材料力学作业参考解答.doc

2-1 试绘出下列各杆的轴力图。

2F
FN
F
2F
FN

2-2（b）答：

2-3答：以B点为研究对象，由平面汇交力系的平衡条件
FAB
FBC
W
B

2-2 求下列结构中指定杆内的应力。已知(a)图中杆的横截面面积A1=A2=1150mm2；
A
E
C
D
B
FA
FB
解：（1）分析整体，作示力图
：

（2）取部分分析，示力图见（b）
C
FA
q
FCy
FCx
FN2
(b)
：

（3）分析铰E，示力图见c）
：
E
FN1
FN3
FN2
β
(c)

2-3 求下列各杆内的最大正应力。
A
B
C
12.0
12.0
FN (kN)
（3）图(c)为变截面拉杆，上段AB的横截面积为40mm2，下段BC的横截面积为30mm2，杆材料的ρg=78kN/m3。
解：1.作轴力图，BC段最大轴力在B处

AB段最大轴力在A处

杆件最大正应力为400MPa，发生在B截面。

2-4 一直径为15mm，标距为200mm 的合金钢杆，比例极限内进行拉伸试验，当轴向荷载从零缓慢地增加58.4kN 时，杆伸长了0.9mm，直径缩小了0.022mm，确定材料的弹性模量E、泊松比ν。
解：加载至58.4kN时，杆件横截面中心正应力为

线应变：
弹性模量：
侧向线应变：
泊松比：

2-6图示短柱，上段为钢制，长200mm，截面尺寸为100×100mm2；下段为铝制，长300mm，截面尺寸为200×200mm2。当柱顶受F力作用时，柱子总长度减少了0.4mm，试求F值。已知E钢=200GPa，E铝=70GPa。
解：柱中的轴力都为F，总的变形（缩短）为：

2-7 图示等直杆AC，材料的容重为ρg，弹性模量为E，横截面积为A。求直杆B截面的位移ΔB。
解： AB段内轴力
BC段内轴力
B点位移为杆BC的伸长量：

2-8 图示结构中，AB可视为刚性杆，AD为钢杆，面积A1=500mm2，弹性模量E1=200GPa；CG为铜杆，面积A2=1500mm2，弹性模量E2=100GPa；BE为木杆，面积A3=3000mm2，弹性模量E3=10GPa。当G点处作用有F=60kN时，求该点的竖直位移ΔG。
解：（1）求①、②杆轴力
由平衡方程可以求出:

（2）求杆的变形
（压缩）
（拉伸）
（压缩）
（3）由几何关系：（下降）
2-9答：任一截面上轴力为F，由
x
b
b

得面积为

伸长量为

2-11 图示一挡水墙示意图，其中AB杆支承着挡水墙，各部分尺寸均已示于图中。若AB杆为圆截面，材料为松木，其容许应力［σ］=11MPa，试求AB杆所需的直径。

解：（1）求水压力的合力：

（2）作示力图（a）由平衡方程求轴力

（3）由强度条件，设计截面尺寸：

2-10答：对水塔
，

，

，

，
，
，

2-12 图示结构中的CD杆为刚性杆，AB杆为钢杆，直径d=30mm，容许应力［σ］=160MPa，弹性模量E=2.0×105MPa。试求结构的容许荷载F。
解：（1）求AB杆的轴力FN
：

（2）由强度条件求

2-14 图示AB 为刚性杆，长为3a。A 端铰接于墙壁上，在C、B 两处分别用同材料、同面积的①、②两杆拉住，使AB 杆保持水平。在D 点作用荷载F 后，求两杆内产生的应力。设弹性模量为E，横截面面积为A。

解：
1．本题为超静定问题，
见图(a),设AB杆产生角位移，则
，
2．由Hooke定律：
FAx
FAy
FN1
F
FN2
△
△l2
△l1

3.由平衡方程：
：

4.由Hooke定律：

①
②

2-15 两端固定，长度为l，横截面面积为A，弹性模量为E的正方形杆，在B、C截面处各受一F力作用。求B、C截面间的相对位移。
解：
1． 本题为超静定问题
解除A截面处约束，代之约束力,见图（a）
A截面的位移为杆件的总变形量
F
F
FNA
A
B
C
D
(a)

2.由约束条件 得：

3.见图(b),求BC段轴力
由平衡条件可知：

所以B,C截面相对位移为
FNA
F
FN
(b)

