具有非线性交叉扩散的B-D型捕食-食饵系统的共存解.pdf

第6 1卷 第4期吉 林 大 学 学 报(理 学 版)V o l.6 1 N o.4 2 0 2 3年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n)J u l y 2 0 2 3d o i:1 0.1 3 4 1 3/j.c n k i.j d x b l x b.2 0 2 2 4 2 3具有非线性交叉扩散的B-D型捕食-食饵系统的共存解崔 璐,李善兵(西安电子科技大学 数学与统计学院,西安7 1 0 1 2 6)摘要:考虑一类齐次D i r i c h l e t边界条件下具有非线性交叉扩散的B-D型捕食-食饵系统的稳态解.首先,根据线性算子的谱理论分析平凡解和半平凡解的稳定性;其次,利用正锥中的不动点指数理论给出共存解存在的充分条件.关键词:捕食-食饵系统;B-D反应函数;稳定性;共存解中图分类号:O 1 7 5.2 6 文献标志码:A 文章编号:1 6 7 1-5 4 8 9(2 0 2 3)0 4-0 7 7 2-1 3C o e x i s t e n c eS o l u t i o n so fB-DT y p eP r e d a t o r-P r e yS y s t e mw i t hN o n l i n e a rC r o s s-D i f f u s i o nC U IL u,L IS h a n b i n g(C o l l e g e o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,X i d i a nU n i v e r s i t y,X ia n7 1 0 1 2 6,C h i n a)A b s t r a c t:W ec o n s i d e r e dt h es t e a d y-s t a t es o l u t i o n so f aB-Dt y p ep r e d a t o r-p r e ys y s t e m w i t hn o n l i n e a rc r o s s-d i f f u s i o nu n d e rh o m o g e n e o u sD i r i c h l e t b o u n d a r yc o n d i t i o n s.F i r s t l y,w e a n a l y z e d t h e s t a b i l i t yo ft r i v i a l s o l u t i o na n ds e m i-t r i v i a ls o l u t i o n sb a s e do nt h es p e c t r a l t h e o r yo f l i n e a ro p e r a t o r s.S e c o n d l y,t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fc o e x i s t e n c es o l u t i o n sw e r eo b t a i n e db yu s i n gt h ef i x e dp o i n t i n d e xt h e o r y i np o s i t i v ec o n e s.K e y w o r d s:p r e d a t o r-p r e ys y s t e m;B-Dt y p er e s p o n s e f u n c t i o n;s t a b i l i t y;c o e x i s t e n c es o l u t i o n收稿日期:2 0 2 2-1 0-2 4.第一作者简介:崔 璐(1 9 9 7),女,汉族,硕士研究生,从事反应扩散方程及其应用的研究,E-m a i l:c u i l u c l 1 6 3.c o m.通信作者简介:李善兵(1 9 8 8),男,汉族,博士,副教授,从事反应扩散方程及其应用的研究,E-m a i l:l i s h a n b i n g x i d i a n.e d u.c n.基金项目:国家自然科学基金(批准号:1 1 9 0 1 4 4 6)、中国博士后科学基金特别资助项目(批准号:2 0 2 1 T 1 4 0 5 3 0)和西安市科协青年人才托举计划项目(批准号:0 9 5 9 2 0 2 0 1 3 2 5).0 引 言捕食-食饵模型中的非随机性觅食通常会导致捕食者向食饵密度较高的区域移动,这种运动在生物防治和生态平衡中具有重要作用.