电磁场与电磁波(西安交大第三版)第6章课后答案.doc

第六章 平面电磁波
1.在ε=2, μ=1的理想介质中,频率为=150MHZ的均匀平面波沿y方向传播,y=0处, =10V/m,求, (y,t), ,(y,t) ,,υ.
解：，

Z=120π/
=-（/12π）
(y,t)= 10cos(2π*150*10t-πy)
(y,t)= -/6πcos(2π*150*10t-πy)
==5/6π

2.在真空中
==
求,(z,t), λ, ,Z, .
解：Z=120π
===120π
k=2π
λ==1m，
==-120π

3.在理想介质中
(x,t)= 80πcos(10*10πt+2πx)
(x,t)= -cos(10*10πt+2πx)
求: , ε, μ,λ.
解：，==5*10Hz
，λ==1m,
由: k=2π= (εμ)
及 Z=80π=120π(μ/ε) 得：
ε=9 ,μ=4

4.均匀平面电磁波在真空中沿=1/(+)方向传播, =10,求,(y,z,t),,(y,z,t),
解：则k=2π,
==10
=1/Z*
=/24π(-)
(y,z,t)= 10cos(2πc/λt-（π）(y+z))
(y,z,t)= 1/12π(-)cos(2πc/λt-（π）(y+z))
==（5/6π)(+)

5、在均匀理想介质中
.
求及平均坡印亭矢量。
解：

6、证明电磁波
=5(+)
=（5/120π）
为均匀平面波.
解：因为 ，，
因此是波；
因为 是平面方程，因此是平面波；
、是常矢量。
所以此波是均匀平面波。
7、由(6.2-５)和(6.26)式推导(6.2-7)式。
解：由于

因此
上式两边取平方，得

由此得

解此二元方程得

8、求=100kHz,1MHz,100MHz,10GHz时电磁波在铝(σ=3.6*10/欧米, ε=1, μ=1)中的集肤深度.
解：δ=1/=
=100kHz, δ=2.6526*10 m
=1MHz, δ= 8.3882*10m
=100MHz, δ= 8.3882*10m
=10GHz, δ= 8.3882*10m

9、银的σ=6.1*10(1/欧米),在什么频率上, δ=1mm?
解：
由δ=1/得：
=，
当δ=1mm ，，==4.156KHz

10、电磁波的频率为100MHz,媒质参数为ε=8, μ=1, σ=0.5*10(1/欧米),求υ,
λ,.
解：
= 5.92
，

υ==1/= 1.0607*10m/s
λ=3m

11、设地球的ε=8, μ=1, σ=5*10(1/欧米),在什么频率范围可将地球近似看作
低损耗媒质?求该频率上的.
解：当 σ<<ωε 时，可看作介质，工程中大于10倍即可，故：
10*σ<2πf*ε
即 >= 8.988*10Hz
==0.3332

12、50MHz的均匀平面波透入到湿土（）中。求相位常数、衰减常数、相速、波长、波阻抗、集肤厚度。
解：

13、设，其中σ=0.5*10(1/欧米)，求在的群速和相速。
解：

14、设，其中，求在的群速和相速。
解：

15、分析下面波的极化类型
1)
2)
3)
解：1)
相位差，是线极化波；
2)
是右旋圆极化波；
3)

是左旋椭圆极化波。

16、在真空中,均匀平面波
=[(-1+j2)+(-2-j)]
是什么极化波?求λ,。
解：=[(-1+j2)+(-2-j)]=
是右旋圆极化波；
；

17、均匀平面波
(y,t)= sin(ωt+4πy)+ sin(ωt+4πy-π/3)
是什么极化波?求。
解：(y,t)= sin(ωt+4πy)+ sin(ωt+4πy-π/3)
是椭圆极化波；

18、均匀平面波
=(j+j2+)
是什么极化波?
解：

是右旋圆极化波。
19、证明一个线极化波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。
证明：
设线极化波电场为

上式可写为

其中，是右旋圆极化波，
是左旋圆极化波。
20、推导(6.４-１７)式和(6.４-１8) 式。
解：
（1）
两个分量还可写为 　　(2a)
　　　 　　(2b)
式中　　，，，
设 （3）
则 （4）
（5）
（2）式变换为
(6a)
(6b)
将(6b)式的左端展开，得

消去上式和6a)式中的参量，得

移项得

两边平方，得

整理得椭圆方程
　　　　　　　(6.４-１７)
该椭圆的长轴与轴的夹角为
　　　　　　　　(6.４-１８)

21、均匀平面波从空气中垂直投射到理想导体板上后,在距导体板=20mm,=25mm处相继出现电场波节点及波腹点,在电场波腹点上=2V/m.求及.
解：幅度为的均匀平面波从空气中垂直投射到理想导体板上后，电场是驻波为

