2014届上海市浦东新区高三下学期4月二模考试理科数学试题及答案.doc

上海市浦东新区2014年高考预测（二模）数学（理）试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 已知全集，若集合，则=_2. 双曲线的渐近线方程为 .3.函数的最大值为_5_4.已知直线和，若，则.5.函数的反函数为，如果函数的图像过点，那么函数的图像一定过点_.6. 已知数列为等差数列，若，则的前项的和_.7.一个与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为，则球的体积为 _ 8.(理) 一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为_0.989.设，的二项展开式中含项的系数为7，则_10.(理)在平面直角坐标系中,若直线（为参数）过椭圆（为参数）的右顶点,则常数=_3_. 11.(理)已知随机变量的分布列如右表，若，则=_1 x1234n0.20.3m12.在中, 角所对的边长,的面积为,外接圆半径，则的周长为_13抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值为 .14.(理)已知函数的定义域为，值域为集合的非空真子集，设点，的外接圆圆心为M，且，则满足条件的函数有12个二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. “”是“”的(A) （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件16. （理）已知， 是虚数单位.若复数是实数，则的最小值为( D )（A）0 （B） （C ） 5 （D）17.能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（ D ）（A）（B）（C）（D）18. （理）方程的解的个数为（ B ）（A）2（B）4（C）6（D）8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.（理）如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点.（1）求异面直线与所成角的大小；E（2）求点到平面之间的距离.解：（1）设的中点为，连接，则，且，所以或其补角即为异面直线与所成的角。3分连接ME，在中，5分所以异面直线与所成的角为。6分（2）， 以点为坐标原点，分别以、所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系，则：， 8分设平面的一个法向量为则所以平面的一个法向量为. 10分又，所以点到平面的距离.12分BDCAQP20（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在处同时出发，沿直线、向前联合搜索，且（其中点、分别在边、上），搜索区域为平面四边形围成的海平面.设，搜索区域的面积为.（1）试建立与的关系式，并指出的取值范围；（2）求的最大值，并求此时的值.解：（1） 2分 4分 6分（2）令 8分 10分，（当且仅当时，即，等号成立）12分当时，搜索区域面积的最大值为（平方海里）此时， 14分21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.（理）已知定义在R上的函数，对任意实数都有，且.（1）若对任意正整数，有，求、的值，并证明为等比数列；（2）设对任意正整数，有若不等式对任意不小于2的正整数都成立，求实数的取值范围解：（1）令，得，则， 1分令，得，则， 2分令，得，即， 4分则，所以，数列是等比数列，公比，首项. 6分（2）令，得，即则是等差数列，公差为2，首项， 故， 8分. 9分 设，则，所以是递增数列，11分从而，即12分则，解得 14分22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.（理）已知中心在原点，左焦点为的椭圆的左顶点为，上顶点为，到直线的距离为.(1) 求椭圆的方程；(2) 过点作直线，使其交椭圆于、两点，交直线于点. 问：是否存在这样的直线，使是、的等比中项？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.xyRxSQPO(3) 若椭圆方程为：（），椭圆方程为：（，且），则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆.已知是椭圆的倍相似椭圆，若直线与两椭圆、交于四点(依次为、)，且，试研究动点的轨迹方程.解：(1)设椭圆方程为：（），所以直线方程为：1分到直线距离为 2分又，解得：，3分故：椭圆方程为：. 4分(2) 当直线与轴重合时，而，所以若存在直线，使是、的等比中项，则可设直线方程为： 5分代人椭圆的方程，得：即： 记， ， 7分，即，解得：，符合，所以 9分故存在直线，使是、的等比中项，其方程为，即： 10分 (3) 椭圆的倍相似椭圆的方程为： 11分设、各点坐标依次为、 将代人椭圆方程，得： （*） 此时：，13分 将代人椭圆方程，得： ，14分，可得线段、中点相同，所以由，所以，可得：（满足(*)式）.故：动点的轨迹方程为. 16分23（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.（理）定义区间，的长度均为，其中（1）已知函数的定义域为，值域为，写出区间长度的最大值与最小值.（2）已知函数的定义域为实数集,满足 (是的非空真子集) . 集合, ,求的值域所在区间长度的总和 （3）定义函数，判断函数在区间上是否有零点，并求不等式解集区间的长度总和解：（1），解得或，1分，解得， 2分画图可得：区间长度的最大值为，最小值为.4分（2） 6分当， 7分当， 8分所以时，9分所以值域区间长度总和为。 10分（3）由于当时，取，取， 所以方程在区间内有一个解 12分考虑函数，由于当时，故在区间内，不存在使的实数；对于集中的任一个，由于当时，取，取，又因为函数在区间内单调递减，所以方程在区间内各有一个解；依次记这个解为，从而不等式的解集是，故得所有区间长度的总和为 15分对进行同分处理，分子记为 如将展开，其最高项系数为，设 又有 对比中的系数，可得： 18分