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专题训练二次根式化简求值有技巧(含答案)
专题训练二次根式化简求值有技巧(含答案)

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专题训练（一) 二次根式化简求值有技巧（含答案）
►　类型之一　利用二次根式的性质＝｜a｜化简
对于的化简,不要盲目地写成a，而应先写成绝对值的形式,即|a|，然后再根据a的符号进行化简．即＝｜a|＝
1．已知a＝2－，则＝（　　）
A．1－　 B.－1　 C．3－　 D.－3
2．当a＜且a≠0时,化简：＝________．
3．当a＜－8时,化简：|－4｜。

4．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简:－.

►　类型之二　逆用二次根式乘除法法则化简
5．当ab＜0时,化简的结果是(　　）
A．－a B．a
C．－a D．a
6． 化简：（1）； (2)；

(3)； （4）; （5).

►　类型之三　利用隐含条件求值
7．已知实数a满足＋＝a，求的值．

8．已知x＋y＝－10，xy＝8，求＋的值．

►　类型之四　巧用乘法公式化简
9．计算：（1）（－4－）（4－）； （2）(2＋3）（3－2）；

(3）（2＋）（2－）; （4)(＋4）2016（－4）2017.

►　类型之五　巧用整体思想进行计算
10．已知x＝5－2，则x2－10x＋1的值为（　　)
A．－30 B．－18－2
C．0 D．10
11．已知x＝(＋)，y＝（－），求x2－xy＋y2的值．

12．已知x＞y且x＋y＝6，xy＝4,求的值．

►　类型之六　巧用倒数法比较大小
13．设a＝－，b＝2－，c＝－2，则a，b,c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．b＞c＞a_

详解详析
1．[解析］ B　＝|a－1｜。
因为a－1＝(2－)－1＝1－＜0，
所以｜a－1|＝－(1－）＝－1.
故选B。
2．[答案] －
［解析] 原式＝＝。
当a＜时，2a－1＜0，所以|2a－1|＝1－2a。
所以原式＝＝－。
3．解：当a＜－8时，a＋4＜－4＜0，a＋8＜0，
∴｜a＋4|＝－（a＋4），｜a＋8｜＝－（a＋8)．
∴原式＝｜－（a＋4)－4|＝|－a－8|＝｜a＋8｜＝－（a＋8)＝－a－8.
4．［解析] 由三角形三边关系定理可得2＜c＜8，将这两个二次根式的被开方数分解因式，就可以利用二次根式的性质化简了．
解：由三角形三边关系定理，得2＜c＜8。
∴原式＝－＝c－2－(4－c)＝c－6。
5．［解析] A　由ab＜0，可知a，b异号且a≠0，b≠0。又因为a2≥0，且a2b≥0,所以a＜0，b〉0.
所以原式＝－a。
［点评］ 逆用二次根式的乘除法法则进行化简时,关键是注意法则成立的条件，还要注意二次根式的总体性质符号，即化简前后符号要一致．
6．解:(1)原式＝×＝5×3＝15.
（2）原式＝＝×＝4×7＝28.
(3)原式＝×·＝1。5a·＝ 。
(4)原式＝＝＝。
（5）原式＝＝ 。
7．解:依题意可知a－2017≥0,即a≥2017.
所以原条件转化为a－2016＋＝a，
即＝2016.
所以a＝20162＋2017.
所以＝＝2017。
［点评］ 解决此题的关键是从已知条件中挖掘出隐含条件“a－2017≥0”，这样才能对进行化简，从而求出a的值．

8．解：依题意可知x＜0，y＜0.
所以原式＝＋＝＋＝.
因为x＋y＝－10,xy＝8,
所以原式＝＝。
[点评］ 解决此题的关键是从已知条件中分析出x,y的正负性,这样才能对要求的式子进行化简和求值．如果盲目地化简代入，那么将会得出－这个错误结果．
解答此题还有一个技巧,那就是对＋进行变形时,不要按常规化去分母中的根号，而是要根据已知条件的特点对它进行“通分"．
9．解:（1）原式＝(－)2－42＝15－16＝－1。
（2)原式＝(3)2－(2）2＝18－24＝－6.
(3)原式＝(2＋)（2－)＝（4－2）＝2。
(4)原式＝(＋4)2016（－4）2016（－4)＝[(＋4）（－4)］2016（－4）
＝－4.
[点评] 利用乘法公式化简时，要善于发现公式,通过符号变形、位置变形、公因式变形、结合变形（添括号)、指数变形等,变出乘法公式,就可以利用公式进行化简与计算,事半功倍．
10．[解析］ C　原式＝(x－5)2－24.
当x＝5－2时，x－5＝－2，
∴原式＝（－2）2－24＝24－24＝0.
故选C。
［点评] 解答此题时，先对要求的代数式进行配方，然后视x－5为一个整体代入求值，这比直接代入x的值进行计算要简单得多．
11．解：因为x＋y＝，xy＝[(）2－(）2］＝1,
所以x2－xy＋y2＝(x＋y）2－3xy＝()2－3＝8.
［点评] 这类问题通常视x＋y，xy为整体，而不是直接代入x,y的值进行计算．
12．解：因为(x－y)2＝（x＋y)2－4xy＝20，且x＞y,
所以x－y＝＝2，
所以原式＝＝＝＝。
［点评］ 此题需先整体求出x－y的值，然后再整体代入变形后的代数式计算．
13．[解析] A　因为(－）(＋)＝1，所以a＝－＝。同理，b＝,c＝。当分子相同时，分母大的分式的值反而小，所以a＞b＞c。故选A.
［点评] 这里（－)（＋）＝1，即－与＋互为倒数．因此，比较大小时，可把－转化为，从而转化为分母大小的比较