显然在电场波腹点，，即
=0.5*=1V/m
=-=,
=0.02m,=15GHz
理想导体板上的面电流为

==0.0053

22、均匀平面波从空气中沿y方向正投射到理想导电板上后在理想导电板上,
=cos(300*10π),求入射波 ,。
解：根据题意，设电场可表示为

如果理想导电板在 ，则

理想导电板上的电流面密度为
=cos(300*10π)
即 ，，，
因此 ，
23、均匀平面波=10从z<0的空气中垂直投射到z>0的介质(ε=4, μ=1)中,求反射系数,透射系数,两区域中的电磁波以及电场波节点,波腹点的位置。
解： ；
；
， ，
，
因为，因此界面是电场波节点。
电场波节点距离界面为
电场波腹点距离界面为

24、如果上题中电磁波方向相反,即从介质垂直投射到空气中,重新计算各值.
解： ；
；
， ，

因为，因此界面是电场波腹点。
电场波腹点距离界面为
电场波节点距离界面为

25、均匀平面波从空气中垂直投射到理想的非磁性介质中.由测量知,距离界面最近的电场波节点上电场的有效值为1V/m,距界面L=1m;电场波腹点上电场强度的有效值为2V/m.求电磁波的频率,以及介质的介电常数。
解：
，界面为电场波节点。
由： 得：
又： 得：，

故：ε=4
，=,

26、均匀平面波=10从z<0的空气中垂直投射到z>0的良导体(ε=1, μ=1，)中,求反射系数,透射系数,两区域中的电磁波以及电场波节点,波腹点的位置。
解：，，

；

导体界面是电场波节点。
区域的场为：

区域的场为：

27、均匀平面波从波阻抗为的理想介质中垂直投射到波阻抗为的理想介质中。证明，对于，电场驻波比；对于，电场驻波比。
证明：
当时，，
当时，，

28、由(6.６-２8) 和(6.６-１５)式推导 (6.６-２９)式。
解：　将
　　　　　　　　(6.６-１５)
代入下式
　　　　　　　　(6.６-２８)
得

分子分母同除以，得
　　　　　　　(6.６-２９)

29、推导式(6.７-１4)、(6.７-１6)和(6.７-１８)。
解
多次反射和透射到达第二个边界面两边上的波分别为

（1）

（2）

（3）
考虑到

因此，（1）、（2）和（3）式分别可写为
　　　　　　　(6.７-１４)

　　　　　　　　　　(6.７-１６)

　　　　　　　　　　　　(6.７-１８)
30、均匀平面波=5,从空气中垂直投射到厚度为d=0.5m, ε=4, μ=1，两界面分别位于的介质板上。求空气介质界面上的反射系数,和空气中的电场驻波比，写出空气中及介质板中的电磁场。如果d=0.25m,重新计算以上各值。
解： 空气中 入射波电场为 =5
，，，
，
，，
（1） ，，，
，

在的边界上，，即

代入，，得

（2），， ，
，

在的边界上，

由此得
，
，

31、频率为=30GHz的均匀平面波垂直从z<0的空气中垂直投射到z>0的介质(ε=2,
μ=1)中.求空气中的驻波比.如果要使空气中无反射波,可在介质上覆盖另一种非磁性介质材料,求该介质材料的介电常数ε及厚度。
解：=30GHz，
，

32、上题中如果频率增加了10%,其他参数不变,覆盖的介质材料还能否消除空气中的反射波?为什么?如果有反射波,驻波比有多大?
解：不能消除空气中的反射波，因为，

==(0.9998 - j0.0111)
0.0001 - 0.0055j
|R|=0.0055
1.0111

33、平面波垂直投射到层介质中，设第层的厚度为，波阻抗为，波数为，在第个边界上左侧的正向电场为，反向电场为，右侧的正向电场为，反向电场为。
证明：
（1）
（2）
（3）对于3层介质

（4）在（3）中，如果已知，求和。
解 （1）在第边界上的边界条件为
（1）
（2）
（2）式可写为
（3）
（13）得
（4）
（1）-（3）得
（5）
将（4）和（5）式写成矩阵形式为
（6）
（2）在第层介质左右两边界上的场满足

或

写成矩阵形式为
（7）
（3）对于3层介质
在第1界面两侧，根据（6）式，有
（8）
在第2层介质左右两边界上的场满足
（9）
在第2界面两侧，根据（6）式，有
（10）
因为第3层是最末一层，因此

由（8）、（9）、（10）式得
（11）
（4）在（3）中，如果已知，求和
（11）式可写为

由上式得
，
式中

34、有效值为1V/m的圆极化均匀平面波,从空气中以θ=π/6的入射角度投射到ε=4,
μ=1的理想介质中.求反射波及折射波.
解：设为z<0空气，波数为,则：
,,
sin,0.2527，cos=0.9682

对平行极化：
= 0.2828
0.6415

对于垂直极化：
=-0.3819
0.6181

35、对于非磁性介质，证明。
证明 因为

有
因此
故

36、推导(6.8-３９)和(6.8-40)式。
解 设垂直极化波以入射角斜投射到两种介质分界面上，如图6.8-4所示。入射波、反射波和折射波可分别表示为
　　　　　　　　　　　　　　　　(6.8-３３)
　　　　　　　　　(6.8-３４)
　　　　　　　　　　　　　　　　(6.8-３５)
　　　　　　　　　(6.8-３６)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6.8-３７)
　　　　　　　　　　(6.8-３８)
利用边界条件，，和，
，
等式两边除以，得
，
求解可得到垂直极化波的反射系数和折射系数分别为

