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实数完备性的等价命题及证明.doc

1、一、问题提出 确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题,这就是以下的定理1.2至定理1.6. 定理1.2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛. 定理1.3 (区间套定理) 设为一区间套: . 则存在唯一一点 定理1.4 (有限覆盖定理) 设是闭区间的一个无限开覆盖,即中每一点都含于中至少一个开区间内.则在中必存在有限个开区间,它们构成的一个有限开覆盖. 定理1.5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点(本身可以属于,也可以不属于). 定理1.6 (柯西准则) 数列收敛的

2、充要条件是:,只要 恒有.(后者又称为柯西(Cauchy)条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列.) 这些定理构成极限理论的基础.我们不仅要正确理解这六大定理的含义,更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题.下面通过证明它们之间的等价性,使大家熟悉使用这些理论工具. 下图中有三种不同的箭头,其含义如下: : (1)~(3) 基本要求类 : (4)~(7) 阅读参考类 : (8)~(10) 习题作业类 下面来完成(1)~(7)的证明. 二、等价命题证明 (1)(用确界定理证明单调有界定理) (2)(用单调有界定理证明区间套定理) (3)(用区间套定理证

3、明确界原理) *(4)(用区间套定理证明有限覆盖定理) *(5)(用有限覆盖定理证明聚点定理) *(6)(用聚点定理证明柯西准则) *(7)(用柯西准则证明单调有界定理) (1)(用确界定理证明单调有界定理) 〔证毕〕 (返回) (2)(用单调有界定理证明区间套定理)设区间套. 若另有使 ,则因 .[证毕] [推论]设为一区间套,.则当时,恒有 . 用区间套定理证明其他命题时,最后常会用到这个推论. (返回) (3) (用区间套定理证明确界原理) 证明思想:构造一个区间套,使其公共点即为数集的上确界. 设, 有上界.取;,再令 如此无限进

4、行下去,得一区间套. 可证:因恒为的上界,且,故,必有 , 这说明是的上界;又因,故,而都不是的上界,因此更不是的上界.所以成立. [ 证毕 ] (返回) *(4)(用区间套定理证明有限覆盖定理)设为闭区间的一个无限开覆盖.反证法假设: “不能用中有限个开区间来覆盖”. 对采用逐次二等分法构造区间套,的选择法则:取“不能用中有限个开区间来覆盖”的那一半. 由区间套定理,. 导出矛盾:使 记由[推论],当足够大时, 这表示用中一个开区间就能覆盖,与其选择法则相违背.所以必能用中有限个开区间来覆盖.[证毕] [说明]当改为时,或者不是开覆盖时,有限覆盖定理的结论 不一

5、定成立. (返回) *(5)(用有限覆盖定理证明聚点定理)设为实轴上的有界无限点集,并设. 由反证法假设来构造的一个无限开覆盖:若有聚点,则.现反设中任一点都不是的聚点,即在内至多只有.这样, 就是的一个无限开覆盖. 用有限覆盖定理导出矛盾:据定理9,存在 为的一个有限开覆盖(同时也覆盖了).由假设,内至多只有所属个邻域内至多只有属于(即只覆盖了中有限个点).这与覆盖了全部中无限多个点相矛盾. 所以,有界无限点集必定至少有一个聚点.[证毕] [推论(致密性定理)]有界数列必有收敛子列.即若为有界数列,则使有 . 子列的极限称为原数列的一个极限点,或称 聚点.

6、返回) *(6)(用聚点定理证明柯西准则) 柯西准则的必要性容易由数列收敛的定义直接证得,这里只证其充分性. 已知条件: 当时.欲证收敛. .首先证有界.对于当时,有 令,则有 . .由致密性定理,存在收敛子列,设. .最后证,由条件,当时,有 . 于是当(同时有)时,就有 . [证毕] (返回) *(7)(用柯西准则证明单调有界原理) 设 为一递增且有上界M的数列.用反证法( 借助柯西准则 )可以证明:倘若无极限,则可找到一个子列以为广义极限,从而与有上界相矛盾.现在来构造这样的. 对于单调数列,柯西条件可改述为:“ 当 时,满足 ”.这是因为它同时保证了

7、对一切,恒有 . 倘若不收敛,由上述柯西条件的否定陈述:,对一切,,使 . 依次取 把它们相加,得到 . 故当时,可使,矛盾.所以单调有界数列必定有极限. [ 证毕 ] 在以上六个等价命题中,最便于推广至中点集的,当属聚点定理与有限覆盖定理.为加深对聚点概念的认识,下例所讨论的问题是很有意义的. [例]证明“是点集的聚点”的以下三个定义互相等价: (i) 内含有中无限多个点(原始定义); (ii) 在内含有中至少一个点; (iii) ,时,使. 证:(i)(ii)  显然成立. (ii)(iii) 由(ii),取,; 再取; …… 一般取; …… 由的取法,保证,,. (iii)(i)时,必有,且因各项互不相同,故内含有中无限多个点.[证毕]

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