3-1 试作下列各杆的扭矩图。
100
10
Mx
(N·m)

Mx
1
(kN·m)
5
3
2

3-2 一直径d=60mm的圆杆，其两端受外力偶矩T=2kN·m的作用而发生扭转。试求横截面上1，2，3点处的切应力和最大切应变，并在此三点处画出切应力的方向。(G=80GPa)。
解：横截面上切应力大小沿半径线性分布，方向垂直半径

3-3 从直径为300mm的实心轴中镗出一个直径为150mm的通孔而成为空心轴，问最大切应力增大了百分之几?
解：实心轴
空心轴
最大切应力增大了

3-4 一端固定、一端自由的钢圆轴，其几何尺寸及受力情况如图所示（空心处有两段，内径10mm，外径30mm）,试求：
(1)轴的最大切应力。
(2)两端截面的相对扭转角(G=80GPa)。
解：（1）作扭矩图，
AB段中最大切应力
60лл
30л
40л
A
B
C
D

CD段中最大切应力

所以轴中，
（2）相对扭转角分四段计算

3-2 一变截面实心圆轴，受图示外力偶矩作用，求轴的最大切应力。

500
100
300
300
A
B
C
D
E
解：
作扭矩图，

可见最大切应力发生在AB段

3-5 一圆轴AC如图所示。AB段为实心，直径为50mm；BC段为空心，外径为50mm，内径为35mm。要使杆的总扭转角为0.12°，试确定BC段的长度a。设G=80GPa。
解：（1）作扭矩图

（2）杆件A、C截面相对扭转角分两段计算
⊕⊕
100N·m
Mx
A
C

3-8 传动轴的转速为n=500转/分，主动轮输入功率P1=500kW，从动轮2、3分别输出功率P2=200kW，P3=300kW。已知［τ］=70MPa，［θ］=1°/m，G=8×10MPa。
(1)确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
(2)若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径d。
解：（1）由输入和输出功率求等效力偶，作扭矩图
5.73
9.55
Mx
A
B
C

由强度条件：

由刚度条件：

为满足强度和刚度条件，AB段的直径d取91mm；BC段的直径d取80mm。
（2）若AB和BC两段选用同一直径，直径d取91mm。

3-7 图示传动轴的转速为200转/分，从主动轮3上输入的功率是80kW，由1、2、4、5轮分别输出的功率为25、15、30和10KW。设［τ］=20Mpa
(1)试按强度条件选定轴的直径。
(2)若轴改用变截面，试分别定出每一段轴的直径。

1.19375
1.91
1,91
0.4775

解：1.由输入和输出功率计算等效力偶

2.作扭转图
（1）

d取79mm，适用于全轴。
（2） 适用于1，2轮之间
适用于4，5轮之间

3-14 工字形薄壁截面杆，长2m，两端受0.2kN·m的力偶矩作用。设G=80GPa，求此杆的最大切应力及杆单位长度的扭转角。

解：

2-16 试校核图示销钉的剪切强度。已知F=120kN，销钉直径d=30mm，材料的容许应力［τ］=70MPa。若强度不够，应改用多大直径的销钉?

解：
不满足强度条件

等效后：
3-10(b) F=40kN, d=20mm
解：中心c位置
由F引起的切应力
80
120
50
50
F
A
B
C

由M引起的剪切力满足

解得

C铆钉切应力最大

c
xc
r1
r2
r3
F
M

2-17 两块钢板塔接，铆钉直径为25mm，排列如图所示。已知［τ］=100MPa，［σbs ］=280MPa，板①的容许应力［ σ］=160MPa，板②的容许应力［ σ］=140MPa，求拉力F 的许可值，如果铆钉排列次序相反，即自上而下，第一排是两个铆钉，第二排是三个铆钉，则F 值如何改变?
解：
1．铆钉强度,求
抗剪强度：

挤压强度
FN
⊕
F
3F/5
A
B

2.板的抗拉强度条件求,A的截面

B截面：

综合上述结果，F的许可值取245.4kN (最小值)
3．改变铆钉排列后，求解过程与上述相同。

3-6答：

3-10 图(a)所示托架，受力F=40kN，铆钉直径d=20mm，铆钉为单剪，求最危险铆钉上的切应力的大小及方向。
F1
F2
F2
F1
A
B
(b)
d
d
d

