1、直线与平面垂直的判定与性质 一、选择题 1两异面直线在平面内的射影（ ） A相交直线 B平行直线 C一条直线个点 D以上三种情况均有可能 2若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（ ） A有且只有个 B可能存在也可能不存在 C有无数多个 D定不存在 3在空间，下列哪些命题是正确的（ ） 平行于同一条直线的两条直线互相平行； 垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 平行于同一个平面的两条直线互相平行； 垂直于同个平面的两条直线互相平行 A仅不正确 B仅、正确 C仅正确 D四个命题都正确 4若平面的斜线l在上的射影为l，直线b，且bl，则b与l（ ） A必相交 B必为异面直线 C垂直 D无法确定
2、 5下列命题 平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线； 若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影； 若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等； 若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长 其中，正确的命题有（ ） A1个 B2个 C3个 n 4个 6在下列四个命题中，假命题为（ ） A如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 B垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 C过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 D如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 7已知P
3、是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（ ） A圆内接四边形 B矩形 C圆外切四边形 D平行四边形 8在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则P到BC的距离等于（ ） A B C3 D4 二、填空题 9AB是平面的斜线段，其长为a，它在平面内的射影AB的长为b，则垂线AA_ 10如果直线l、m与平面、满足：l，l，m和m，现给出以下四个结论： 且lm；且m且lm；且lm；其中正确的为“_”（写出序号即可） 11在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有_个 12如图，正方形ABCD，P是正方
4、形平面外的一点，且PA平面ABCD则在PAB、PBC、PCD、PAD、PAC及PBD中，为直角三角形有_个 13给出以下四个命题 （1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线； （2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线； （3）两条异面直线在同一平面内的射影定是两条相交直线； （4）一个锐角在平面内的射影一定是锐角 其中假命题的共有_个 14若一个直角在平面内的射影是一个角，则该角最大为_ 三、解答题 15已知直线a平面,直线b平面，求证：ab 16如图，在长方体AC1中，已知ABBCa，BB1b（ba），连结BC1，过Bl作B1BC1交CC1于E，交BC1于Q，求证：AC平面
5、EBlD1 17如图在ABC中，已知ABC90，SAABC所在平面，又点A在SC和SB上的射影分别是P、Q 求证：PQSC 18已知在如图中，BAC在平面内，点P，PEAB，PFAC，PO，垂足分别是E、F、O，PEPF， 求证：BAOCAO， 19已知：点P与直线a，试证；过点P与a垂直的直线共面 20四面体ABCD的棱ABCD的充要条件是AC2BD2AD2BC2 四、思考题 对于一个三角形，它的三条高线总相交于点，而对于一个四面体，它的四条高线是否总相交于一点呢?若不总相交于一点，则怎样的四面体其四条高线才相交于一点呢?这是一个美丽而非凡的问题，请读者进行研究拓展参考答案一、选择题1D 2
6、B 3B 4C 5A 6A 7C 8D二、填空题9 10、 114 125 134 14180三、解答题15证明：设为过a的平面，且la，albl，ba16证明：AB面B1C，BC1为AC1在平面B1C上的射影，且B1EBC1，由三垂线定理知B1EAC1又AA1面A1C1，ABBC，A1C1B1D1，A1C1是AC1在面A1C1上的射影由三垂线定理得AC1B1D1又B1EB1D1B1，AC1平面EB1D117证明：SA面ABC，BC面ABC，SABC又ABBC且SAABA，BC面SAB，AQ面SABBCAQ，又AQSB，BCSBBAQ面SBCPQ是斜线AP在平面SBC上的射影，又AQSC，由三
7、垂线定理的逆定理可得PQSC18证明：PO，PEPF，OEOF，又PEAB、PFAC，OEAB、OFAC故RtAOERtAOF，BAOCAO19证明：如图，在点P和直线a所在的平面内，过点P作直线a的垂线b，设垂足为A设过点P与垂直的直线为c，则必有ca，再设由b、c确定的平面为，则必有a设l是过点P与a垂直的直线，下证：l若l，设由l与c确定的平面为，则由al，ac，lcP，a，这样平面与都是过点P与直线a垂直的平面这是一个错误的结论，因此，假设不成立，故必有l，也就是说过点P与a垂直的直线均在平面内，于是本题获证20证明：先证必要性：过B作CD的垂线，垂足E，连AE，CDAB，CD平面AB
8、E，CDAEAC2AE2CE2、BD2BE2DE2；又有AD2AE2DE2、BC2BE2CE2AC2BD2AE2BE2CE2DE2，而AD2BC2AE2BE2CE2DE2AC2BD2AD2BC2再证充分性：过A点作CD的垂线，垂足设为F，于是有：AD2AF2DF2、BC2BE2CE2；AC2AF2CF2、BD2BE2DE2；AD2BC2AC2BD2；AF2DF2BE2CE2AF2CF2BE2DE2DF2CE2CF2DE2，DF2CF2DE2CE2，（DFCF）（DFCF）（DECE）（DECE），DFCFDECEDFCEDECFE、F只能重合于一点，故有CD平面ABE，CDAB四、思考题我们称：三对对棱分别互相垂直的四面体为对棱垂直的四面体可以证明：对棱垂直的四面体的四条高线相交于一点，反过来，若一个四面体，若它的四条高线相交于一点，则该四面体一定是对棱垂直的四面体
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