1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,曲面分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,经典,双侧曲面,8-5 第二型曲面积分,1.双侧曲面,动点在双侧曲面上连续移动(不跨越曲面边界)并返回到起始点时,其法向量指向不变.,第1页,曲面分,上,侧和,下,侧,曲面分,内,侧和,外,侧,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,曲面分,左,侧和,右,侧,第2页,莫比乌斯带,经典单侧曲面:,第3页,莫比乌斯带,第4页,其方向,使用方法向量指向,方向余弦,0 为前侧,0 为右侧,0 为上侧,
2、0 为下侧,外侧,内侧,设,为有向曲面,侧要求,指定了侧曲面叫,有向曲面,表示:,其面元,在,xOy,面上投影记为,面积为,则要求,类似可要求,第5页,实例,:,流向曲面一侧流量.,2.第二型曲面积分概念,第6页,S是速度场中一片有向曲面,函数,),(,),(,),(,z,y,x,R,z,y,x,Q,z,y,x,P,都在S上连续,求在单位,时间内流向S指定侧流,体质量,F,.,(2),设稳定流动不可压缩流体,(假定密度为1),速度场由,k,z,y,x,R,j,z,y,x,Q,i,z,y,x,P,z,y,x,v,r,r,r,r,),(,),(,),(,),(,+,+,=,给出.,第7页,1.分割
3、则该点流速为,法向量为 .,把曲面S分成,n,小块,(,),第,i,小块曲面面积,同时也代表,在,上任取一点,第8页,2.求和,经过S流向指定侧流量,该点处曲面S单位法向量,第9页,3.取极限,.,得到流量,m,准确值,第10页,则,第11页,第二型曲面积分,定义,设S是一个分片光滑双侧曲面,记选定一侧单位法向量为,假设在S上给定了一个向量函数,将S分割成n个不相重合小曲面片,在上任取一点,作和式,令是中直径最大者,在S上选定了一侧,第12页,若和式对任意一个分割及中间点,任意选取，当时总有极限，,则称此极限为向量函数在所指定一侧上,第二型曲面积分，,也称为对坐标曲面积分,或,第13页,其中
4、 与 为同一个曲面两个相反定向.,(2),若积分 与 存在,则,其中为任意常数,第二型曲面积分性质,第14页,其中由互不重合两个曲面组成,3.第二型曲面积分计算,第二型曲面积分可表示成第一型曲面积分形式,和坐标形式,第15页,为dS 在,平面上,有向投影面积.,若单位法向量 方向余弦为,(上正下负),第16页,平面上,有向投影面积.,平面上,有向投影面积.,(前正后负),(右正左负),第17页,称为,P,在有向曲面,S,上对坐标,y,z,曲面积分;,称为,Q,在有向曲面,S,上对坐标,z,x,曲面积分;,称为,R,在有向曲面,S,上对坐标,x,y,曲面积分;,若以,-S,表示曲面,S,另一侧，
5、则由定义可得,注意:,对坐标曲面积分,必须注意曲面所取侧.,第18页,取上侧,是,S,上连续函数,则,设光滑曲面,注：,积分,计算，必须先将曲面,表示成：,再代公式计算,积分,计算方法：,第19页,说明:,假如积分曲面,S,取下侧,则,若曲面 S 是母线平行于 z 轴柱面（垂直于 xy 坐,标面）,则,第20页,(前正后负),将曲面,S,表示为,若曲面 S 是母线平行于 x 轴柱面（垂直于 yoz 坐,标面）,则,积分,计算方法：,第21页,(右正左负),若曲面,S,是母线平行于,y,轴柱面（垂直于,zox,坐,标面）,则,积分,计算方法：,将曲面,S,表示为,注意:,对坐标曲面积分,必须注意
6、曲面所取侧.,第22页,概括为,：,代：,将曲面方程表示为二元显函数，然后代入,被积函数，将其化成二元函数,投：,将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy）,中两个变量同名坐标面上（如xoy 面）,定号：,由曲面方向，即曲面侧确定二重积分,正负号,一代、二投、三定号,注意,积分曲面方程必须表示为,单值显函数,不然分片计算，结果相加,确定正负号标准：,曲面取,上,侧、,前,侧、,右,侧时为,正,曲面取,下,侧、,后,侧、,左,侧时为,负,？,第23页,第二型曲面积分性质（坐标形式）,若曲面,S,由两两无公共内点曲面,S,i,i,=1,2,.,n,所组成，则,第24页,由第二型曲面积分定义，流体以速度,从曲面,S,负侧流向正侧总流量,第25页,解,第26页,第27页,第28页,第29页,第30页,第31页,第32页,第33页,第34页,第35页,法向量指向上侧时取正，指向下侧时取负,单位法向量方向余弦是：,曲面,在点处法向量为,比如,第二型曲面积分直接化成二重积分,关键是正确了解曲面,S,面积元,dS,在坐标平面上,有向投影,第36页,第37页,第38页,第39页,第40页,
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