1、
1. 如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证：
M
(1) FD∥平面ABC;
(2) AF⊥平面EDB.
解；(1)取AB的中点M,连FM,MC,
∵ F、M分别是BE、BA的中点 ∴ FM∥EA, FM= EA
∵ EA、CD都垂直于平面ABC ∴ CD∥EA∴ CD∥FM
又 DC=a, ∴ FM=DC ∴四边形FMCD是平行四边形
∴ FD∥MC
FD∥平面ABC
(2) 因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB
又 CM⊥AE,所以CM⊥面E
2、AB, CM⊥AF, FD⊥AF,
因F是BE的中点, EA=AB所以AF⊥EB.
2、已知四棱锥P-ABCD(如图所示)的底面为正方形，点A是点P在底面AC上的射影，PA=AB=a，S是PC上一个动点．
１） 求证：；（4分）
２） 当的面积取得最小值时,求平面SBD与平面PCD所成二面角的大小．（10分）
1）证明：连接AC．
∵点A是点P在底面AC上的射影,(1分)
∴PA^面AC.(2分)
PC在面AC上的射影是AC.
正方形ABCD中,BD^AC,(3分)
∴BD^PC.(4分)
2)解:连接OS.
∵BD^AC,BD^PC,
又AC、PC是
3、面PAC上的两相交直线,
∴BD^面PAC. (6分)
∵OSÌ面PAC,
∴BD^OS.(7分)
正方形ABCD的边长为a，BD=，（8分）
∴DBSD的面积．（9分）
OS的两个端点中，O是定点，S是动点．
∴当取得最小值时，ＯＳ取得最小值，即OS^PC．（10分）
∵PC^BD， OS、BD是面BSD中两相交直线，
∴PC^面BSD．（12分）
又PCÌ面PCD，∴面BSD^面PCD．（13分）
∴面BSD与面PCD所成二面角的大小为90°．（14分）
4、在三棱锥P－ABC中，,,PA = PB = PC,点P到平面ABC的距离为 AC．
(1) 求二
4、面角P－AC－B的大小；
(2) 若，求点B到平面PAC的距离．
.
解 ：(1) 由条件知△ABC为直角三角形，且∠BAC = 90°，
∵ PA = PB = PC，
∴ 点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，
即斜边BC的中点E．
取AC中点D，连PD, DE, PE．
∵ PE⊥平面ABC，DE⊥AC (∵ DE∥AB),
∵ AC⊥PD．
∴ ∠PDE为二面角P－AC－B的平面角．
又PE = AC ，DE = AC
5、
∴ tan ∠PDE = =，
∴ ∠PDE = 60°．
故二面角P－AC－B的大小为60°．
5. 如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点.
(Ⅰ)证明：AM⊥PM；
(Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小；
(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离.
解：(Ⅰ) ∵四边形ABCD是矩形
∴BC⊥CD
∵平面PCD⊥平面ABCD
∴BC⊥平面PCD……………………………2分
而PC平面PCD
∴BC⊥PC
同理AD⊥PD
在Rt△PCM中，PM=
同理可求PA=，AM=
∴……………………
6、……5分
∴∠PMA=90°
即PM⊥AM ……………………6分
(Ⅱ)取CD的中点E，连结PE、EM
∵△PCD为正三角形
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD
∴PE⊥平面ABCD
由(Ⅰ) 可知PM⊥AM
∴EM⊥AM
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角……………………………8分
∴sin ∠PME=
∴∠PME=45°
∴二面角P－AM－D为45°
7、（本小题满分14分）
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BC=CA=，AA1=
（I）求AB1与侧面CB1所成的角
7、4分）
（II）若点P为侧棱AA1的中点，求二面角P－BC－A的大小；(5分)
（Ⅲ）在（II）的条件下，求点A到平面PBC的距离.
解：（I）取BC中点D,连结AD,B1D
∵三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱
∴侧面CB1⊥底面ABC,且交线为BC………………1分
∵△ABC为等边三角形∴AD⊥BC,
∴AD⊥面CB1 ∴∠AB1D为AB1与侧面CB1所成的角………2分
在Rt△ADB1中 ∵AD=，AB1＝
∴sin∠AB1D＝ ∴∠AB1D=
（II）连结PB,PC,PD,
∵PA⊥底面ABC AD⊥BC
∴PD⊥BC
8、∴∠PDA为二面角P－BC－A的平面角
在Rt△PAD ∵tan∠PDA＝
∴∠PDA＝arctan.
Ⅲ）设点A到平面PBC的距离为h，则由得
∴
∴ ∵，
∴.
6、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小的余弦值；
（I）证明：连结OC
在中，由已知可得而
即
平面
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中，
是直角斜边AC上的中线，
5
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