解：将F等效移至铆钉群中心，得力偶，

1. 由F引起的切应力（每个铆钉大小相同，方向向下）

2. 先求由M引起的各铆钉剪力，见图(b)

解得：
上部和底部铆钉中切应力最大
A

(c)

3. 最大切应力

A-2 试求图形水平形心轴z的位置，并求影阴线部分面积对z轴的面积矩Sz。
解：分三块计算

A2
A3
h
A1
z
z'
形心轴位置

A-3 试计算(b)图形对y，z轴的惯性矩和惯性积。
解：查型钢表得20a号工字钢几何性质：
h

故

y
z
h
C
由对称性，

A-8 计算图示（a）图形的形心主惯性矩。
解：1.首先求形心位置：

2.求惯性矩

4-1 求下列各梁指定截面上的剪力和弯矩。

FA

解：（b）自右向左分析：1-1截面，弯矩；
2-2截面，弯矩
（c）支座反力（铅直向上），自左向右分析：
1-1截面，弯矩；
2-2截面，弯矩

4-2 写出下列各梁的剪力方程、弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：支座反力，，自左向右分析：
FB
FA
剪力方程：
5ql/2
FQ
3ql/2
M
ql2
25ql2/16

弯矩方程：

由方程作图。
注意标出最大弯矩所在截面位置及最大弯矩值。

4-3 利用剪力、弯矩与荷载集度之间的关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。
1
2
3
4
5
FQ
F
M
F
3Fl
3.5Fl
4Fl
解：(a)自左向右分析（这样不需要计算固定端反力）
梁分3段，5个控制面
；
；

(b)支座反力
梁分3段，6个控制面
；
1
2
3
4
6
5
FA
FB
6
FQ
/kN
M
/kN·m
11/3
13/3
4
2
16/3
4/3
169/36

位置距离右端

5-1 图(a)所示钢梁(E=2.0×105MPa)具有(b)、(c)两种截面形式，试分别求出两种截面形式下梁的曲率半径，最大拉、压应力及其所在位置。

z
h

解b）截面

（上拉下压）
（c）截面
形心位置：

5-4 求梁指定截面a-a上指定点D处的正应力，及梁的最大拉应力和最大压应力。
A
B
z
h

解：1.求弯矩
支座反力：
a-a截面弯矩

最大弯矩：
2.求形心轴

截面a-a上指定点D：

4-5解：

5-5 图示梁的横截面，其上受绕水平中性轴转动的弯矩。若横截面上的最大正应力为40MPa，试问：工字形截面腹板和翼缘上，各承受总弯矩的百分之几?
解：设工字形截面腹板上最大正应力σ1，其承受的弯矩
h/2
d

翼缘上最大正应力σ2，其承受的弯矩

，故腹板上承受总弯矩的百分比为

即翼缘上承受总弯矩的百分比为

5-6 一矩形截面悬臂梁，具有如下三种截面形式：(a)整体；(b)两块上、下叠合；(c)两块并排。试分别计算梁的最大正应力，并画出正应力沿截面高度的分布规律。

正应力分布规律

解：(a) 固定端弯矩最大
最大正应力位于该截面

正应力分布规律
(b)根据变形协调，
上下两块梁上作用的分布荷载集度均为q/2

(c) 两块并排时

正应力分布规律
两块梁上作用的分布荷载集度均为q/2

5-8 一槽形截面悬臂梁，长6m，受q=5kN/m的均布荷载作用，求距固定端为0.5m处的截面上，距梁顶面100mm处b-b线上的切应力及a-a线上的切应力。

z'
z
y

解： 根据切应力公式，需确定横截面剪力、面积矩、形心惯性矩
（1）剪力
（2）形心位置、形心惯性矩，如图

（3）b-b处切应力

（4）a-a处切应力
由于a-a位于对称轴y轴上，故

5-9 一梁由两个18B号槽钢背靠背组成一整体，如图所示。在梁的a-a截面上，剪力为18kN、弯矩为55kN·m，求b-b截面中性轴以下40mm处的正应力和切应力。

h
b
C

解：b-b截面的剪力、弯矩分别为

18B号槽钢的几何性质
，，，,
由正应力公式
切应力公式

5-10 一等截面直木梁，因翼缘宽度不够，在其左右两边各粘结一条截面为50×50mm的木条，如图所示。若此梁危险截面上受有竖直向下的剪力20kN，试求粘结层中的切应力。
z
zc
解：求中性轴位置和Iz

