1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,泰勒级数,函数展成幂级数,小结,第四节 函数展成幂级数,第1页,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以,f(x),为和函数,问题:,1.假如能展开,是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,第2页,证实,第3页,泰勒系数是唯一,逐项求导任意次,得,泰勒系数,第4页,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于,f(x),?,不一定.,第5页,定理2.,各阶导数,则,f,(,x,)在该邻域内能
2、展开成泰勒级数,充要,条件,是,f,(,x,)泰勒公式余项满足:,证实:,令,设函数,f,(,x,)在点,x,0,某一邻域,内含有,第6页,二、函数展开成幂级数,1.直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在,x,=0 处值;,第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径,R,;,第三步 判别在收敛区间(,R,R,)内,是否为,骤以下:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,0.,函数展开,第7页,例1.,将函数,展开成,x,幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数,x,其余项满足,故,(,在0与,x,之间),故得级数,第8页,例2,解,其收敛
3、半径为,对任何有限数,x,其余项满足,第9页,例3,解,第10页,第11页,两边积分,得,第12页,即,牛顿二项式展开式,注意:,第13页,双阶乘,第14页,2.间接法,依据唯一性,利用常见展开式,经过,变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分,等方法,求展开式.,比如,第15页,第16页,例4.,将函数,展开成,x,幂级数.,解:,因为,把,x,换成,得,第17页,例5,解,第18页,第19页,三、小结,1.怎样求函数泰勒级数;,2.泰勒级数收敛于函数条件;,3.函数展开成泰勒级数方法.,第20页,P285 习题12-4,2.(2)(3),作业,第21页,思索与练习,1.函数,处“,有泰勒级数,”与“,能展成泰勒级,数,”有何不一样?,提醒:,后者必需证实,前者无此要求.,2.怎样求,幂级数?,提醒:,第22页,练 习 题,第23页,练习题答案,第24页,第25页,
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