为描述这种非随机性觅食运动,文献1 提出了一类具有食饵趋向的捕食-食饵系统:ut=d i v(d(v)u-u(v)v)+G(u,v),vt=Dv+H(u,v).特别地,当食饵趋向系数(v)=-d(v)时,文献2 考虑了如下一类具有非线性交叉扩散的捕食-食饵系统:ut=(d(v)u)+u-u2+u F(v),x,t0,vt=Dv+v-v2-u F(v),x,t0.(1)在齐次N e u m a n n边界条件下,文献2 给出了系统(1)整体解的存在性和有界性、常数稳态解的稳定性以及时空斑图.基于文献2,文献3 在齐次D i r i c h l e t边界条件下研究了系统(1)正稳态解的存在性以及当参数变化时正解的极限行为.在多数情形下,捕食者之间会竞争食物,考虑到捕食者内部的相互干涉,文献4 和文献5 分别提出了B-D功能反应函数.此外,捕食者在遇到食饵时一般会降低扩散,所以可以合理地假设d(v)是单调递减的.因此基于文献3,本文考虑如下一类具有B-D功能反应函数的齐次D i r i c h l e t边界问题:ut=1+a1+b vu+u-u2+u v1+k u+m v,x,t0,vt=Dv+v-v2-u v1+k u+m v,x,t0,u(t,x)=v(t,x)=0,x,t0,u(0,x)=u0(x),v(0,x)=v0(x),x,(2)其中为n中具有光滑边界的有界域,=ni=12x2i为L a p l a c e算子,1+a1+b v和v1+k u+m v均为正的函数,参数D,均为正常数,是任意实数.未知函数u=u(t,x),v=v(t,x)分别表示捕食者和食饵在位置x处,t0时的种群密度,且捕食者和食饵遵循L o g i s t i c增长.在反应项中,v1+k u+m v表示捕食者的功能反应函数,分别是捕食者和食饵的增长率,是捕食者的转化率.在扩散项中,1+a1+b v和D分别是捕食者和食饵的扩散系数.本文主要讨论系统(2)对应的平衡态问题,重点分析系统平凡解和半平凡解的稳定性及正解的存在性.因此,本文考虑如下椭圆系统:1+a1+b vu+u-u2+u v1+k u+m v=0,x,Dv+v-v2-u v1+k u+m v=0,x,u=v=0,x,(3)建立其平凡解和半平凡解的稳定性,并给出正解存在的充分条件.1 预备知识1.1 特征值问题对任意的(x)C(),线性椭圆特征值问题-w+(x)w=w,x,w=0,x(4)存在下有界的至多可数个特征值,记第i个特征值为i(,),则其满足1(,)2(,)3(,),且当i时,有i(,).1(,)称为问题(4)的主特征值,是一个简单特征值,其对应的特征函数在上不改变符号,且1(,)满足如下变分形式:1(,)=i n fwH10(),w0w2dx+(x)w2dxw2dx.引理16 1)若在上有1(x)2(x),且1(x)不恒为2(x),则1(,1)2(,2);2)若012,则1(1,)0,其中k(0,1);2)h(x,w):0,)是Ck,1+k()的函数,满足h(x,0)恒为0和h(x,w)0;3)对任意的x,h(x,w)关于w0是严格增的,且l i mwh(x,w)=.则当且仅当1(,-m(x)0时,方程(5)有唯一正解,且该解是全局渐近稳定的.由系统(3)可知,当v=0时,u满足-(1+a)u=u-u2,x,u=0,x.(6)则由引理2可知,当且仅当1(1+a,-)(1+a)1(1,0)时,方程(6)有唯一正解,记为1+a,即当1(1+a,-)0时,系统(3)有半平凡解(1+a,0).类似地,当u=0时,v满足-Dv=v-v2,x,v=0,x.(7)则由引理2可知,当且仅当1(D,-)D 1(1,0)时,方程(7)有唯一正解,记为D,即当1(D,-)(1+a)1(1,0),则:1)对任意的x,有1+a,0,定义W=E:+W.根据文献8 中引理3,有W(0,0)=W,W(1,0)=C0()K(),10,W(0,2)=K()C0(),20,W(1,2)=E,10且20.令S=W(-W),则S(0,0)=(0,0),S(1,0)=C0()0,10,S(0,2)=0C0(),20,S(1,2)=E,10且20.令r(T)为算子T的谱半径,则如下引理成立.引理49 设(x)C(),且存在正常数M,使得M-1m a x(x),则:1)当1(,-)1;2)当1(,-)0时,有r(-+M)-1(-1+M)1时,有i n d e xW(T,)=0;2)当r(DT()0,故有v(x0).