一比较法.doc

一、基础达标
1.P＝＋＋(a，b，c均为正数)与3的大小关系为(　　)
A.P≥3 B.P＝3
C.P＜3 D.P＞3
解析　∵a，b，c均为正数，∴P＝＋＋＜＋＋＝3，即P＜3，故选C.
答案　C
2.用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为(　　)
A.a，bc，全不为0
B.a，b，c至少有一个为0
C.a，b，c至少有一个不为0
D.a，b，c至多有一个不为0
解析　“a，b，c全为0”的反面应为“a，b，c至少有一个不为0”.故选C.
答案　C
3.设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)
A.至少有一个不大于2
B.都小于2
C.至少有一个不小于2
D.都大于2
解析　∵a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，
当且仅当x＝y＝z时等号成立，
∴a，b，c三者中至少有一个不小于2.
答案　C
4.已知a＞0，b＞0，c＞0，且a2＋b2＝c2，则an＋bn与cn的大小关系为(n≥3，n∈N＋)(　　)
A.an＋bn＞cn B.an＋bn＜cn
C.an＋bn≥cn D.an＋bn＝cn
解析　∵a2＋b2＝c2，∴＋＝1.
∴＜，＜.
∴＋＜＋＝1.
∴an＋bn＜cn.故选B.
答案　B
5.A＝1＋＋＋…＋与(n∈N＋)的大小关系是________.
解析　A＝＋＋＋…＋≥＝＝.
答案　A≥
6.设a，b，c均为正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于零”的________条件.
解析　必要性是显然成立的；当PQR＞0时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P＞0，Q＜0，R＜0，则Q＋R＝2c＜0，这与c＞0矛盾，即充分性也成立.
答案　充要
7.若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.
证明　法一　假设a＋b＞2，
而a2－ab＋b2＝＋b2≥0.
但取等号的条件为a＝b＝0，显然不可能，
∴a2－ab＋b2＞0.
则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＞2(a2－ab＋b2)，
而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b2＜1.
∴1＋ab＞a2＋b2≥2ab.从而ab＜1.
∴a2＋b2＜1＋ab＜2.
∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＜2＋2ab＜4.
∴a＋b＜2.这与假设矛盾，故a＋b≤2.
法二　假设a＋b＞2，则a＞2－b，
故2＝a3＋b3＞(2－b)3＋b3，即2＞8－12b＋6b2，
即(b－1)2＜0，这不可能，从而a＋b≤2.
法三　假设a＋b＞2，则(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)＞8.
由a3＋b3＝2，得3ab(a＋b)＞6.故ab(a＋b)＞2
又a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2.
∴ab(a＋b)＞(a＋b)(a2－ab＋b2).
∴a2－ab＋b2＜ab，即(a－b)2＜0.
这不可能，故a＋b≤2.
二、能力提升
8.设x＞0，y＞0，A＝，B＝＋，则A与B的大小关系为(　　)
A.A≥B B.A＝B
C.A＞B D.A＜B
解析　∵x＞0，y＞0，∴A＝＋＜＋＝B.
答案　D
9.对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立.
其中判断正确的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　对于①，假设(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，这时a＝b＝c，与已知矛盾，故(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0，故①正确.
对于②，假设a＞b与a＜b及a≠c都不成立，这时a＝b＝c，与已知矛盾，故a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立，故②正确.
对于③，显然不正确.
答案　C
10.若A＝＋＋…＋，则A与1的大小关系为________.
解析　A＝＋＋…＋＜
＝＝1.
答案　A＜1
11.若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.
证明　假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
则a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，
∴a＋b＋c＞0，
这与a＋b＋c≤0矛盾，因此假设不成立，
∴a，b，c中至少有一个大于0.
12.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明＋＋…＋<.
证明　(1)由an＋1＝3an＋1
得an＋1＋＝3.
又a1＋＝所以是首项为，公比为3的等比数列.
所以an＋＝，
因此{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知＝.
因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.
所以＋＋…＋<.
三、探究与创新
13.已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的通项an＝loga(其中a＞0，且a≠1)，记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn＋1的大小，并证明你的结论.
解　(1)设数列{bn}的公差为d，
由题意，得
∴b1＝1，d＝3.
∴数列{bn}的通项公式为bn＝3n－2.
(2)当a＞1时，Sn＞logabn＋1(n∈N＋)；
当0＜a＜1时，Sn＜logabn＋1(n∈N＋).
证明如下：
∵bn＝3n－2，∴an＝loga＝loga.
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝loga.
又logabn＋1＝loga.
∴比较Sn与logabn＋1的大小，
即比较××…×与的大小.
记An＝××…×，Bn＝.∵＞1，
∴对任意n∈N＋，都有＞＞＞0.
∴＞××＝，
从而A＝××…××＞××…××＝3n＋1＝B.
∴An＞Bn(n∈N＋).
由对数的单调性，可得当a＞1时，Sn＞logabn＋1(n∈N＋)；
当0＜a＜1时，Sn＜logabn＋1(n∈N＋).