.中考数学圆压轴题

中考数学圆压轴题
A
B
D
E
O
C
H
1推理运算如图，为直径，为弦，且,垂足为．
（1)的平分线交于,连结．求证:为的中点;
（2）如果的半径为，，①求到弦的距离；
②填空:此时圆周上存在 个点到直线的距离为．
2 如图6,在Rt△ABC中，∠ABC=90°,D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，
CB的延长线交⊙O于点E。
(1) 求证AE=CE；
(2) EF与⊙O相切于点E,交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径;
（3）若 （n>0）,求sin∠CAB.

A
B
C
E
D
O

M

3 已知：如图,在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径,M为OB的中点，
CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=。
(1） 求证:；
(2） 求EM的长;
(3）求sin∠EOB的值.

4 如图，已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙O相切于点A,P为⊙O上一动点
(与点A、点B不重合）,PO的延长线与⊙O相交于点C,过点C的切线与直线
m相交于点D．
（1）求证:△APC∽△COD．
(2)设AP＝x，OD＝y，试用含x的代数式表示y．
C
B
O
A
D
（3)试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形．

5 如图，在以O为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、
与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．
（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由;
(3)若，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）

6 在Rt△ABC中，BC=9， CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D， DE⊥DB交AB于点E．
（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证:AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O交BC于点F,连结EF，求的值．

7 如图，点A,B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时,⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米)与时间t（秒)之间的关系式为r＝1+t（t≥0)．
（1）试写出点A，B之间的距离d(厘米）
A
B
N
M
与时间t（秒)之间的函数表达式；
（2）问点A出发后多少秒两圆相切？

P

B
C
D
T
N
M
A
K
(第27题图)

8 如图，在△ABC中,∠BAC＝90°，BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，
AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P、K
两点，作MT⊥BC于T．
（1）求证：AK＝MT；
（2）求证：AD⊥BC；
C
B
A
O
F
D
E
(3）当AK＝BD时,求证:．

9 如图，为的直径,于点，交于点,于点．
（1）请写出三条与有关的正确结论；
（2）当，时，求圆中阴影部分的面积．
A
D
F
E
O
C
B
G
（第10题图）

10 如图，已知的直径垂直于弦于点，过点作交的延长线
于点，连接并延长交于点，且．
（1）试问:是的切线吗？说明理由；
（2）请证明：是的中点；
（3)若，求的长．

11 如图11，⊙P与⊙O相交于A、B两点,⊙P经过圆心O，点C是⊙P的优
弧上任意一点（不与点A、B重合)，连结AB、AC、BC、OC。
（1）指出图中与∠ACO相等的一个角;
（2）当点C在⊙P上什么位置时，直线CA与⊙O相切？请说明理由；
(3）当∠ACB=60°时,两圆半径有怎样的大小关系？请说明你的理由。

（第12题图）
12 如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E,连结AD、BD．
(1）求证：∠ADB=∠E;（3分）
（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由．（3分）
（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．(4分)

1 （1)， （1分）
又，．
． (2分）
又，．
为的中点． （3分）
(2）①，为的直径，，
． （4分）
又，．
， （5分)
．
作于，则． (6分）
②3 （7分）
2 证明:(1）连接DE，∵∠ABC=90°∴∠ABE=90°，
∴AE是⊙O直径． （1分）
∴∠ADE=90°，∴DE⊥AC． （2分）
又∵D是AC的中点，∴DE是AC的垂直平分线．
∴AE=CE． (3分）
（2）在△ADE和△EFA中,
∵∠ADE=∠AEF=90°,∠DAE=∠FAE，
∴△ADE∽△EFA． （4分）
∴，
∴． （5分）
∴AE=2cm． (6分)
（3） ∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线,∴∠ADE=∠AEF=90°，
∴Rt△ADE∽Rt△EDF．　　　∴． (7分）
∵，AD=CD，∴CF=nCD,∴DF=（1+n）CD, ∴DE=CD． （8分)
在Rt△CDE中,CE=CD+DE=CD+(CD） =（n+2）CD．
∴CE=CD． (9分)
∵∠CAB=∠DEC，∴sin∠CAB=sin∠DEC ===． （10

3 A
B
C
E
D
O
M
F
解：⑴ 连接AC,EB，则∠CAM=∠BEM. ……………1分
又∠AMC=∠EMB， ∴△AMC∽△EMB．
∴　，即．………3分
(2) ∵DC为⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，EC= ………………………4分
∵OA=OB=4，M为OB的中点，∴AM=6,BM=2． …………………………………5分
设EM=x，则CM=7－x．代入(1），得 。
解得x1=3，x2=4．但EM＞MC，∴EM=4。 …………………………………………7分
(3） 由（2)知，OE=EM=4．作EF⊥OB于F，则OF=MF=OB1． ………………8分
在Rt△EOF中，EF=　 …………………………9分
∴sin∠EOB=。 ……………………………………………………………10分
4 （1)∵是⊙O的直径,CD是⊙O的切线
∠PAC＝∠OCD＝90°，显然△DOA≌△DOC 1分
∴∠DOA＝∠DOC 2分
∴∠APC＝∠COD 3分
4分
（2）由，得 6分
， 7分
（3）若是一个等边三角形，则 8分
于是,可得，
故，当时，是一个等边三角形 10分