因此对任意的x,有v(x).类似地,设x1是U(x)在上的最大值点,则由系统(8)的第一个方程,有0-U(x1)=u(x1)-u(x1)+v(x1)1+k u(x1)+m v(x1).因为00,故有u(x1)0,从而u(x1)+v(x1)1+k u(x1)+m v(x1)+v(x1)1+m v(x1).因为v1+m v关于v单增,故有u(x1)+1+m.因此对任意的x,有U(x)U(x1)(1+a)+1+m.2 平凡解和半平凡解的稳定性定理1 1)当1(1+a,-)0且1(D,-)0时,平 凡 解(0,0)是 渐 近 稳 定 的;当1(1+a,-)0或1(D,-)0时,平凡解(0,0)是不稳定的;2)对于1(1+a,-)0时,半平凡解(1+a,0)是渐近稳定的;当1D,1+a,1+k 1+a,-0时,半平凡解(1+a,0)是不稳定的;3)对于1(D,-)0时,半平凡解(0,D,)是渐近稳定的;当577 第4期 崔 璐,等:具有非线性交叉扩散的B-D型捕食-食饵系统的共存解 11,-+D,1+m D,1+a1+b D,0,kt=Dk+-2v-u(1+k u)(1+k u+m v)2k-v(1+m v)(1+k u+m v)2h,x,t0,h=k=0,x,t0.令(h(t,x),k(t,x)=(e-t(x),e-t(x),则可得如下系统:-1+a1+b v-2u+v(1+m v)(1+k u+m v)2+a b u(1+b v)2-u(1+k u)(1+k u+m v)2=,x,-D-2v-u(1+k u)(1+k u+m v)2+v(1+m v)(1+k u+m v)2=,x,=0,x.(9)根据文献1 1,下面应用谱分析判断平凡解和半平凡解的稳定性.由于1)3)的证明过程类似,且3)的分析更复杂,故下面仅给出3)的证明过程.将(u,v)=(0,D,)代入系统(9),有-1+a1+b D,-+D,1+m D,=,x,-D-(-2D,)+D,1+m D,=,x,=0,x.(1 0)令=1+a1+b D,则系统(1 0)可改写为-+D,1+m D,1+a1+b D,=1+a1+b D,x,-D-(-2D,)+D,1+m D,1+a1+b D,=,x,=0,x.(1 1)当恒为0时,因为D,是方程-Dv=v-v2在D i r i c h l e t边界条件下的唯一正解,则对某个i1,由引理1中1)有=i(D,2D,-)1(D,2D,-)1(D,D,-)=0.当不恒为0时,是系统(1 1)中第一个方程的某个特征值,主特征值的变分形式为=i n fH10(),02dx-+D,1+m D,1+a1+b D,2dx11+a1+b D,2dx.677 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 下面确定的符号,设11,-+D,1+m D,1+a1+b D,对应的特征函数为,则主特征值可表示为11,-+D,1+m D,1+a1+b D,=2dx-+D,1+m D,1+a1+b D,2dx2dx.当11,-+D,1+m D,1+a1+b D,0时,有2dx-+D,1+m D,1+a1+b D,2dx 0.由引理3中1)有D,1+a1+b,故有2dx-+D,1+m D,1+a1+b D,2dx11+a1+b D,2dx 1+a1+b11,-+D,1+m D,1+a1+b D,0.因此有 1+a1+b11,-+D,1+m D,1+a1+b D,0时,对每个H10()且0,有00.设是主特征值对应的特征函数,其中H10()且0,则有2dx-+D,1+m D,1+a1+b D,2dx11+a1+b D,2dx1+a1+b11,-+D,1+m D,1+a1+b D,.因此有777 第4期 崔 璐,等:具有非线性交叉扩散的B-D型捕食-食饵系统的共存解 1+a1+b11,-+D,1+m D,1+a1+b D,0.于是,当11,-+D,1+m D,1+a1+b D,0时,系统(1 0)所有特征值均为正,则半平凡解(0,D,)是渐近稳定的;当11,-+D,1+m D,1+a1+b D,0时,系统(1 0)至少有一个负的特征值,则半平凡解(0,D,)是不稳定的.3 正解的存在性下面建立系统(3)正解存在的充分条件.由于(u,v)0和(U,v)0之间存在一一对应关系,因此可将问题转化为研究系统(8)正解的存在性条件.当v=0时,U满足-U=U1+a-U1+a,x,U=0,x.