1、幾何學練習
※ 綜合幾何：
1. 已知△ABC中，O為外接圓的圓心，H為垂心，自O向作垂線，其垂足為D，證明：。【正中、康熙】
2. 已知△ABC與△DBC有公共底邊，頂點A，D都在底邊同側，且∠A＞∠D，求證：點D在△ABC的外接圓的圓外。【正中、康熙、龍騰】
3. 托列密(Ptolemy)定理： 圓內接四邊形ABCD中，證明：。【正中、龍騰】
4. 已知E是正方形ABCD內一點，且∠CDE＝∠DCE＝150，求證：△ABE是正三角形。【正中】
5. 折弦定理： 設，為圓的弦，M為弧ABC的中點，若＜，⊥，求證：。【龍騰、三民】
6. (1)圓內的兩條弦，交於點P，則：。【龍
2、騰】
(2)已知為圓內的一條弦，P在上，設R為圓的半徑，d是P到圓心的距離，則：。
(3)察柏爾(Chapple)定理：
設O與I分別為三角形的外心與內心，外接圓半徑是R，內切圓半徑是r，設，證明：d2＝R2－2rR。
7. 若C為線段上的任意一點，分別以、為底邊，向直線AB的同側做兩個正三角形ACD、CBE；並設與交於M，與交於N，且設∠DAC＝∠ECB。證明：。【康熙】
※※ 共線共點問題：
8. 銳角三角形△ABC中，，其中D、E、F依序在三邊，，上，
試證：依序平分∠EDF，∠DEF，∠EFD。(即△ABC的垂心為△DEF內心)。【康熙】
9. 西摩松(Simoso
3、n) 線：
已知P是△ABC外接圓BC弧上一點，過P作三邊，，的垂線其垂足為D、E、F。求證：D、E、F三點共線。 【龍騰、南一、三民】
10. 已知圓O1，O2相交於P，Q，過P分別作兩圓的直徑，，證明：Q、M、N三點共線。【正中】
11. 設兩圓內切於P點，、分別為二圓的直徑，且，A與C位在二圓連心線的同側，證明：P、C、A三點共線。【正中】
12. 凸四邊形ABCD中，兩對角線與交於K，而直線AD與BC交於P，直線DC與AB交於N，直線PK與AB交於M，試證明：。【康熙】
13. 在△ABC的外接圓上，分別過三頂點A、B、C作外接圓的三切線，設三切線與三頂角對邊之延長線分別
4、交於M、N、L三點，
試證明：M、N、L三點共線。【康熙、南一】
14. 納吉爾點(Nagel point)
設D、E、F分別在△ABC的，，上，且都平分△ABC的周長(即，，) ，試證：、、三線段共點。【南一、康熙、三民】
15. 笛沙格氏(Desargues)定理：
同一平面上有兩個三角形ABC與DEF，設它們對應頂點的連線、、交於一點S，若直線AB與DE交於P，直線BC與DF交於Q，直線CA與FD交於R，證明：P、Q、R三點共線。【龍騰、南一、三民、康熙】
※ 幾何變換：
◎◎ 平移
16. A和B兩城市被一條河隔開，已知河的兩岸是平行直線，今要在
5、河上架設一作橋，橋必須與河岸垂直，試問：橋架在何處，才能使A到B的路徑AMNB最短？【南一、康熙、龍騰】
17. 已知梯形ABCD中，，且。證明：。【龍騰、正中】
◎◎ 旋轉
18. 『費馬點』：試求銳角△ABC內部一點P，使得為最小。【南一、康熙、正中】
19. △ABC中，，分別以及為一邊向外作正方形ABEF與ACGH，求證：且。【南一】
20. 給定三平行線L1，L2，L3，求作一個正三角形，使得三個頂點分別在三線上。【南一、康熙、三民】
21. 正△ABC內部一點P，滿足，求∠APB＝？ 【1500。康熙】
22. 正方形ABCD內部一點P，滿足，，，求正方形ABCD面
6、積為何？【康熙、三民】
23. 正方形ABCD中，E是上一點，是∠EAD的角平分線交於F，求證：。【龍騰、康熙、正中】
24. (1)正△ABC內部一點P，若，，，求正△ABC的面積？【三民、正中】
(2)△ABC中，，且∠A＝900，內部一點P，若，，，則 ＝？【】
25. (1) 正△ABC內部一點P，證明：。【三民】
(2) 正△ABC外部一點P (如圖)，證明：。【正中】
(3) 正△ABC外部一點P，若，證明：P、A、B、C四點共圓。【三民】
26. 設邊長為6的正方形ABCD的中心為O，正方形OEFG為另一個邊長為6的正方形，求兩正方形重疊部分的面積。【9，南一、三民】
◎◎ 鏡射(對稱)
27. 設AB是直線L同側的兩相異點，在L上求一點P，使得為最小。【龍騰、正中】
28. 已知△ABC，是∠A的角平方線，且，求證：∠C＝2∠B。【正中】
29. 設是△ABC邊上的中線，∠ADB與∠ADC平分線分別交，於P，Q兩點，試證：。【三民】
30. 直角三角形ABC中，M是斜邊的中點，Q為上任一點，過M作與垂直的直線交於點P，證明：。
【康熙】
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