，刘文德2(1.哈尔滨理工大学理学院，黑龙江哈尔滨150 0 8 0)(2.海南师范大学数学与统计学院，海南海口57 1158)摘要：本文在特征p3的域上，采用将典型李超代数P(2)嵌入到奇Hamilton超代数HO的零阶化分支的方法，使得在伴随表示的意义下，HO成为P(2)-模.通过对HO进行子模分解和权空间分解，得到了P(2)到HO的低维上同调.关键词：同构；分解；导子；上同调MR(2010)主题分类号：17 B50；17 B0 5文献标识码：A1引言李超代数在数学、物理等多个领域都有着广泛的应用但至今模李超代数（素特征域上的李超代数）的分类工作还没有完成，其中Cartan型模李超代数成为分类问题的关键，也取得了很多丰硕的成果 1-8 我们知道，上同调对于李超代数扩张以及其模扩张的研究具有重大作用，如 9-11.其中特殊线性李超代数到Cartan型模李超代数W、S和H的低维上同调已经被计算【12-14 因奇Hamilton超代数HO的零阶化分支中包含典型李超代数P(2)，故在伴随表示意义下,HO可视为P(2)-模.本文通过对HO进行适当的P(2)-子模分解和相应的权空间计算，并利用权导子（保持权不变的导子)，计算了P(2)到HO的零维和一维上同调。2准备令N与No分别表示正整数集与非负整数集，F表示特征p3的域，Z:=0,1表示整数模2 的剩余类环，lcl表示Z2-阶化向量空间中齐次元素的Z2-次数，zd(）表示Z-阶化向量空间中齐次元素的Z-次数记(a1,2，a s）为1,2，在数域F上线性生成的向量空间设=（1,2,，m）N，=（i,2，,m）N，定义()=()令u(a）是具有生成元集（a(a)=aeNg）的F上的除幂代数，乘法运算为2 a(0=()a+,e Ng.(n）)是由变元cm+1m2，m+生成F上的外代数，基元素用表示.令其中c()简记为(),称为除外代数.u(m)的平凡的Z2-阶化和(n)的自然的 Z2-阶化诱导了(m,n)的一个Z2-阶化:*收稿日期：2 0 2 1-0 9-19基金项目：国家自然科学基金（12 0 6 10 2 9)；黑龙江省自然科学基金项目（A2015017;QC2018006).作者简介：霍雪童（1997-)，女，山西临县，硕士研究生，主要研究方向：李（超）代数，通讯作者：孙丽萍（197 0-），女，黑龙江哈尔滨，教授，主要研究方向：李（超）代数.中图分类号：0 152.5文章编号：0 2 55-7 7 97(2 0 2 3)0 4-0 2 8 8-0 9A(m,n)=u(m)A(n)=(a(a)a|E N),接收日期：2 0 2 2-0 5-10No.4从而A(m,n)是一个结合超代数.令zd(ci）=1,i=1,2,m+n,则A(m,n)有一个自然的Z-阶化：霍雪童等：李超代数P(2）到奇Hamilton超代数HO的低维上同调A(m,n)o=u(m)A(n)o,A(m,n)i=u(m)A(n)i,289令 Yo=1,2,.,m,Yi=m+1,m+n,Y=YoUYi.设 D1,D2,.,D。是(m,n)的线性变换,并满足(a-ei)a,Vi EYo,D其中ei=(oi1,Oi2,Qim),i Yo;,是 A(n)的特殊导子,Vi Y1.则 D;E Dero(A(m,n),Vi e Yo;D;E Deri(A(m,n),Vi e Yi.令 W(m,n)=(2rt f,D:f E A(m,n),Vi E Y),则 W(m,n)是 Der(A(m,n)的子代数，称为Witt超代数.设 T:A(n,n)W(n,n)是线性映射,使得 Th(f)=21(-1)()1la;(f),这里易见 zd(TH)=-2,ITl=i.令HO(n,n):=Th(f)I f E A(n,n),它是 W(n,n)的子代数,称之为奇Hamilton超代数.它的Z2-阶化结构为：HO(n,n)o=(TH(f)I f E A(n,n)i1),HO(n,n)1=(TH(f)I f E A(n,n)o).它的 Z-阶化结构为:HO(n,n);=TH(n,n)i+2).由文献 7)可知,Vf,g E A(n,n),Th(f),Th(g)=Th(Th(f)(g)=T(h),其中 h=T(f)(g)，为此可在A(n,n)中定义一个方括号运算 f,g):=Th(f)(g)，f,g E A(n,n)，使得(n,n)作成李超代数.因为kerTH=F,所以下面简要回顾李超代数P(2).在一般线性李超代数gl(m,n)中,P(m):=E gl(m,m)/B=BT,C=-(-AT易见 P(2)的一组基为E33-E11,E44-E22,E13,E24,E23+E14,E43-E12,E34-E21,E41-E32.a(a)a;(a),Vi Y1.i+n,i=1,2,.,n,i-n,i=n+l,.:,2n.0,i=1,2,.,n,1,i=n+1,.,2n.A(n,n):=(n,n)/F HO(n,n).ABC290我们可以定义P(2)到HO(2,2)。的线性映射p:显然,是P(2)到HO(2,2)。