1、向量公式大全
『ps.加粗字母表示向量』
1.向量加法
AB+BC=AC
a+b=(x+x'，y+y')
a+0=0+a=a
运算律：
交换律：a+b=b+a
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
2.向量减法
AB-AC=CB 即“共同起点，指向被减”
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.
0的反向量为0
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
3.数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=
2、∣λ∣•∣a∣
当λ＞0时，λa与a同方向
当λ＜0时，λa与a反方向
当λ=0时，λa=0，方向任意
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0
『ps.按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0』
实数λ
向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的∣λ∣倍
当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的∣λ∣倍
数乘运算律:
结合律：(λa)•b=λ(a•b
3、)=(a•λb)
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b ② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ
4.向量的数量积
定义：已知两个非零向量a,b 作OA=a,OB=b,则∠AOB称作a和b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a•b 若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉 若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣
向量的数量积的坐标
4、表示：a•b=x•x'+y•y'
向量数量积运算律
a•b=b•a(交换律)
(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)
(a+b)•c=a•c+b•c(分配律)
向量的数量积的性质
a•a=|a|2
a⊥b 〈=〉a•b=0
|a•b|≤|a|•|b|
向量的数量积与实数运算的主要不同点 『重要』
1、(a•b)•c≠a•(b•c) 例如：(a•b)2≠a2•b2
2、由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c
3、|a•b|≠|a|•
5、b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b
5、向量向量积
定义：两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b.若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉.a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线，则a×b=0.
性质
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积
a×a=0
a//b〈=〉a×b=0
运算律
a×b=-b×a
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)
(a+b)×c=a×c+b×c.
『ps.向量没有除法 “
6、向量AB/向量CD”是没有意义的』
6.向量的三角形不等式
∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号
∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号
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三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的
7、重心
向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb，xy'-x'y=0
『零向量0平行于任何向量』
向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a•b=0 xx'+yy'=0
『零向量0垂直于任何向量』
7.定比分点
定比分点公式 P1P=λ• PP2
设P1、P2是直线上的两点，P是直线上不同于P1、P2的任意一点 则存在一个实数 λ，使P1P=λ• PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ) (定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ)
y=(y1+λy2)/(1+λ) (定比分点坐标公式)
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