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点的加速度合成定理
点的合成运动中，加速度之间的关系比较复杂，因此，我们由简单到复杂，先分析动系作平移的情形。即先研究牵连运动为平动时的加速度合成定理，然后再介绍牵连运动为转动时的加速度合成定理。
一．牵连运动为平移时点的加速度合成定理

设O´x´y´z´为平移参考系，由于x´、y´、z´各轴方向不变，可使与定坐标轴x、y、z分别平行。其中动点M相对于动系的相对坐标为 x´、y´、z´，由于 i´、j´、k´ 为平移动坐标轴的单位常矢量，则点M的相对速度和相对加速度为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）

利用点的速度合成定理及牵连运动为平移而得到：

两边对时间求导，并注意到因动系平移 ，故i´、j´、k´ 为常矢量，于是得到

其中，所以有：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）
这就是牵连运动为平移时点的加速度合成定理：当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
例 题 １
如下图所示，铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆O1A以等角速度 ω=2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接，机构的各部件都在同一铅垂平面内。试求:当 j=60º时，CD杆的加速度。

解：1. 运动分析
动点：CD上的C点；
动系：固连于AB杆
于是三种运动分别为：
绝对运动：Ｃ点的上下直线运动；
相对运动：Ｃ点沿AB直线运动；
牵连运动：随AB杆铅垂平面内曲线平移
　　2.加速度分析：
其中由于动系作平移，故动系AB杆上各点的加速度相同，因此动系AB杆上与动点套筒C相重合点C1的加速度即牵连加速度，如下图所示，则:

由平行四边形法则，得

二．牵连运动为转动时点的加速度合成定理
当牵连运动为转动时，加速度合成定理与牵连运动为平移时所得到的结果是不相同的。如下图所示，圆盘半径为R并以等角速度w 绕轴O转动，在邻近其边缘的上方，静止地悬挂一个小球P。

若以P为动点，圆盘为动系，则三种运动为：绝对运动静止；牵连运动是绕O轴作定轴转动；相对运动是以点O为圆心、R为半径，与盘上重合点反向的等速圆周运动。如上图所示：绝对加速度为；牵连加速度，方向指向圆盘中心O ；相对加速度，方向指向圆盘中心O。把牵连加速度与相对加速度合成有，方向指向圆盘中心O，则有 。 这表明牵连运动为平移时所得到的加速度合成定理，对于牵连运动为转动的情形，不再成立。 当动系为定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。
(4)
根据点复合运动的速度合成定理并两边同时对时间求导得。其中有
、、，则
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（５）
那么叫科氏加速度。
例 题 ２
直角弯杆OBC以匀角速度ω=0.5rad/s绕O轴转动，使套在其上的小环P沿固定直杆OA滑动；ＯＢ=0.1m,OB垂直BC。试求:当j=60º时小环P 的加速度。

解：１．运动分析
动点：小环P；动系：固连于OBC；
绝对运动：沿OA固定直线；相对运动：沿BC杆直线；牵连运动：绕O定轴转动。
2．加速度分析：
绝对加速度为aa，方向假设向右；相对加速度为ar，假设方向指向B点；牵连加速度为ane，方向指旋转轴O；科氏加速度为aC，方向垂直于vr。
其中
；
利用速度合成定理可求得小环的相对速度vr=0.2 m/s
(方向由右手螺旋定则确定)
由右手螺旋定则确定，即：四指指向与矢量ω方向一致，握拳四指指向与矢量vr方向一致，则拇指指向即为aC的正方向。
应用加速度合成定理
将等号两边各项向矢量aC方向上投影，得到

算出
例 题 ３
图示之机构，O1A杆以匀角速度w1转动，轮A半径为r，与O1A在A处铰接。O1A=2r，O2B始终与轮A接触。图示瞬时，j=60°，q=30°。 求: 图示瞬时O2B的角速度w2、角加速度a2。

解：1. 运动分析
动点：杆O1A上A点；
动系：固连于O2B杆；
绝对运动：以O1为圆心的圆周运动；相对运动：与O2B平行的直线运动；牵连运动：绕O2轴定轴转动。
2. 速度分析
根据速度合成定理，如下图所示有：
va垂直于O1A，其值为
ve垂直于O2A，大小未知； vr平行于O2B，大小未知。
应用平行四边形法则解得　，

3. 加速度分析
根据速度合成定理，如下图所示有：

绝对加速度：以O1为圆心的等速圆周运动；所以只有法向绝对加速度为，方向指向O1；

相对加速度：与O2B平行的直线运动；相对加速度为ar，假设方向向左；大小未知
牵连加速度：绕O2轴定轴转动。不是等速转动，所以有法向牵连加速度为，方向指旋转轴O2; 切向牵连加速度为，其指向可以先假设，大小未知．

科氏加速度：垂直于，方向向上（由右手螺旋定则确定）

把各加速度代入加速度合成定理有：
将加速度合成定理矢量方程等号两边各项向矢量aC方向上投影，得到

平面图形上各点的加速度分析
如果已知平面图形上一点(A)的加速度aA、图形的角速度w与角加速度，应用加速度合成定理，可以确定平面图形上任意点的加速度：1. 选择加速度已知的点为基点；2. 建立平移系Ax´y´；3. 应用牵连运动为平移的加速度合成定理 aa=ae+ar 可以确定图形上任意点的加速度。这时，，，。已知平面图形S上点A的加速度、图形的角速度与角加速度。与平面图形上各点速度分析相类似，选点A为基点，建立平移系，分解图形的运动，从而也分解了图形上任一点B的运动。由于动点B的牵连运动为平移，可应用动系为平移时的加速度合成定理，确定动点B的绝对加速度。 此时，B点的运动为绝对运动；平移系Ax´y´的运动为牵连运动；B点饶A的圆周运动为相对运动。

其中，， ，则：

平面图形上任意一点的加速度等于基点的加速度与这一点对于以基点为坐标原点的平移系的相对切向加速度和法向加速度的矢量和。
例 题 4
y’
已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为vO 、加速度为aO 。求：轮缘上A、B二点的速度和加速度。
O
B
A
vO
aO
x’
P
P
S
φ

解： 1. 基点法的速度分析，确定圆轮的转动角速度
以O点为基点，建立平移系O x´y´。轮缘上任意点P 的运动可以分解为：
跟随基点O 的平移－牵连运动；
相对于平移系O x´y´、绕O点的转动－相对运动。为建立转动角速度与轮心速度之间的关系，考察圆轮滚动时P点转过的角度w与轮心移动的距离s之间的关系。
为建立转动角速度与轮心速度之间的关系，考察圆轮滚动时P点转过的角度w与轮心移动的距离s之间的关系。

进而求得圆轮滚动时的角加速度

O
B
A
vO
aO
aO
anAO
a O
ωO
aA
atAO

解：2. 加速度分析：

A点：, 其中：
水平向右；
水平向左；
竖直向上；
所以 竖直向上。
O
B
A
vO
aO
a O
ωO
anBO
aO
atBO

anBO

同理，B点：, 其中：
水平向右；
竖直向上；
水平向右；
所以

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