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想学生所想 研教学之法

——“平行四边形的面积”教学片断与思考
建构主义认为，知识不是通过教师传授得到的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得的。那么，面对新的知识，学生到底是怎样进行意义建构的？达成意义建构的内因和外因是什么？在学生意义建构过程中会碰到哪些困难？教师和同伴应该提供怎样的帮助……显然，加强对学生数学学习心理和思维过程的研究有助于我们正确回答这些问题。

就“平行四边形的面积”的教学而言，本课要解答的无非是这样的问题：平行四边形的面积公式是什么，不是什么？平行四边形的面积为什么是“底×高”，为什么不是“底×邻边”？而学生在学习的过程中，一直在想的或许也是这些问题（当然也可能只是其中的某个问题）。教学就要基于学生的这种真实思维而展开，想学生所想，研教学之法，才能促进有效建构。

教学片断一：

首先，在无提示的状态下让学生自主尝试计算平行四边形纸片的面积，学生的想法大致分为两种情况：一种是用“底×高”计算，另一种用“底×邻边”计算。接着，引导学生借助“数方格”的方法验证这两种算法，发现 “底×高”的计算结果是正确的，而“底×邻边”的结果是错误的。然后，教师组织全班同学交流想法：

师：平行四边形面积用“底×高”来计算，到底有什么道理呢？

生1：因为把平行四边形沿着高剪下一个三角形来，拼到另一边，就可以变成一个长方形。长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高，它们的面积是一样的……

（教师利用黑板上的图，请学生上前剪拼，告知这叫“转化”，并引导学生理解这些联系，最后得出“底×高”实际上就是“长×宽”，算的是剪拼后的长方形的面积，也就是原来平行四边形的面积。）

师：用转化的方法，我们可以把没学过的知识变成已学过的知识，从而解决问题，这是学习数学的一种重要方法。

生2：老师，我也是把平行四边形转化成长方形的呀！（迫不及待地跑上前，拿起平行四边形框架，把它推拉成了一个长方形。）这个底边就是长方形的长，邻边就是长方形的宽，“底×邻边”不就是“长×宽”吗？怎么不对呢？

（看到这一幕，不少同学也都面露困惑之色。）

师（故作疑惑）：是啊，像他这样，把平行四边形拉成长方形，也是转化成长方形，怎么就不对呢？问题到底出在哪儿呢？

（教师把长方形框架贴在黑板的平行四边形图片上）

教室里短暂的静寂之后——

生3：啊，我发现了！像他这样拉成长方形后，面积比平行四边形变大了。

生2（还是一脸困惑）：怎么会变大呢？一样大呀！

师：把平行四边形推拉成长方形以后，变大的部分在哪里，你能不能上来指出来？

（生3上前指出变大的部分，教师协助生3用剪刀把平行四边形纸片剪拼成了一个长方形，并与长方形框架比较。使学生直观地看出这样转化之后，“底×邻边”算得的面积比平行四边形大了，面积发生了变化。同学们都恍然大悟，认可了“推拉成长方形后面积发生变化”的结论。）

师：想一想，“底×邻边”计算出的是谁的面积？

生：是转化后的长方形的面积，不是平行四边形的面积。

师：说得真好！与前面的“剪拼转化后面积不变”不同，这样的“推拉”转化之后，平行四边形的面积发生了变化。但是，这个转化中，有一样东西也是不变的，你看出来了吗？

生：平行四边形四条边的长度没有变。

师：也就是周长没有变，但是面积却变了。看来，在运用转化的方法时，我们要想清楚，转化之后，变的是什么，不变的是什么。

……

思考：

“知其然，更要知其所以然”，我们往往理解为“帮助学生知道这样是对的，并通过教学展开明白为什么这样是对的”。由于数学答案非此即彼，具有答案的唯一性。所以我们通常用‘对的’去否定‘错的’。而对于为什么错？错在什么地方？错误是否可以被利用或转化？关于这方面的思考经常被我们所忽略，导致学习体验流于肤浅，不利于意义建构的达成。