的同构映射，故P(2)H O(2,2)o.又由于HO(2,2)(2,2)2,其中(2,2)2 的一组基为故计算 P(2)到HO(n,n)的低维上同调可转化为计算(2,2)2到(n,n）的低维上同调.下文简记同构的李超代数P(2),HO(2,2)。或(2,2)2为g,HO(n,n)和(n,n)（n 2)分别为HO和.3简约若M为李超代数g-模，记kM：=M M(k-个)，当T为平凡g-模，且dimT=k,那么T?MkM.由上同调的性质，我们计算g到HO的上同调可以计算g到HO子模的上同调.为此，我们将g-模HO进行适当的分解根据前文的内容，我们只需对A(2,2)2-模进行子模分解.设=1,2,n+1,n+2，S=Y 则首先有下面的子模分解：其中，作为的g-子模，易见MM i T,其中数学杂志E23+E14-Th(c12);E41-E23-Th(C324);EiTH(cici),i=1,2,j=i+2;Eij-El Th(ckai),i,j=3,4,k=j-2,l=i-2.=a121,12,13,124,22,23,24,34.M (a(a)|0;(c(a)0,Fi E),T (a)|0;(ac(a)=0,Vi E)/F.Vol.43=MT.这样，作为g-模有(2,2)T T，易见T为平凡g-模,且dimT=2n-2 pn-2-1.综上，作为g-模有(n,n)HO(n,n)(2n-2 pn-2-1)(2,2)T.这样，计算g到HO的低维上同调只需计算g到g-子模(2,2)与T的上同调.下面给出本文计算一维上同调所需的概念和引理设L为李超代数，M为L-模一个L到M的Z2-齐次线性映射叫做导子，如果满足：(e,l)=(-1)ll(u)-(-1)il(lol+-l(a),Vat,y E L.(1)(2)No.4若存在mEM使得则称为内导子，否则称为外导子记Der(L,M）和 Ider(L,M）分别为L到模 M 的导子空间和内导子空间.李超代数L到模M的零维上同调与一维上同调分别为定义3.1设H是L的Cartan子代数，L与L-模M关于H的权空间分解为L=EH*L和M=EH*M：一个L到M的导子称为关于H的权导子，若(L）Ma,VEH*.引理3.2 15,16】任何一个李超代数L到L-模M的导子都是一个权导子与内导子之和。由引理3.2 和（1)式，计算H(g,HO）只需分别计算g到T和(2,2)的权导子，为此我们首先需要确定g的一个Cartan子代数h=13,c24)，相应的权分别为(0,0)，（-1,1),(-1,-1),(1,-1),(1,1),(-2,0),(0,-2).根据定义3.1和引理3.2，计算H(g,HO）只需考虑(2,2)中与g有相同权的权向量由以下公式霍雪童等：李超代数P(2）到奇Hamilton超代数HO的低维上同调p(cr)=(-1)lml-m,Vac E L,H(L,M):=(m E ML m=0),H(L,M):=Der(L,M)/Ider(L,M).329134可做如下图表：表1 g 与(2,2)的权向量g权(0,0)C1a3,2C4(1,1)C3C4(-1,1)1&4(1,-1)2C3(-1,-1)12(-2,0)1&1(0,-2)222(2,2)权向量权向量C1C3,a2a4,C1C2C3C4CP-122,aga4,12ga3,212ia324引理3.3李超代数g到(2,2)的非零权导子都是外导子.证设是李超代数g到(2,2）的权导子，根据表1可见,zd()=0,2,4,p-2,p,2p-4.下面我们按的Z-次数分情况进行讨论.约定在下文中，在的映射没有出现的中元素的像为0.292情况1zd()=0时.根据表1可设p(C13)=a1313+b132C4,p(ciaj)=aijtitj,aij E(ait3,2a4),由(2)式可知-a14ix4=p(-ix4)=p(ci3,Ci4l)=(303-i01)a1414+(40 102)(a131+b1324)=(a13-b13-a14)a124,比较系数可得13b 13=0.又由于a3434=p(c34)=(c1a3,3c4l)=(303-101)a3434-(401-302)(a1313+b1324)=(a34+a14+b14)c34,比较系数可得13+b13=0.那么a13=b13=0,即 p(13)=0.同理可知24=b24=0,即 p(2c4)=0.再由(2)得以下两式-11=p(-)=p(14,12l)=-(a11+a14)1,与0=(24-13)=(124,23l)=(a23-a14)24+(a14-a23)13,可得最后，根据以下三个等式-2a1212=(p(12)=(14,22l)=(-a22)a12,0=(24-13)=p(12,34l)=(a34-a12)24+(a12-a34)13,0=(214)=p(c34,iil)=(a11-2a34)i4,可得综合(3)-(6)式,可知=aP1,EF,其中1为g到(2,2)的线性映射，使得P1:1212,34 34,11 211,22 222.