等差数列前N项和的公式省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

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+3 +(n-2)+(n-1)+n,S=n+(n-1)+(n-2)+3 +2 +1,下一页,第8页,设等差数列,a,1,a,2,a,3,它前,n,项和是,S,n,=a,1,+a,2,+a,n-1,+a,n,(1),若把次序颠倒是,S,n,=a,n,+a,n-1,+a,2,+a,1,(2),由等差数列性质,a,1,+a,n,=a,2,+a,n-1,=a,3,+a,n-2,=,由,(1)+(2),得,2s,n,=(a,1,+a,n,）,+(a,1,+a,n,）,+(a,1,+a,n,)+.,即,S,n,=n(a,1,+a,n,)/2,下面将对等差数列前,n,项和公式进行推导,下一页,第9页,由此得到等差数列,a,n,前,n,项和公式,即：等差数列前,n,项和等于,首末项,和,与,项数,乘,积,二分之一。,上面公式又能够写成,由等差数列通项公式,a,n,=,a,1,+,(,n-1,),d,解题时需依据已知条件决定选取哪个公式。,正所谓：知三求二,下一页,第10页,迅速作答,（,2,）,1+3+5+,（,2n-1,）,=,（,1,）,1+2+3+n=,（,3,）,2+4+6+2n=,上面习题答案在以后会经惯用到。,n,（,n+1,）,/2,n,（,n+1,）,n,2,=,Sn,=,=,Sn,Sn,第11页,1.,将等差数列前,n,项和公式,看作是一个关于,n,函数，这个函数,有什么特点？,当,d,0,时,S,n,是常数项为零二次函数,则,S,n,=An,2,+Bn,令,第12页,【,说明,】,推导等差数列前,n,项和公式方法叫,；,等差数列前,n,项和公式类同于,；,a,n,为等差数列,，这是一个关于,没有,“,”,倒序相加法,梯形面积公式,S,n,=,an,2,+bn,n,常数项,二次函数,（注意,a,还,能够是,0,）,第13页,例,1,如图，一个堆放铅笔,V,形架最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放,120,支。这个,V,形架上共放着多少支铅笔？,解,：,由题意可知，这个,V,形架上共放着,120,层铅笔，且自下而上各层铅笔数成等差数列，记为,a,n,其中,a,1,=1,a,120,=120.,依据等差数列前,n,项和公式，得,答：,V,形架上共放着,7 260,支铅笔。,第14页,例,2,：,在等差数列,a,n,中，,（,2,）,a,1,=14.5,，,d,=0.7,，,a,n,=32,，求,S,n,（,2,）,由等差数列通项公式，得,14.5+(n,-,1),0.7=32 n=26,（,1,）,a,3,=-2,，,a,8,=12,，求,S,10,解,：,（,1,）,a,1,+,a,10,=,a,3,+,a,8,=10,第15页,由以上例题能够得出,:,在求等差数列前,n,项和时,当知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均能够得出,.,练一练,已知等差数列,a,n,中,已知,a,6,=20,求,S,11,=?,例,3:,已知等差数列,a,n,中,a,2,+a,5,+a,12,+a,15,=36.,求前,16,项和,?,解,:,由等差数列性质可得,:,a,1,+a,16,=a,2,+a,15,=a,5,+a,12,=36/2=18,s,n,=16/2 18=144,答,:,前,16,项和为,144,。,分析：能够由等差数列性质，直接代入前,n,项和公式,第16页,例,4,等差数列,-10,，,-6,，,-2,，,2,，,前多少项和是,54,？