函数的单调性与导数学生活动案.docx

1.3.1 函数的单调性与导数学生活动纸
活动一：
观察：观察2016里约奥运会女子双人高台跳水夺金视频。
图1是高台跳水运动员速度随时间变化的函数的图象；
图2是运动员高度随时间变化的函数的图象。

图1 图2
交流： 从起跳到最高点，即时，运动员的速度是大于0，这段时间其高度如何变化呢？
从最高点到入水，即时运动员的速度是小于0，这段时间其高度又如何变化呢？
记录：从起跳到最高点，运动员的速度是大于0，这段时间其高度_________________
从最高点到入水，运动员的速度是小于0，这段时间其高度_____________________。
交流：正好是，由此请同学们猜想在某区间内，导数的符号与原函数单调性的关系。
记录：__________________________________________________________________
记录：__________________________________________________________________

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活动二：
操作检验：绘制一些函数，验证你的猜想是否正确。

记录：指定的函数；在________内，其导数______，在此区间内，函数单调_____

指定的函数；在________内，其导数______，在此区间内，函数单调_____

自选函数________;在________内，其导数______，在此区间内，函数单调_____

展示：请同学们展示一下自己的活动结果。

结论或修正后的结论:______________________________________________________

活动三：练习：判断的单调性，并求出单调区间。

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活动四：
我们通过观察，归纳，猜想，操作检验等方法获得了上述结论。那么你能否解释一下这个结论的正确性？以单调递增为例，请尝试解释：已知内恒成立，为何在内递增。
思考与探索：
根据单调性的定义，要证明在内递增，只需证明，且，都有_________
回顾导数的定义，平均变化率的定义，以及函数的单调性的定义，发现它们之间的联系
阅读材料：
拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理是微积分学的基本定理之一，它反映了连续可导函数在某区间内的平均变化率和此区间内某点的瞬时变化率间的关系。定理等价于如下描述的：若函数是某区间内的连续可导函数，则，使得，其几何意义非常直观，
即 是某区间内的连续可导函数，则此区间内任意两点连成的割线，都至少有一条切线与之平行，且切点依然在此区间内。

交流：解释法则___________________________________________________________

活动五：绘图：已知导函数的下列信息： 当时，，当，或时，；试画出函数图象的大致形状.（为了保证函数可导，要求画平滑的曲线）

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活动六：过活动5我们可以发现，函数的图象在有的区间比较陡峭，函数值变化较快；有的区间比较平缓，函数值变化较慢，那么函数图象的这种特征又和导数有什么关系呢？老师给同学举了两个函数，大家在其图象陡峭和平缓的地方分别取三个点，研究其导数和原函数图象的陡缓，及函数值变化快慢的关系。
（为了研究函数值变化的快慢，在同一区域取的三个点最好等距）
函数1：
实践操作
任务1. 记录：
在陡峭区域取的第一个点 ______,此时函数值 ______, 此时导数值 _____
在陡峭区域取的第二个点 ______,此时函数值 ______,此时导数值 _____，此时 _____
在陡峭区域取的第三个点 ______,此时函数值 ______,此时导数值 _____，此时 _____
任务2. 记录：
在平缓区域取的第一个点______,此时函数值 ______, 此时导数值 _____
在平缓区域取的第二个点 ______,此时函数值 ______,此时导数值 _____，此时 _____
在平缓区域取的第三个点 ______,此时函数值 ______,此时导数值 _____，此时 _____
交流 分析数据，猜想结论：在某范围内，导数__________;函数值变化越_________;函数图象越________.

实践操作：函数2：

任务3. 记录：
在陡峭区域取的第一个点 ______,此时函数值 ___ 此时导数值 _____
在陡峭区域取的第二个点 ______,此时函数值 ______,此时导数值 _____，此时 _____
在陡峭区域取的第三个点 ______,此时函数值 ______,此时导数值 _____，此时 _____
任务4. 记录： 在平缓区域取的第一个点______,此时函数值 ______, 此时导数值 _____
在平缓区域取的第二个点 ______,此时函数值 ______,此时导数值 _____，此时 _____
在平缓区域取的第三个点 ______,此时函数值 ______,此时导数值 _____，此时 _____
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交流：结论：在某范围内，导数__________;函数值变化越_________;函数图象越_______。

活动七：总结
交流：这节课我们学习了哪些新知识？
交流：我们如何获得这些新知识的？
交流：这节课你有什么体会？
记录：__________________________________________________________________
记录：__________________________________________________________________
记录：__________________________________________________________________

活动八：作业
1. 查阅资料，进一步了解拉格朗日中值定理
2. 教材31页习题1.3A组1，2题

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