数学杂志p(2a4)=a24C1&3+b242a4,aij,bij E F.a23=a14=0,即(23)=(a1a4)=0.a11=a22=2a12=2a34.Vol.43(3)(4)(5)(6)(7)No.4由(2)验证可知，1是g到(2,2)的权导子情况2 zd()=2,4,P,-2时。可根据表1设出不同次数的权导子，如zd(）=2 时，可设P:a1a3a131C2a34,aia4-a14aiagC4,L22 a22122a3+b2ia4,a1a1a11aic3+baia2a4,再根据(2)，与情况1同样的方法，计算得系数全为0,即=0.同理,可以证明zd()=4,p,p-2时,为0.情况3 zd(0)=2p=4 时.由表 1,可 s(ea2a)=ba-a-,b F.则 g=bp2,其中,霍雪童等：李超代数P(2）到奇Hamilton超代数HO的低维上同调a24a24a12a3C4,22a3a23aiC3C4,2aij,bij E F.293(8)易见，P2是g到(2,2)的权导子.综上3种情况，有=ab 2，,bF下证当时为外导子假设是由E(2,2)决定的内导子，由于是权导子，故为零权向量.由表1，可设=li1234+l213+l324,l;EF.一方面，由已知p(ii)=(ap1+bp2)(aiai)=api(ici)+bp2(cii)=2aiai.另一方由内导子定义有0(324)=a3a4,l1a1a23a4+l2i3+l324=(401-302)(l1122C34+l213+l324)=-(l2+l3)34,p(ii)=iai,lai223a4+l2ia+lg24=20103(l21a223C4+l2123+l3224)=2l1C1C2224+2l2C1a1.可得l1=0,l2+l3=-.同理，一方面(i2)=ap(ai2)+bp2(122)=ai2.(9)294另一方面可得综合(9)与(10)得,l1=l2=l3=0,即m=0,从而=0,与已知矛盾.引理3.3得证.4结论引理 4.1 H(g,HO)=T,且 dimH(g,HO)=2n-2pn-2-1.证由零维上同调定义以及(1)式知TH(g,HO)，下面只需证H(g,A(2,2)=0.设1 E H(g,(2,2),由于H(g,A(2,2)H(h,(2,2)A(2,2)(o)(其中(2,2)(o)表示(2,2)中的零权空间)，可设=fi+f224+f324，其中f;EF,则324,=34,fiia3+f224+f3a1a234=(401-02)(fii3+f224+f3i234)=-(fi+f2)c34=0,即 f1+f2=0.又c1c4,l=c3a4,fiai3+f224+f3ia23c4=(403-102)(f113+f224+f312234)=(fi-f2)a14-2f3aia34=0,得 fi=f2,fs=0,即 I=0,H(g,A(2,2)=0.故 H(g,HO)=T,其维数为 2 n-2pn-2-1,得证.注在一维上同调中元素仍用导子表示.E0命题4.2 令h=,其中E是二阶单位阵，则Hi(g,T)=Homr(Fh,T),且EdimH(g,T)=2n-2pn-2-1.证 由于 P(2)=P(2)Fh,其中ABP(2):=E P(2)I tr(A)=0C-AT数学杂志p(12)=122,l1a1223a4+l213+l3224=(203+104)(l11234+213+l324)=2l1a12ga4+2l1cia23+(l2+l3)a122.l2+l3=.Vol.43(10)No.4是单的线性李超代数此时T为P(2）与Fh的平凡模由导子及单李超代数的性质知Der(P(2),T)=0,且 Der(Fh,T)=HomF(Fh,T).所以,又由任何Fh到T的非零导子都是外导子，根据引理3.2 知H1(g,T)=Homr(Fh,T).最后由知命题成立。命题4.3设1,2如(7),(8)所定义，则H(g,A(2,2)=(1,2),dimH(g,A(2,2)=2.证根据引理3.3的证明，有H(g,A(2,2)1,P2)，因为1一P2是权导子，由引理3.3知，P1一P2是外导子，故P1与P2模内导子空间Ider(g,(2,2)是线性无关的，又P1与P2在F上也是线性无关的，所以 3,so that HObecomes a P(2)-module in the sense of the adjoint representation.By submodule decompositionand weight space decomposition of HO,the low-dimensional cohomology of P(2)with coeficientsin HO is obtained.Keywords:isomorphism;decomposition;derivation;cohomology2010 MR Subject Classification:17B50;17B05