5 解：（1）所在直线与小圆相切，
理由如下：过圆心作,垂足为,
C
B
O
A
D
E
是小圆的切线，经过圆心,
，又平分．
．
所在直线是小圆的切线．
(2）
理由如下:连接．
切小圆于点，切小圆于点，
．
在与中，
,
（HL） ．
,．
（3），．
，．
圆环的面积
又, ．
说明：若第（1）、（2)题中结论已证出，但在证明前未作判断的不扣分．

6 （1) 证明：由已知DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，∴BE是⊙O的直径，点O是BE的中点,连结OD， 1分
∵，∴．
又∵BD为∠ABC的平分线，∴．
∵，∴．
∴，即∴ 4分
又∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线． 5分
（2） 解：设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中， ,
∴ 7分
∵，,∴△ADO∽△ACB．
∴．∴．
∴．∴ 10分
又∵BE是⊙O的直径．∴．∴△BEF∽△BAC
∴．

7 解:（1）当0≤t≤5。5时，函数表达式为d＝11-2t； 　 …………………………1分
当t＞5。5时，函数表达式为d＝2t —11．　　 ……………………………………2分
(2）两圆相切可分为如下四种情况：
①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t,t＝3; …………………4分
②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝； ……………6分
③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11； ………………8分
④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1,t＝13．
所以，点A出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切． ……………………10分
8 证明:(1)∵BM平分∠ABC，∠BAC＝90°，MT⊥BC，
∴AM＝MT．又∵AM＝AK,∴AK＝MT．
（2)∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM．
∵AM＝AN，∴∠AMN＝∠ANM
又∵∠ANM＝∠BND,∴∠AMN＝∠BND．
∵∠BAC＝90°，∴∠ABM＋∠AMB＝90°
∴∠CBM＋∠BND＝90°，∴∠BDN＝90°．
∴AD⊥BC
（3）∵BNM和BPK为⊙A的割线，∴BN·BM＝BP·BK,∴
∵AK＝BD,AK＝MT，∴BD＝MT
∵AD⊥BC，MT⊥BC，∴∠ADB＝∠MTC＝90°，∴∠C＋∠CMT＝90°
∵∠BAC＝90°,∴∠C＋∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠CMT
在△ABD和△CMT中,

∴△ABD≌△CMT，∴AB＝MC
∵AK＝AM，∴AB＋AK＝MC＋AM，即BK＝AC
∴
9 解：（1）答案不唯一,只要合理均可．例如：
①；②；③；④；⑤；⑥;⑦是直角三角形；⑧是等腰三角形． 3分
C
B
A
O
F
D
E
（2）连结，则．
，，． 4分
为的直径，．
在中,，,． 5分
，．
，是的中位线．
．
． 6分
． 7分
． 8分

10 （1）解：是的切线 1分
理由：

即．
是的切线． 2分
A
D
F
E
O
C
B
G
（第19题图1）
（2）第一种方法：
证明：连接，如图(第19题图1）
，
且过圆心
，

是等边三角形． 3分

4分
在中，

D
F
E
O
C
B
G
（第19题图2）
A
点为的中点 5分
第二种方法：
证明：连接，如图(第19题图2）
为的直径

又

3分

且过圆心
4分

点为的中点． 5分
（3）解：

又
6分
7分

8分
11 （1）∠BCO；
（2）连接OP，并延长与⊙P交于点D，
若点C在点D位置时，直线CA与⊙O相切
理由:连接AD，OA
则∠DAO=90°，
即OA⊥DA
所以DA与与⊙O相切
即点C在点D位置时，直线CA与⊙O相切
（3）当∠ACB=60°时,两圆半径相等
理由：∠ADB=∠ACB=60°
又因为∠ADO=∠BDO
所以∠ADO=30°
因为∠DAO=90°
所以OA=OD
即OA=PO
所以当∠ACB=60°时,两圆半径相等

12 解：（1）在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C． 1分
∵DE∥BC,∴∠ABC=∠E，
∴∠E=∠C． 2分
又∵∠ADB=∠C，
　　　　　∴∠ADB=∠E． 3分
（2）当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线． 4分
理由是：当点D是弧BC的中点时，则有AD⊥BC，且AD过圆心O． 5分
又∵DE∥BC，∴ AD⊥ED．
∴ DE是⊙O的切线． 6分
（3）连结BO、AO，并延长AO交BC于点F,
则AF⊥BC，且BF=BC=3． 7分
又∵AB=5，∴AF=4． 8分
设⊙O的半径为,在Rt△OBF中，OF=4－，OB=，BF=3，
　　　　　　∴　＝3＋(4－） 9分
解得＝, ∴⊙O的半径是． 10分
23、解：（1）△CDA≌△DCE,△BAD≌△DCE； 2分

9 / 9