(1 2)则由引理2可知,当且仅当11,-1+a0,即11+a1(1+a,-)0时,方程(1 2)有唯一正解,记为(1+a)1+a,即当1(1+a,-)0时,系统(8)有半平凡解(U,v)=(1+a)1+a,0).当U=0时,v满足方程(7),则根据引理2,当且仅当1(D,-)0时,方程(7)有唯一正解,记为D,即当1(D,-)0时,系统(8)有半平凡解(0,D,).设(U,v)是系统(8)的一个正解,对系统(8)的第二个方程两端同乘v,并在上积分,得-Dvvdx=v2-v3-U1+a1+b vv21+kU1+a1+b v+m vdx.利用分部积分公式和引理6可得Dv2dxv2dx2dx=3,进而有vH10().根据P o i n c a r 不等式,有D 1(1,0)v2dxDv2dx0,故有D 1(1,0),即1(D,-)0,使得U1+a1+b v-U1+a1+b v+v1+kU1+a1+b v+m v+MU0,v-v2-U1+a1+b vv1+kU1+a1+b v+m v+M v0.定义F r c h e t微分算子Ts:OE,有877 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 TsUv=(-+M)-1s U1+a1+b v-U1+a1+b v+v1+kU1+a1+b v+m v+MUsDv-v2-U1+a1+b vv1+kU1+a1+b v+m v+M v,其中s(0,).显然(U,v)为系统(8)的非负解当且仅当(U,v)是T1在W上的不动点.由椭圆算子的正则性理论1 2可知,Ts是E中的全连续算子.经过简单计算可知,Ts在非负解(U,v)处的F r c h e t导数为D Ts(U,v)=(-+M)-1*-s(F(U,v)+U FU(U,v)D d(v)*,(1 3)其中*=sd(v)-2Ud(v)+F(U,v)+U FU(U,v)+M,*=s Ud(v)-(+F(U,v)d(v)d(v)-2U d(v)d2(v)+Fv(U,v),*=sD-2v-U(Fv(U,v)d(v)-F(U,v)d(v)d2(v)+M,d(v)=1+a1+b v,F(U,v)=v1+kU1+a1+b v+m v.引理7 d e gW(I-T1,i n tO)=1.证明:设(Us,vs)是Ts在W上的不动点,则(Us,vs)满足-Us=s Us1+a1+b vs-Us1+a1+b vs+vs1+kUs1+a1+b vs+m vs,x,-Dvs=svs-v2s-Us1+a1+b vsvs1+kUs1+a1+b vs+m vs,x,Us=vs=0,x.(1 4)类似引理6的证明过程可知,对任意的x,有0Us(x)(1+a)+1+m,0vs(x).因此,由O的 定 义 易 见,对 于s(0,),Ts在O上 没 有 不 动 点.根 据 同 伦 不 变 性1 3,d e gW(I-Ts,i n tO)与s无关,即d e gW(I-Ts,i n tO)=d e gW(I-T1,i n tO),其中d e gW(I-Ts,i n tO)表示I-Ts在O内部的L e r a y-S c h a u d e r度.当1(D,-s)0,即sD 1(1,0)/时,根据引理2,vs=0是如下方程的唯一非负解:-Dvs=svs-sv2s,x,vs=0,x.根据比较原理4以及系统(1 4)的第二个方程可知,当sD 1(1,0)/时,有0vsvs(vs恒为0).将vs=0代入系统(1 4),则当s0,即s(1+a)1(1,0)/时,由引理2可知,Us=0.因此,当977 第4期 崔 璐,等:具有非线性交叉扩散的B-D型捕食-食饵系统的共存解 0s0和1(D,-s)0,与参数s的选择矛盾,因此结论得证.因为S(0,0)=(0,0),故可用D Ts(0,0)定义DTs(0,0),则由引理4中2)有r(-+M)-1s 1+a+M1,r(-+M)-1sD+M1.故r(D Ts(0,0)1.根据引理5中2),有i n d e xW(D Ts,(0,0)=1.综上,对任意的s(0,m i nD 1(1,0)/,(1+a)1(1,0)/),有d e gW(I-T1,i n tO)=d e gW(I-Ts,i n tO)=i n d e xW(Ts,(0,0)=1.引理8 设1(D,-)0,则当1(1+a,-)0时,i n d e xW(T1,(0,0)=0.证明:由引理7的证明可知,对任意的(h,k)TW(0,0)(0,0),当1(1+a,-)0且1(D,-)0时,有(I-D Ts(0,0)(h,k)T0成立.