CHAP6数值积分与数值微分-1-4省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,第,6,章 数值积分与数值微分,刘东毅,天津大学理学院数学系,第1页,第,6,章 数值积分与数值微分,主要目标：,讨论数值积分基本理论与方法,代数精度概念,数值稳定性,插值型数值积分思想,复化求积方法思想,变步长求积方法,Guass,求积公式,讨论求数值微分各种方法,主要内容:,数值积分公式及其代数精度,插值型数值积分公式,与,Newton-Cotes,公式,复化求积法,变步长梯形公式,与,Romberg,算法,Guass,求积公式,数值微分,第2页,6.1 数值积分公式及其代数精度,1.数值积分公式定义：,设,f,(,x,),在节点 处函数值为,f,(,x,k,)(,k,=0,1,.,n,),取上述这些函数值带权和,作为 近似值,称上式为,数值积分公式,。,x,k,(,k,=0,1,.,n,),称为求积节点。权,A,k,又称求积系数,A,k,仅与,x,k,选取相关。,称 为数值求积公式,余项,。,(6.1.1),即令,(6.1.2),第3页,2.,数值积分公式代数精度,利用余项,R,(,f,),能够描述数值积分公式精度,而刻画其精度另一概念是代数精度.,定义,6.1.1,若数值积分公式对于一切次数,m,代数多项式,都准确成立,称其最少含有,m,次代数精度;若数值积分公式对于,一切次数,m,代数多项式都准确成立,而对于某个,m,+1 次代数多项式不准确成立,则称此求积公式含有,m,次代数精度.,定理,6.1.1,数值积分公式,含有,m,次代数精度充分必要条件是当,f,(,x,)=1,x,x,2,.,x,m,时,数值积分公式准确成立,而当,f,(,x,)=,x,m,+1,时,其不准确成立.,按以上定义易知,第4页,中待定系数,A,0,x,1,A,1,使其代数精度尽可能高,并指出所确定求积公式代数精度.,解：,令,f,(,x,)=1,x,x,2,使之准确成立,则有,例,6.1.1,.,确定以下数值积分公式,第5页,取,f,(,x,)=,x,3,时,上式左边=右边=1/4,。,取,f,(,x,)=,x,4,时，上式左边=1/5，右边=5/24，,左边,右边。,所以确定求积公式含有3 次代数精度。,下面确定,数值积分公式,代数精度。,第6页,6.2 插值型数值积分公式与,Newton-Cotes,公式,插值型数值积分公式,设,f,(,x,),在插值节点,a,x,0,x,1,.,0,，,m,为正整数，步长,h,=(,b-a,)/2,m,。,即将积分区间分割成,2,m,等份。,Step 2.,计算,这里,Step 3.,计算,这里,将每一个小子区间二等分，即步长折半。,Step 4,.,假如,，则停顿，输出值 ,不然，置,m=m+1,，,h:=h/2,，,转到,Step 3,。,第30页,例,6.4.1 用变步长梯形公式计算积分（准确到10,-6,）,解,:,对于 ,定义,f,(0)=1,首先在区间 0,1,上用梯形公式（即步长,h=1）,求得,将,0,1 对分,它中点函数值 ,则有,假如,不成立，则,h=h/2=1/2，,计算,第31页,如此继续下去,计算结果以下表,假如,不成立，则,h=h/2=1/2，,继续计算,。,第32页,k,k,T,2,k,T,2,k,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0.920 735 5,0.939 793 3,0.944 513 5,0.945 690 9,0.945 985 0,0.946 059 6,0.946 076 9,0.946 081 5,0.946 082 7,0.946 083 0,0.946 083 1,从上表可看出,将积分区间对分了10次,求得,I,近似值为,0.9460831(积分准确值为0.9460831,.,),可见收敛速度比较迟缓。