,本题实质是反用公式，解一个关于,n,一元二次函数，注意得到项数,n,必须是正整数,.,下一页,第17页,解,：将题中等差数列记为,a,n,，,s,n,代表该数列 前,n,项和，则有,a,1,=,10,d=,6,(,10)=4,依据等差数列前,n,项和公式：,解得,n,1,=9,n,=,3(,舍去),所以等差数列10,6,2,2，前9项和是54.,设该数列前,n,项和为54,下一页,得,第18页,例,5,已知一个等差数列前,10,项和是,310,，前,20,项和是,1220,，求,S,n.,解,：,S,10,=310,，,S,20,=1 220,第19页,巩固练习,1,、已知,a,6,+a,9,+a,12,+a,15,=192,求,S,20,2,、凸,n,边形各内角成等差数列，公差为 10，最小内角为 100，则,n,等于,（,）,（,A,）,7,（,B,）,8,（,C,）,9,（,D,）,8,或,9,a,6,+a,9,+a,12,+a,15,=192,，,a,6,+a,15,=a,9,+a,12,=a,1,+a,20,a,1,+a,20,=96,由题意，得,:,解得,n=,8,或,n=9,（舍）,B,第20页,3.,一个项数为,36,数列前四项和是,21,，后四,项和是,67,，求这个数列和,。,第21页,4,求集合,M=m|m=7n,n,是正整数,且,m100,元素个数,并求这些元素和,.,解,:,由,7n100,得,n100,7,因为满足它正整数,n,共有,14,个,集合,M,中元素共有,14,个,.,即,7,14,21,91,98.,这是一个等差数列,各项和是,答,:,集合,M,中元素共有,14,个,它们和为,735.,=735,返回,第22页,等差数列前,n,项和公式：,熟练掌握等差数列两个求和公式并能灵活利用处理相关问题,小 结,第23页,返回,第24页,2.,等差数列,a,n,前,n,项和性质,性质,1:S,n,S,2n,S,n,S,3n,S,2n,也在等差数列,公差为,在等差数列,a,n,中,其前,n,项和为,S,n,则有,性质,2,:(1),若项数为偶数,2n,则,S,2n,=n(,a,1,+,a,2n,)=n(,a,n,+,a,n+1,)(,a,n,a,n+1,为中间两项,),此时有,:S,偶,S,奇,=,n,2,d,nd,第25页,性质,2,:(2),若项数为奇数,2n,1,则,S,2n-1,=(2n,1),a,n,(a,n,为中间项,),此时有,:S,奇,S,偶,=,两等差数列前,n,项和与通项关系,性质,4:,若数列,a,n,与,b,n,都是等差数列,且前,n,项和分别为,S,n,和,T,n,则,性质,3:,为等差数列,.,a,n,第26页,例,1.,设等差数列,a,n,前,n,项和为,Sn,若,S,3,=9,S,6,=36,则,a,7,+,a,8,+,a,9,=(),A.63 B.45 C.36 D.27,B,3.,等差数列,a,n,前,n,项和性质应用,第27页,第28页,第29页,2.,在等差数列,a,n,中,已知公差,d=1/2,且,a,1,+,a,3,+,a,5,+,a,99,=60,a,2,+,a,4,+,a,6,+,a,100,=(),A.85 B.145 C.110 D.90,A,3,.,一个等差数列前,12,项和为,354,其中项数为偶数项和与项数为奇数项和之比为,32:27,则公差为,.,5,第30页,例4,.,两等差数列,an,、,bn,前,n,项和分别是,Sn,和,Tn,且,求 和,.,等差数列,a,n,前,n,项和性质应用,第31页,例5,.(09,宁夏,),等差数列,a,n,前,n,项和为,S,n,已知,a,m-1,+,a,m+1,-,a,m,2,=0,S,2m-1,=38,则,m=,.,例6,.,设数列,a,n,通项公式为,a,n,=2n-7,则,|,a,1,|+|,a,2,|+|,a,3,|+|,a,15,|=,.,10,153,等差数列,a,n,前,n,项和性质应用,第32页,练习：已知在等差数列,a,n,中,a,10,=23,a,25,=-22,S,n,为其前,n,项和,.,（,1,）问该数列从第几项开始为负？