　　　　　　　　　　　　　(6.8-３９)
　　　　　　　　　(6.8-４０)
37、圆极化波从空气中斜投射到ε=4, μ=1的介质中,为了使反射波为线极化波,入射角度应为多少? 反射波是哪种极化方向的线极化波?
解：只有平行极化波才会出现无反射或全折射现象，所以反射波为垂直极化的波。入射角度应为
=

38、电场有效值为1V/m的垂直极化波从介质(ε=1.5, μ=1)中透过的界面斜投射到空气中,求临界角θ,并分别求入射角为θ,θπ/12时的反射波及折射波电场。
解：介质中的，空气中波数为 。

（1）
θ=
sinθ=0.8165,cosθ=0.5774
当=θ时:，
=1，=2

(2)当=θ-时: ,,
, cos=0.622

　　　　　　　　　　　=1.2045

（3）当=θ+时: ,,
,

39、入射波均匀平面波从波阻抗为的理想介质透过的界面斜投射到波阻抗为的理想介质中。如果定义，。
求用和表示的和。
解 （1）对于平行极化波
设平行极化波以入射角斜投射到两种介质的分界面上，入射波、反射波和折射波可分别表示为
　　　　　　　　(6.8-２１)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6.8-２２)
　　　　　　　　　(6.8-２３)
　　　　　　　　　　　　　　　　(6.8-２４)
　　　　　　　　　(6.8-２５)
　　　　　　　　　　　　　　　　(6.8-２６)
，

（2）对于垂直极化波
设垂直极化波以入射角斜投射到两种介质分界面上，入射波、反射波和折射波可分别表示为
　　　　　　　　　　　　　　　　(

，
利用边界条件，，可得到垂直极化波的反射系数和折射系数分别为

40、入射波 从空气中斜投射到的理想导电平面，求出合成波的各电磁场分量。
解
入射波为
　　　　　　　　　　　　　　　　　(

反射波为

如图所示。

　垂直极化的均匀平面波斜投射到理想导体表面
利用理想导体表面的边界条件，得

入射波和反射波叠加得到合成波的各分量分别为

41、由(6.10-２) 式推导(6.10-4) 式。
解：在电磁场的作用下，等离子体中电子的运动方程为
　　　　　　　　　　　　　(6.10-1)
式中为恒定磁场（地球磁场），为交变电场（电磁波电场），和分别为电子的质量和电量，为电子运动速度。对于正弦电磁场，上式的复数形式为
　　　　　　　　　　　　　　(6.10-２)
设，将上式在直角坐标系展开为三个标量方程得

解以上方程可得到电子运动速度的三个分量分别为

　　　　　　　　　　(6.10-３)　

式中称为回旋角频率。
　　将(6.10-３)式写成距阵或矢量形式为
　　　　　　　　　　　　　(6.10-４)
式中为矩阵，各元素为

　　　　　　　　　　(6.10-５)

42、推导(6.10-９)式。
解：设等离子体中单位体积内的电子数为，则等离子体中的运流电流密度为
　　　　　　 （1）
将(6.10-４)式代入上式得
　　　　　　　　　　　　　(2)
在等离子体中，考虑到由上式给出的运流电流，麦克斯韦方程组的旋度方程为

上式可写为

或
式中
为了分析波在等离子体中的传播特性，将上式写成如下形式
　 　(3)
此式表明，等离子体对电磁波具有电各向异性。式中为等离子体的各向异性介电常数矩阵　　　　　　　　　(6.10-８)
　其中各矩阵元素分别为

　　　　　　　　　　(6.10-９)

式中称为等离子体频率或朗缪尔频率。

43、设在电离层中的均匀平面波形式为，求及。
解 等离子体中电场所满足的方程为
　　　　　　　　(1)
设恒定磁场作用下的等离子体中沿方向传播的均匀平面波的电场形式为
　　　　　　　　　　（2）
式中 是常矢量；，
利用，考虑到是常矢量，得

结果代入（1）式得
（3）
当 时，，（3）简化为

当 时，，（3）简化为

上式除以得

将上式写成矩阵形式为
　　　 （4）
这是一个齐次方程，要使方程有非零解，其系数行列式必须为０，即

由此得到所满足的方程

可求得

值代入齐次方程(4)式，可解得对应的波分别为

44、设在电离层中的均匀平面波形式为，求。
解 等离子体中电场所满足的方程为
　　　　　　　　(1)
设恒定磁场作用下的等离子体中沿方向传播的均匀平面波的电场形式为
　　　　　　　　　　（2）
式中 是常矢量；，
利用，考虑到是常矢量，得

结果代入（1）式得
（3）
上式除以得

考虑到，得

设在xz平面，和z轴的夹角为，即 ，那么上上式可写为

或
将上式写成矩阵形式为

这是一个齐次方程，要使方程有非零解，其系数行列式必须为０，即

由此得到所满足的方程

由此方程解得