固体物理教案第4次课.doc

第 4 次 课
教学目的：掌握晶向、晶列的基本概念；掌握密勒指数的意义及表示；掌握倒格矢的定义，掌握倒格子与正格子之间的关系；掌握倒格子与晶格的几何关系；了解具有晶格周期性的傅立叶展开。
教学内容：§1.3 晶向 晶面和它们的标志
§ 1.4 倒格子
重点难点：晶向、晶列及密勒指数；倒格子与正格子之间的关系；具有晶格周期性的傅立叶展开
§1.3 晶向 晶面和它们的标志
布拉伐格子的特点 —— 所有格点周围的情况都是一样的
1 晶体的晶列
在布拉伐格子中作一簇平行的直线，这些平行直线可以将所有的格点包括无遗。这些平行直线称为晶体的晶列。

特点：在一个平面里，相邻晶列之间的距离相等。
2 晶向
（1）晶向: 每一簇晶列定义了一个方向，称为晶向。
（2）晶向的标志
原胞是最小的晶格重复单元，格点只在原胞的顶角上。
取某一原子为原点O，为原胞的三个基矢。如图XCH_001_045_2所示。 沿晶向到最近的一个的A的位矢为 , 是整数，则晶向就用来表示。
晶向指数： []

图XCH_001_045_02中OA晶列的晶向指数 [311]。
图XCH_001_045中OA晶列的晶向指数[230] 。
—— 对于单胞，也有类似的晶向指数。
带轴是一些特殊的晶列。
（3）简单立方晶格的晶向标志

——如图XCH_001_018所示，立方边OA的晶向，立方边共有6个不同的晶向：
。涉及负值，头上加一横表示。
—— 面对角线OB的晶向[110]，面对角线晶向共有12个，如图XCH_001_019所示
—— 体对角线OC的晶向[111]，体对角线晶向共有8个，如图XCH_001_020所示

由于立方晶格的对称性，以上3组晶向是等效的，可以表示为：<100>,<110>,<111>。
3 晶面的标志
晶体的晶面：在布拉伐格子中作一簇平行的平面，这些相互平行、等间距的平面可以将所有的格点包括无遗，这些相互平行的平面称为晶体的晶面。
如图XCH_001_042_01_02所示的是同一个格子，两组不同的晶面族。

选取某一格点为原点O，原胞的三个基矢为坐标系的三个轴（这三个轴不一定相互正交）。
（1）晶格中一簇的晶面不仅平行，并且等距；
（2）一簇晶面必包含了所有格点而无遗漏；
（3）在三个基矢末端的格点必分别落在该簇的不同晶面上。
设的末端上的格点分别在离原点的距离为的晶面上，都是整数。如图XCH_001_021_14_15所示。

—— 最靠近原点的晶面在坐标轴上的截距为:
—— 同族的其他晶面的截距为这组最小截距的整数倍
——的倒数是晶面族中最靠近原点的晶面的截距(用天然长度单位表示)
—— 用标记这一个晶面系。称为密勒指数
—— 以单胞的基矢（晶轴为参考系，所得出的晶列指数和晶面密勒指数，有着重要的意义
4 立方晶格的几种主要晶面标记
如对于立方晶系 ——(100) 、(110)、(111)。如图XCH_001_046_01_06所示。

立方晶格中与(100) 、(110)、(111)面等效的晶面数分别为：3个、6个和4个。
{100}:(100),(001),(010) —— 如图XCH_001_021_12所示
{110}：(110),(011),(101),(),(),()—— 图XCH_001_021_11所示
{111}：(111),(),(),()—— 如图XCH_001_045_13所示

符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有意义, 在晶体内部这些面都是等效的

§1.4 倒格子
—— 由于晶格具有周期性，一些物理量具有周期性，如势能函数：

—— 如图XCH_001_024所示，A和A’两点势能相同。
—— 势能函数是以为周期的三维周期函数。
引入倒格子，可以将三维周期性函数展开为傅里叶级数。
1 倒格子的定义
根据基矢定义三个新的矢量：
; ；—— 倒格子基矢量
—— 以为基矢，可以构成一个倒格子
倒格子每个格点的位置： —— 倒格子矢量，或倒格矢。
容易验证倒格子基矢与正格子基矢满足：
——
倒格子：与晶面密切相连的一类点子，这些点子在空间的规则周期性排列。
2. 关于时间周期性函数的傅里叶级数展开含义
时间周期函数
令 ，
可以将看作是以为宗量、周期为1的周期函数。
将展开为傅里叶级数：—— m为整数
傅里叶系数：
由和得到：
将代入——
傅里叶系数： —— 为的傅里叶展开中的各种频率
时间——正格子：基矢：T，正格矢：nT
频率——倒格子：基矢：，倒格矢：—— 满足：
3. 具有晶格周期性函数傅里叶级数的展开
晶格原胞中任一点： —— 其中为宗量
—— 将可以看作是以为宗量，周期为1的周期函数
傅里叶级数：—— 其中为整数
—— 系数
由， ，和
得到：， ， ；
代入
得到： ，
—— 系数；
—— 积分在一个原胞中进行
4 倒格子与正格子间的关系
（1）倒格子原胞体积反比于正格子原胞体积

——

—— 倒格子原胞体积
（2）正格子中一簇晶面和正交
因为，
如图XCH_001_047所示。

很容易证明：，。
—— 即与晶面簇正交。
（3）为晶面的法线方向，晶面方程可以表示为：

—— n取不同值代表一个一簇晶面系中，不同的晶面。如图XCH_001_050所示。
各晶面到原点的垂直距离：，
面间距：=

5. 倒格子与晶格的几何关系

如图XCH_001048所示。
原点O引晶面簇ABC的法线 ON，在法线上截取一段，使得；d是晶面簇ABC的面间距。
对于每一簇晶面都有一点P，以OP为该方向的周期，把P平移，得出一个新的点阵。这个新格子称为原来的晶格的倒格子，而把原来的晶格称为正格子。
—— 倒格子基矢和正格子基矢间的关系
令正格子的基矢为； 正格子的坐标面各有其对应的晶面簇，设面簇的面间距分别为。
—— 作面，在OP上截取一段，使
—— 同样，对于面，得出
—— 对于面得出
这样得出的三个矢量就取为例格子的基矢。如图XCH_001_049所示。

正格子原胞的体积
倒格子基矢：; ；
—— 晶格的一簇晶面转化为倒格子中的一点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。

作业：1.3， 1.4，1.5，1.6