1、高三下学期文科数学立体几何大题练习
1、如图，已知平面，平面，为等边三角形，， 为的中点.
（1） 求证：平面平面；
（2） 求二面角的余弦值.
2、将边长为的正方形沿对角线折叠，使得平面⊥平面，
⊥平面，且．
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）直线上是否存在一点，使得∥平面，
若存在，求点的位置，若不存在，请说明理由．
3、如图，四棱锥的底面为矩形，
且,,,，
（1）求证：平面PAD与平面PAB垂直；
（2）求直线PC与
2、平面ABCD所成角的正弦值．
4、已知直三棱柱，底面是等腰三角形
，, 点分别是
的中点.
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
5、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．
(Ⅰ) 求证：AB1⊥平面A1BC1；
A1
B1
C1
D
B
A
C
(第20题图)
(Ⅱ) 若D为B1C1的中点，求AD与平面A1BC1所成的角．
6、
3、
6、在四棱锥中， ，，点是线段上的一点，且，．
（1）证明：面面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
8、如图（1）在直角梯形ABCD中，AB//CD，ABAD且AB=AD=CD=1，现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿AD将正方形翻折，使平面ADEF与平面ABCD互相垂直如图（2）。 （1）求证：平面BDE平面BEC
A
B
C
D
E
F
图2
A
B
E
C
图1
F
D
（2）求直线BD与平面BEF所成角的正弦值。
4、
1解法一：（1）设CE中点为M，连BM，MF 则,
由 可知
∵平面 ∴ 即
∴,又∵,∴平面平面
（2）过M作MD⊥EF于P，∵ ∴BD⊥EF
即是二面角的平面角的补角
∵, ∴.
即二面角的余弦值为.
解法二：设，建立如图所示的坐标系，则
.
∵为的中点，∴.
(1) 证明: ∵，
∴，∴.
∴平面，又平面，
∴平面平面.
(2) 解: 设平面的法向量，由，可得：
同理可求得平面的法向量
,二面角的余弦值
5、为.
2（1）略----------5分；
（2）--------5分；
（3）M为BE的中点--------5分
3．【解题思路】
（Ⅰ）作交于，连接，为等腰直角三角形
为中点，
∥，四边形是边长为1的正方形，；
（Ⅱ），面面，面，
，直线CE与面的所成角为，
.
4解(Ⅰ) 取中点，连结分别交于点，则分别
为的中点，连结，则有，
而
所以 ，所以
所以 ，又 平面，平面
所以 平面 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分
(Ⅱ) 过A作AD于D，连接MD,作AOMD于O
6、连接BO，
平面ABC， MA
又AD
就是与平面ABC所成在角.
在中， ，AD=2.
在中，，,
.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14分
5、由题意知四边形AA1B1B是正方形，故AB1⊥BA1．
由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1．
又A1C1⊥A1B1，所以A1C1⊥平面AA1B1B，故A1C1⊥AB1．
从而得 AB1⊥平面A1BC1． ………… 7分
(Ⅱ) 设AB1与A1B相交于点O，则点O是线段AB1的中点．
连接AC1，由题意知△AB1C1是正三角形．
由AD，C1O是△AB1C1的中线知：AD与C1O的交点为重
7、心G，连接OG．
由(Ⅰ) 知AB1⊥平面A1BC1，故OG是AD在平面A1BC1上的射影，于是∠AGO是AD与平面A1BC1所成的角．
在直角△AOG中，AG＝AD＝AB1＝AB， AO＝AB，
所以sin∠AGO＝＝．
故∠AGO＝60°，即AD与平面A1BC1所成的角为60°．………… 15分
8、⑴证 平面平面
又是正方形
平面
又平面平面
又 是直角梯形
得
平面
平面平面 7分
8、⑵解： 是正方形
平面,平面
平面
到平面的距离与到平面的距离相等
又
平面
平面 平面平面
过作的垂线垂足为，则平面
到平面的距离为
12分
又 设与平面所成角为
则
6、（1）由，得，
又因为，且，所以面，……5分
且面．所以，面面。……7分
（2）过点作，连结，
因为，且，
所以平面，又由平面，
所以平面平面，平面平面，过点作，即有平面，所以为直线与平面所成角．……10分
在四棱锥中，设，则，，，∴，
从而，即直线与平面所成角的正弦值为．……15分
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