师大附中高一数学第二次阶段测试(教师用).doc

湖南师大附中高一第二次阶段性测试
数学试题
考试时间90分钟，满分120分，
参考公式：球的表面积公式球，其中是球半径．
锥体的体积公式锥体，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
台体的体积公式台体，其中分别是台体上、下底面的面积，是台体的高
球的体积公式球，其中是球半径．
一、选择题。（本题6小题，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）
1.给出下列命题
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直
②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行
③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直
其中正确命题的个数为（ B ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.已知一个四棱锥的高为3，底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为 （ D ）
A. B. C. D.
3.已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于( A ).
A. B. C. D.
A
B
C
F
D
E

4.如图，长方体中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ B ）
A．与垂直 B．与异面
C．与异面 D．与垂直

5.定义域为R的函数满足条件:
①:；
②: ； ③:.
则不等式的解集是（ C ）
A． B．
C． D．
6.设定义域为R函数f(x)= ,若关于的方程有四个不同的实根，则实数m的取值范围是（ B ）
A.0
二、填空题（本题5小题，共25分）
7.有一个几何体的三视图及其尺寸如下：
6
6
6
6
6
正视图
侧视图
俯视图

一个球与该几何体的表面积相等，则这个球内接正方体的棱长为 _____________．（）
8. 在空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为 。（300）
9.设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
① 若，则；
②若，则；
③若，，则；
④若，，，，则
其中正确的命题是 （请将所有正确结论的序号都填上）（③、④）
10.某同学在借助计算器求“方程lgx=2－x的近似解（精确到0.1）”时，设f(x)=lgx＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8．那么他再取的x的4个值分别依次是 ．（1.5，1.75，1.875，1.8125）
11.定义：区间的长度为，已知函数定义域为，值域为[0，1]，则区间的长度的最小值为，则a的值为 （4或）
三、解答题（本大题共5小题，共65分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．（本小题满分12分）
设全集，集合
（1）求； （2）求（）.
解：要使有意义，须，
即，解得
由,即.
（1）
（2）

13.（本小题满分12分）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；
(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.

解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为，则，
所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；
(2) 当r=0.3时，，三视图如图

正视图 侧视图

俯视图

14.（本题满分13分）已知函数
（1）判断并证明在上的单调性；
（2）若存在，使，则称为函数的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求的值，并求出不动点；
解：（1）
对任意的--------------------------------- 1分
---------- 3分
∵
∴
∴，函数在上单调递增。-------------5分
（2）解：令，--------------------------------7分
令（负值舍去）---------------------------------9分
将代入得--------10分
15.（本小题满分14分）四边形ABCD为等腰梯形，AB//CD,CD=BC=2,AB=4,三角形PAD中，PA=PD,O为AD的中点，平面PAD平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°，E为AB的中点，
（1）求异面直线PE与BD所成的角的余弦值；
（2）求二面角A－PE－O的正切值；
解：连接PO,OE
异面直线PE与BD所成的角为或者它的补角
由已知平面PAD平面ABCD，三角形PAD中，PA=PD
所以PO平面ABCD ,即POOE,
所以为PA与平面ABCD所成的角，即=60°
∴
连接DE，,则AE=ED=AD,
∴OE=
∴在直角三角形POE中
(2)由（1）知：PO平面ABCD，即POAO,
又∵OEAO
∴AO平面POE
∴在△PAE中过A点作AMPE于M，连接OM,则OMPE
∴为二面角A－PE－O的平面角。
在Rt△POE中，由OM·PE=PO·OE得到OM=,
∴tan==,
16.（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，
(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB;
（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；

解：

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