当1(D,-)1,从而r(DT1(0,0)=r(D T1(0,0)1.因此,由引理5中1)可知,i n d e xW(T1,(0,0)=0.引理9 设1(D,-)0和1(1+a,-)0成立,则:1)当1D,1+a,1+k 1+a,-0时,i n d e xW(T1,(1+a)1+a,0)=1.证明:由式(1 3)可知,T1在(1+a)1+a,0)处的F r c h e t导数为D T1(1+a)1+a,0)=(-+M)-111+a(-21+a,)+M 1+a,a b-2a b 1+a,1+a+1+k 1+a,01D-1+a,1+k 1+a,+M.令TT1=(-+M)-111+a(-21+a,)+M,TT2=(-+M)-11D-1+a,1+k 1+a,+M.087 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 已知W(1+a)1+a,0)=C0()K(),S(1+a)1+a,0)=C0()0,则可利用TT2定义DT1(1+a)1+a,0).下面用反证法证明当1D,1+a,1+k 1+a,-0时,对任意的(h,k)TW(1+a)1+a,0)(0,0),有(I-D T1(1+a)1+a,0)(h,k)T0成 立.假 设 存 在(h,k)TW(1+a)1+a,0)(0,0),有(I-D T1(1+a)1+a,0)(h,k)T=0成立.即0=(I-D T1(1+a)1+a,0)hk=h-(-+M)-1-21+a,1+a+M h+1+a,a b-2a b 1+a,1+a+1+k 1+a,kk-(-+M)-11D-1+a,1+k 1+a,+Mk,从而有(-+M)-1-21+a,1+a+M h+1+a,a b-2a b 1+a,1+a+1+k 1+a,k=h,x,(-+M)-11D-1+a,1+k 1+a,+M k=k,x,h=k=0,x.(1 5)当k恒为0时,系统(1 5)的第一个方程变为(-+M)-111+a(-21+a,)+Mh=h,即TT1h=h,则1是TT1的一个特征值,且r(TT1)1.因为1+a,是方程-(1+a)h=(-h)h在D i r i c h l e t边界条件下的唯一正解,则由引理1中1)有1(1+a,21+a,-)1(1+a,1+a,-)=0.由引理4中2)有r(TT1)1,矛盾,故k不恒为0.由(h,k)TW(1+a)1+a,0)(0,0)可得,k0.由系统(1 5)的 第 二 个 方 程 有TT2k=k,根 据K r e i n-R u t m a n定 理 可 知,r(TT2)=1.又1D,1+a,1+k 1+a,-0,故由引理4可知,r(TT2)1,矛盾.下面计算在(1+a)1+a,0)处的指标.若1D,1+a,1+k 1+a,-1.利用TT2定义DT1(1+a)1+a,0),有r(DT1(1+a)1+a,0)1.由引理5中1)可知,i n d e xW(T1,(1+a)1+a,0)=0.若1D,1+a,1+k 1+a,-0,则根据引理4中2),有r(TT2)1,即r(DT1(1+a)1+a,0)1.下 面 计 算D T1(1+a)1+a,0)的 谱 半 径.假 设(h,k)E为D T1(1+a)1+a,0)的特征函数,为对应的特征值,则(h,k)满足(-+M)-1-21+a,1+a+M h+1+a,a b-2a b 1+a,1+a+1+k 1+a,k=h,x,(-+M)-11D-1+a,1+k 1+a,+M k=k,x,h=k=0,x.当k不恒为0时,为TT2的特征值,因为r(TT2)1,则0,则由引理4中2),有r(TT1)1,故1.从而D T1(1+a)1+a,0)的所 有 特 征 值 都 小 于1,即r(D T1(1+a)1+a,0)1.再 由 引 理5中2)可 知,i n d e xW(T1,(1+a)1+a,0)=1.类似引理9的证明过程,可得如下引理.引理1 0 若1(D,-)0,则:187 第4期 崔 璐,等:具有非线性交叉扩散的B-D型捕食-食饵系统的共存解 1)当11,-+D,1+m D,1+a1+b D,0时,i n d e xW(T1,(0,D,)=1.定理2 假设1(D,-)0,则:1)当1(1+a,-)0时,若1D,1+a,1+k 1+a,-0时,若11,-+D,1+m D,1+a1+b D,0,则系统(8)至少存在一个正解;3)当1(1+a,-)=0时,系统(8)总存在一个正解.证明:1)反证法.