其实，澄清错误比建立正确认识更重要。在上述教学中，教师不急于引导学生对正确情况的接受，而更多地让学生自己在尝试解决问题的过程中发现问题，产生矛盾冲突，并引导学生参与对问题和错误的剖析。平行四边形面积为何是“底×高”，为何不是“底乘邻边”？同样是转化为长方形来思考，为何前者是对的，后者却又不对了？疑问的解答，需要的是观察、比较、分析等充满挑战性的过程，在这样的过程中，学生一步步澄清平行四边形的面积“是什么，不是什么”，明白“这样才是正确的，那样为什么是错误的”，就会获得真正的数学理解，推理能力也能得到有益的发展。

教学片断二：

师：平行四边形拉动可以变成长方形，反过来，长方形拉动也可以变成平行四边形。现在有一个长10厘米、宽6厘米的长方形框架，拉动它，它会变成怎样的平行四边形？

（课件演示框架的拉动，让学生通过直观比较，发现高肯定小于6厘米。继续演示高不断变小依次得到的几个平行四边形，如下图，每步都组织学生说出高是多少并口算出面积，教师在表格中记录数据。）

底
高
平行四边形的面积

10
5
50

10
3.8
38

10
2.5
25

10
1.1
11

师：观察这些图形和数据，你有什么发现？

生1：我发现高不断变小，面积也在不断变小。

生2：我发现平行四边形的周长没有变。

师：想一想，到底是什么造成了平行四边形面积的变化？

生：是“高”的变化造成的。

师：如果继续往下拉，平行四边形的面积将会怎么变化？

生：面积将会变得更小。

师：拉到什么时候，平行四边形面积最大？

生：把它再拉成长方形，面积最大。

师：这时候，平行四边形的高就是长方形的——

生：宽

师：在底边长度不变的情况下，平行四边形的面积随着高的变化而变化。在这个过程中，还有一样东西也一直在变？你发现了吗？

生：两条邻边的夹角也一直在变。

师：其实，正是因为两条边之间夹角的变化，才引起了高的变化和面积的变化。现在我们知道了计算平行四边形的面积应该用“底×高”，而不是“底×邻边”计算。等将来我们上了中学学习了三角函数的知识之后，用两条邻边的长度和这两条边夹角的正弦值相乘，也可以计算平行四边形的面积。也就是说，用邻边相乘不是不可以，只是还缺少一个条件。

……

思考：

通过把平行四边形不断“拉扁”，引导学生逐步了解高与面积之间的内在联系，理解高对平行四边形面积的影响，在让学生获取知识的同时，悄然无声地渗透了函数思想。引入“利用两条邻边的长度和夹角计算平行四边形的面积”的介绍，一方面可以使学生清楚地知道“用邻边相乘不是不可以，只是还缺少一个条件”，为学生的后续知识的学习铺好了一条路子，另一方面也再次明晰了“底×高”的正确算法，巩固了新知，。

教学片断三：

（出示）有一个长10厘米、宽6厘米的长方形框架。

师：如果将它拉成高是5厘米的平行四边形（如下图所示），面积减少了多少平方厘米？

学生独立思考、解答后，全班交流：

生1:用长方形面积减去平行四边形的面积，10×6－10×5=10（平方厘米）

生2：我是这样想的，（跑上前指出图中减少的部分面积）从图上可以看出来，减少的面积就是上面那个小长方形的面积，所以还可以用10×（6－5）=10（平方厘米）

师：减少的面积其实就是图上面那个小长方形的面积，它的长是10厘米，宽就是长方形的宽减去平行四边形的高，6－5=1（厘米），10×1=10（平方厘米）。

……
思考：

学生学习过程中数学思维的发展与教学设计提供的情境和材料密切相关。通过解决“推拉成的长方形比平行四边形面积大多少？”的数学问题，再次对比长方形与平行四边形面积的计算方法，使“推拉转化后，面积发生变化”的表象得到强化，进一步澄清学生潜意识中“平行四边形的面积 = 底边×邻边”的错误认识。在不断地对比、交流过程中，错误经验得以纠正，模糊认识得以澄清，数学思维得以发展，创新意识和学习能力得以提升。