,（,2,）求,S,10,（,3,）求使,S,n,1,时：,当,n=1,时：,也满足式,.,第35页,变 式 训 练,当,n 1,时：,当,n=1,时：,不满足式,.,点评：,分类讨论思想,第36页,例,:,若数列,a,n,前项和,S,n,满足,S,n,=an,2,+bn,试判断,a,n,是否是等差数列。,巩固练习,第37页,观察上面式子,我们能够看出它是,关于,n,二次函数,从而等差数列前,n,项和能够写成形如,:,将等差数列前,n,项和公式写成上,述形式,有利于求其前,n,项和极值,:,a,1,0,a,1,0,d0,d0,最大值,等差数列前n项和再认识:,第38页,例,6,：已知数列,a,n,是等差数列，且,a,1,=21,，公差,d=,2,，求这个数列前,n,项和,S,n,最大值。,等差数列前,n,项最值问题,第39页,等差数列前,n,项最值问题,例,7.,已知等差数列,a,n,中,a,1,=13,且,S,3,=S,11,求,n,取何值时,S,n,取最大值,.,解法,1,由,S,3,=S,11,得,d,=,2,当,n=7,时,S,n,取最大值,49.,第40页,等差数列前,n,项最值问题,例,7.,已知等差数列,a,n,中,a,1,=13,且,S,3,=S,11,求,n,取何值时,S,n,取最大值,.,解法,2,由,S,3,=S,11,得,d,=,20,当,n=7,时,S,n,取最大值,49.,则,S,n,图象如图所表示,又,S,3,=S,11,所以图象对称轴为,7,n,11,3,S,n,第41页,等差数列前,n,项最值问题,例,7.,已知等差数列,a,n,中,a,1,=13,且,S,3,=S,11,求,n,取何值时,S,n,取最大值,.,解法,3,由,S,3,=S,11,得,d,=,2,当,n=7,时,S,n,取最大值,49.,a,n,=13+(n-1)(-2)=,2n+15,由,得,第42页,a,7,+,a,8,=0,等差数列前,n,项最值问题,例,7.,已知等差数列,a,n,中,a,1,=13,且,S,3,=S,11,求,n,取何值时,S,n,取最大值,.,解法,4,由,S,3,=S,11,得,当,n=7,时,S,n,取最大值,49.,a,4,+,a,5,+,a,6,+,a,11,=0,而,a,4,+,a,11,=,a,5,+,a,10,=,a,6,+,a,9,=,a,7,+,a,8,又,d,=,20,a,7,0,a,8,，,S,3,=S,11,，问：这个数列前几项和最大？,例,7,变式题二,：等差数列,a,n,首项,a,1,0,前,n,项和为,S,n,，,S,m,=S,l,问,:n,为何值时，,S,n,最大？,第44页,前,n,项和为,当,n,为何值时，,最大，,数列,通项公式,已知,求：,变式,3,设等差数列,第45页,例,8.,设等差数列前,n,项和为,S,n,已知,a,3,=12,S,12,0,S,13,0,13,a,1,+136,d,0,第46页,法,2,Sn,图象对称轴为,由,(1),知,由上得,即,因为,n,为正整数,所以当,n=6,时,S,n,有最大值,.,S,n,有最大值,.,第47页,例,9,：已知在等差数列,a,n,中,a,10,=23,a,25,=-22,S,n,为其前,n,项和,.,（,1,）问该数列从第几项开始为负？,（,2,）求,S,10,（,3,）求使,S,n,0,d,0,时,数列前面有若干项为正,此时全部正项和为,S,n,最大值,其,n,值由,a,n,0,且,a,n+1,0,求得,.,当,a,1,0,时,数列前面有若干项为负,此时全部负项和为,Sn,最小值,其,n,值由,a,n,0,且,a,n+1,0,求得,.,第52页,1.,推导等差数列前,n,项和公式方法,小结方法：,2.,公式应用中数学思想,.,-,倒序相加法,-,方程思想,3.,公式中五个量,a,1,d,a,n,n,s,n,已知,其中三个量，能够求其余两个,-,知三求二,下一页,第53页,