假设系统(8)不存在正解,则当1(D,-)0和1(1+a,-)0时,系统(8)存在平凡解(0,0)和半平凡解(1+a)1+a,0),(0,D,),即T1在W上只有3个不动点(0,0),(1+a)1+a,0),(0,D,).由 引 理8可 知,i n d e xW(T1,(0,0)=0.由 引 理9可 知,若1D,1+a,1+k 1+a,-0,则 有i n d e xW(T1,(1+a)1+a,0)=0.由 引 理1中1)有11,-+D,1+m D,1+a1+b D,0.由引理1 0有i n d e xW(T1,(0,D,)=0.利用不动点的可加性,有1=d e gW(I-T1,i n tO)=i n d e xW(T1,(0,0)+i n d e xW(T1,(0,D,)+i n d e xW(T1,(1+a)1+a,0)=0,矛盾,故系统(8)至少存在一个正解.2)反证法.假设系统(8)不存在正解,则当1(D,-)0时,系统(8)存在平凡解(0,0)和半平凡解(0,D,),即T1在W上只有2个不动点(0,0)和(0,D,).重复1)的步骤,由不动点的可加性,有1=d e gW(I-T1,i n tO)=i n d e xW(T1,(0,0)+i n d e xW(T1,(0,D,)=0,矛盾,故系统(8)至少存在一个正解.3)由于已证得在一定条件下,当1(1+a,-)0时,系统(8)至少存在一个正解.因此,下面假设(Ui,vi)是系统(8)在=i时的一个正解,则(Ui,vi)满足-Ui=Ui1+a1+b vii-Ui1+a1+b vi+vi1+kUi1+a1+b vi+m vi,x,-Dvi=vi-v2i-Ui1+a1+b vivi1+kUi1+a1+b vi+m vi,x,Ui=vi=0,x,其中序列ii=1满足l i mii=,且有1(1+a,-i)0,但1(1+a,-)=0.由引理6可知,对任意的x,均有0Ui(x)(1+a)i+1+m和0vi(x)成立,即Ui(x)和vi(x)是一致有界的.由椭圆方程的Lp估计1 2可知,Ui 和vi 在W2,p()上是一致有界的.由S o b o l e v嵌入定理1 2可知,W2,p()C1(),则W2,p()中的有界集是C1()中的列紧集.因此,Ui 和vi 在287 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 C1()中存在收敛的子列(仍记为Ui 和vi).假设在C1()上,有l i mi(Ui,vi)=(U,v),其中(U,v)是系统(8)在=时的一个非负解.下证(U,v)是系统(8)在=时的正解.根据最大值原理,U和v在上满足:U恒为0或U0;v恒为0或v0.先用反证法证明v0.假设v恒为0,取vi=vivi,则vi满足-Dvi=vi-vi-Ui1+a1+b vi11+kUi1+a1+b vi+m vi,x,vi=0,x.类似地,重复上述紧性的讨论,取vi 的收敛子列(仍记为vi).假设l i mivi=v0在C1()上成立,其中v=1.则(U,v)满足-U=U1+a-U1+a,x,-Dv=v-U1+a11+kU1+a,x,U=v=0,x.对于方程-U=U1+a-U1+a,x,U=0,x,(1 6)由引理2可知,当且仅当11,-1+a0,即11+a1(1+a,-)0.下面用反证法证明U0.假设U=0,取Ui=UiUi,则Ui满足-Ui=Ui1+a1+b vii-Ui1+a1+b vi+vi1+kUi1+a1+b vi+m vi,x,Ui=0,x.类似地,取Ui 的收敛子列,仍记为Ui.假设在C1()上,l i miUi=U,其中U=1.则(U,v)满足-U=U1+a1+b v+v1+m v,x,-Dv=v-v2,x,U=v=0,x.对于方程-Dv=v-v2,x,v=0,x,(1 7)由引理2知,当且仅当1(D,-)0时,方程(1 7)有唯一正解v=D,.因此U满足-U-+D,1+m D,1+a1+b D,U=0,x,U=0,x.由于U0(且不恒为0),故U可视为主特征值对应的主特征函数.由K r e i n-R u t m a n定理可387 第4期 崔 璐,等:具有非线性交叉扩散的B-D型捕食-食饵系统的共存解 知,11,-+D,1+m D,1+a1+b D,=0,再由引理1有11,-+D,1+m D,1+a1+b D,0,与假设矛盾,即有U0,故证得(U,v)是系统(8)在=时的一个正解.