重庆市西南师大附中2010届高三数学5月高考模拟考试-理人教版.doc

重庆市西南师大附中2010届高三5月模拟考试（数学理）
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共50分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3．考试结束，监考人员将答题卡收回．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）各题答案必须答在答题卡上．
1． 已知复数z满足，则z＝（ ）
A． B． C． D．
2． 定义在R上的奇函数满足，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
3． 等差数列{an}中，a5 + a7 =16，a3 = 4，则a9 =（ ）
A．8 B．12 C．24 D．25
4． 若，且，那么必有（ ）
A． B． C． D．
5． 若向量a，b满足，则向量a与b的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
6． 已知函数
，其中以4为最小值的函数个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7． 的值为（ ）
A．– 1 B．0 C． D．1
y
O
-a
x
8． 下图是正态分布N∽(0，1)的正态分布曲线图，下面4个式子中，能表示图中阴影部分面积的有（ ）个
① ②
③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
9． 已知三棱锥A—BCD中，，BC = CD = 1，AB⊥面BCD，，点E、F分别在AC、AD上，使面BEF⊥ACD，且EF∥CD，则平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
10． 函数定义域为D，若满足①在D内是单调函数②存在使在上的值域为，那么就称为“成功函数”，若函数 (a > 0，a1)是“成功函数”，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡上（只填结果，不要过程）
11． 在的展开式中，常数项为15，则的值为______________．
12． 已知，则的值为_____________．
13． 某旅馆有1个三人间、2个两人间可用，有三个成人带两个小孩来投宿，小孩不宜单住一间(必须有成人陪同)，且不要求房里都住有人，则不同的安排住宿方法有_________种．
14． 设实数满足，则的最大值是___________．
15． 如图，已知椭圆的左、右准线分别为l1、l2，且分别交x轴于C、D两点，从l1上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与l2交于点B，若，且，则椭圆的离心率等于_____________．
三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
16． (本小题满分13分)
已知函数的图象按向量平移得到函数
的图象．
(1) 求实数a、b的值；
(2) 设函数，求函数的单调递增区间和最值．
17． (本小题满分13分)
某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．
(1) 试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；
(2) 商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是，请问:商场应将每次中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？
18． (本小题满分13分)
已知函数的导数．a，b为实数，．
(1) 若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求a、b的值；
(2) 在 (1) 的条件下，求曲线在点P（2，1）处的切线方程；
(3) 设函数，试判断函数的极值点个数．
19． (本小题满分12分)
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，，．
(1) 证明：AD⊥平面PAB；
(2) 求异面直线PC与AD所成的角的大小；
(3) 求二面角P—BD—A的大小．

20． (本小题满分12分)
设F是椭圆C：的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：∠AFM =∠BFN；
(3) 求三角形ABF面积的最大值．

21． (本小题满分12分)
古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
(1) 写出a1，a2，a3，并求出an；
(2) 记，求和（）；
（其中表示所有的积的和）
(3) 证明：．

数学试题参考答案 (理)
2010年5月
一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）
1．D
2．C
3．B
4．B
5．A
6．A
7．A
8．C
9．B
10．D
二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）
11．6 12． 13．60 14．25 15．
三、解答题：（本大题6个小题，共75分）
16．解：(1) 依题意按向量0平移得
f(x)－＝sin［2(x＋)＋］ 得f(x)＝－sin(2x＋)＋
又f(x)＝acos(x＋)＋b＝－sin(2x＋)＋＋b
比较得a＝1，b＝0 6分
(2)(x)＝g(x)－f(x)＝sin(2x＋)－cos(2x＋)－＝sin(2x＋)－
∴(x)的单调增区间为， 值域为 13分
17．解：(1) 从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品一共有种选法，选出的3种商品中没有日用商品的选法有种， 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为. 4分
(2) 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量，
设为X，其所有可能值为0，，2，3 6分
X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，
所以 7分
同理可得 8分
9分
10分
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是
12分
要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额，因此应有，所以， 13分
故商场应将中奖奖金数额最高定为100元，才能使促销方案对商场有利. 14分
18．解：(1) 由已知得，， 由，得，．
∵，，
∴ 当时，，递增；
当时，， 递减．
∴ 在区间上的最大值为，∴．
又，，∴ ．
由题意得，即，得． 故，为所求．
(2) 由 (1) 得，，点在曲线上．
当切点为时，切线的斜率，
∴ 的方程为，即．
(3) ．
∴
．
二次函数的判别式为
，令，
得：令，得
∵，，
∴当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；
当时，此时方程有两个不相等的实数根，
根据极值点的定义，可知函数有两个极值点．
19．解：
(1) AD⊥面PAB 4分

(2) AD∥BC∠PCB（或其补角）为异面直线PC与AD所成角

8分
(3) 作PM⊥AB于M，MO⊥BD于O

MO⊥BD
PM⊥AB
PM面PAB

为二面角P—BD—A的平面角 10分

12分
20．解：(1) ∵ ∴ a = 4
又∵ | PM | = 2 | MF |得

(2) 当AB的斜率为0时，显然满足题意
当AB的斜率不为0时，设，AB方程为
代入椭圆方程整理得
则

综上可知：恒有 9分
(3)

当且仅当（此时适合△＞0的条件）取得等号.
∴三角形ABF面积的最大值是3 13分
21．解：(1)
事实上，要将个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面个圆盘转移到B柱上，需要次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将柱上的个圆盘转移到C柱上，需要次转移，所以有
则，所以
(2)
则

（）
(3) 令，则当时

又，所以对一切有：

另方面恒成立，所以对一切有

综上所述有：

用心 爱心 专心