,第33页,2.,Richardson外推算法,若用一个步长为,h,函数,I,1,(,h,),去迫近问题,I,设其,截断误差可表示为,为了提升迫近精度，,选取,q,为满足,正数,将上式,(1),中,h,换为,qh,则有,其中,是与,h,无关常数,而且,，,(1),由,(1),可知,I,1,(,h,),迫近,I,误差为,。,(2),第34页,(2),式减上式,得,式,(1),两端同乘以,得,(1),(2),第35页,则,I,2,(,h,),迫近,I,误差降为,令,其中 是与,h,无关常数,则有,，,如此继续。,第36页,普通地,选取,q,为满足 正数,由此得到序列,则,I,m,+1,(,h,),迫近,I,误差由下面定理给出。,定理,6.4.1,设,I,1,(,h,),迫近,I,截断误差由下式给出,则,I,m,+1,(,h,),迫近,I,截断误差为,其中 是与,h,无关常数。,这种利用序列,I,m+1,(,h,),逐步加速去迫近,I,方法,称为,Richardson,外推算法,Richardson,外推公式,第37页,3.,Romberg 算法,Romberg,算法是利用变步长梯形求积序列,外推加速,来迫近积分真值算法,.,考虑积分,由复化梯形公式有,现在将,T,n,记为,T,1,(,h,),即,第38页,设,f,(,x,),在区间,a,b,上任意次可微,依据,Euler-Maclaurin,公式有,其中 是与,h,无关常数。,因为,P,m,=2,m,带入上式整理后得,易知,T,m+1,(,h,),迫近,I,误差为,O,(,h,2(m+1),),，,这种算法称为,Romberg,算法,。,，,。,则有,选取 利用,Richardson,外推公式,第39页,知,T,2,(,h,)=,S,n,，,当,m,=1,时，,由上式得,则,T,2,(,h,),迫近,I,误差为,O,(,h,4,)。,由,T,1,(,h,)=,T,n,和,故有,这是因为,从二分前后两个复化梯,形值生成复化,Simpson,值,S,n,将误差,O,(,h,2,),变,为,O,(,h,4,),从而提升了逼,近精度,第40页,当,m,=2,时,则,T,3,(,h,),迫近,I,误差为,O,(,h,6,)。,由,T,2,(,h,)=,S,n,能够证实,T,3,(,h,)=,C,n,故有,能从二分前后两个复化,Simpson,值生成复化,Cotes,值,C,n,将误差,O,(,h,4,),变为,O,(,h,6,),从而提升了迫近精度。,第41页,则,T,4,(,h,),迫近,I,误差为,O,(,h,8,)。,上式称为,Romberg,公式,利用此公式能从二分前后两个复化,Cotes,值生成,Romberg,值,R,n,且,R,n,迫近,I,误差为,O,(,h,8,),.,由,T,3,(,h,)=,C,n,知,则有,令,R,n,=,T,4,(,h,)，,当,m,=3,时,第42页,这么能够从变步长梯形序列 出发,可逐次 求 得,Simpson,序列,Cotes,序列,Romberg,序列,，,利用,Romberg,序列,还能够继续外推,，但因为,继续,外推后组成新求积序列与原来序列差异不大,故通常只外推到,Romberg,序列为止,。,第43页,T,1,T,2,T,4,T,8,S,1,S,2,S,4,C,1,C,2,R,1,其中,表示计算次序,k,代表二分次数,.,假如,f,(,x,),在区间,a,b,上充分光滑,能够证实上表中各列都收敛到积分,所以当同一列中相邻两个数之差绝对值小于预给精度,时终止计算.,Romberg,算法,计算过程,第44页,例,6.4.2,用,Romberg,算法,计算以下积分,解,:,由变步长梯形公式求得二分 3 次复化梯形值,T,2,T,4,T,8,它们,精度都很低.利用,Romberg,算法,对其进行加工,结果列于下表.,从此表能够看出,利用上述二分 3 次复化梯形值,采取,Romberg,算法加速三次取得了变步长梯形公式二分,10 次才能取得结果,所以加速效果是相当显著.,0.920 735 5,0.939 793 3,0.944 513 5,0.945 690 9,0.946 145 9,0.946 086 9,0.946 083 4,0.946 083 0,0.946 083 1,0.946 083 1,第45页,第46页,