参考文献1 KA R E I VAP,O D E L LG.S w a r m so fP r e d a t o r sE x h i b i t“P r e y t a x i s”I f I n d i v i d u a lP r e d a t o r sU s eA r e a-R e s t r i c t e dS e a r c hJ.Am e rN a t u r,1 9 8 7,1 3 0(2):2 3 3-2 7 0.2 J I N H Y,WAN GZA.G l o b a lD y n a m i c sa n dS p a t i o-T e m p o r a lP a t t e r n so fP r e d a t o r-P r e 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i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,1 9 9 6,1 2 7(1):2 9 5-3 1 9.7 GU ICF,L OUY.U n i q u e n e s s a n dN o n u n i q u e n e s so fC o e x i s t e n c eS t a t e s i n t h eL o t k a-V o l t e r r aC o m p e t i t i o nM o d e lJ.C o mmP u r eA p p lM a t h,1 9 9 4,4 7(1 2):1 5 7 1-1 5 9 4.8 D AN C E REN.O nP o s i t i v eS o l u t i o n so fS o m eP a i r so fD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sJ.T r a n sAm e rM a t hS o c,1 9 8 4,2 8 4(2):7 2 9-7 4 3.9 L IL.C o e x i s t e n c eT h e o r e m so fS t e a d yS t a t e s f o rP r e d a t o r-P r e yI n t e r a c t i n gS y s t e m sJ.T r a n sAm e rM a t hS o c,1 9 8 8,3 0 5(1):1 4 3-1 6 6.1 0 NAKA S H I MAK,YAMA D AY.P o s i t i v eS t e a d yS t a t e s f o rP r e y-P r e d a t o rM o d e l sw i t hC r o s s-D i f f u s i o nJ.A d vD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,1 9 9 6,1(8):1 0 9 9-1 1 2 2.1 1 P O T I E R-F E R R Y M.T h eL i n e a r i z a t i o nP r i n c i p l e f o r t h eS t a b i l i t yo fS o l u t i o n so fQ u a s i l i n e a rP a r a b o l i cE q u a t i o n s-J.A r c hR a t i o n a lM e c hA n a l,1 9 8 1,7 7(4):3 0 1-3 2 0.1 2 G I L B A R GD,T RU D I NG E RNS.E l l i p t i cP a r t i a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n so fS e c o n dO r d e rM.2 n de d.B e r l i n:S p r i n g-V e r l a g,1 9 8 3:1 7 7-2 1 8.1 3 AMANN H.F i x e dP o i n tE q u a t i o n sa n dN o n l i n e a rE i g e n v a l u eP r o b l e m si nO r d e r e dB a n a c hS p a c e sJ.S I AMR e v i e w,1 9 7 6,1 8(4):6 2 0-7 0 9.(责任编辑:李 琦)487 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