5-11 图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用，其横截面尺寸为b、h，长度为。
1）证明在距自由端为x处的横截面上的切向分布内力τdA的合力等于该截面上的剪力；而法向分布内力σdA的合力偶矩等于该截面上的弯矩。
（2）如沿梁的中性层截出梁的下半部，如图所示。问截开面上的切应力τ′沿梁长度的变化规律如何?该面上总的水平剪力FQ′有多大?它由什么力来平衡？
解：（1）取x截面左边部分，由其平衡
，，
，，
（2）沿梁长度剪力是线性分布的，该梁为等截面梁，
因此横截面中性轴上切应力沿梁长度也是线性分布，
由切应力互等，截开面上的切应力τ′沿梁长度是线性分布。
沿梁长度剪力方程，横截面中性轴上切应力大小沿梁长度变化规律为
，宽度方向均匀分布，故总的水平剪力
它由固定端约束力平衡。

A
z
5-12 试画出图示各截面的弯曲中心的大致位置，并画出切应力流的流向，设截面上剪力FQ的方向竖直向下。

A
A
y
z
z
y
A
z
y
解：

FQ

FQ
FQ

FQ

5-14 图示铸铁梁，若［］=30MPa,［］=60MPa,试校核此梁的强度。已知764×10m。

C
D

解：(1)计算支座反力，作弯矩图

(2)校核强度（该梁截面中性轴不对称，正负弯矩最大截面均是可能危险截面）
C截面正弯矩最大

D截面负弯矩最大

符合强度要求

4-13 [σ]=8.5MPa，求满足强度条件的最小Fmin

30kN
F
A
B
C
1.8m
1.8m
1.2m

0.3m
0.15m

Mc

解：最小F时，最大应力发生在C截面。

5-15 一矩形截面简支梁，由圆柱形木料锯成。已知F=8kN,a=1.5m，［σ］=10MPa。试确定弯曲截面系数为最大时的矩形截面的高宽比h/b，以及锯成此梁所需要木料的最d。

5-16 截面为10号工字钢的AB梁，B点由d=20mm的圆钢杆BC支承，梁及杆的容许应力［σ］=160MPa，试求容许均布荷载q。
解：这是一个拉杆强度和梁的强度计算问题
（1）对于BC拉杆

A
B
FQ
M
A
B

所受轴力
由强度条件
得
（2）对于AB梁
其剪力弯矩图如图
工字钢横截面中性轴对称,
危险截面为弯矩绝对值最大的截面
由强度条件

得
从而确定容许均布荷载
4-13解：，，
，，
C截面下部受拉：

B支座负弯矩，上部受拉

FAy
MA
4-18 用积分法求下列各梁指定截面处的转角和挠度。设EI为已知。在图(d)中的E=2.0×10MPa，I=1.0×10cm。
解:(a)（1）支座反力计算
，
（2）列弯矩方程
，
，
（3）将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程
，
，
（4）积分一次
，
，
（5）再积分一次
，
，
（6）边界条件、连续光滑条件

由得；得
由得；得
（7）从而；

6-1 用积分法求下列各梁指定截面处的转角和挠度。设EI为已知。
解：（1）支座反力计算
FAy
FB
，
（2）列弯矩方程
，
，
（3）将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程
，
，
（4）积分一次
，
，
（5）再积分一次
，
，
（6）边界条件、连续光滑条件

由得；得
由得；得
（7）从而；

6-2 对于下列各梁，要求：
(1)写出用积分法求梁变形时的边界条件和连续光滑条件。
(2)根据梁的弯矩图和支座条件，画出梁的挠曲线的大致形状。
解：（a）（1）边界条件和连续光滑条件

（2）梁的挠曲线的大致形状如图（前后两段为直线，无弯矩；中间段为曲线，正弯矩，下部受拉）
Δl
（d）（1）边界条件和连续光滑条件
；

（2）梁的挠曲线的大致形状如图

6-3 用叠加法求下列各梁指定截面上的转角和挠度。
解：(a)查表得F单独作用下
，
Fl单独作用下
，
叠加得到
，

(c) 外伸梁变成简支梁加悬臂梁（结构变换、结构叠加）
简支梁ql2
上查表

悬臂梁上查表
，故

4－18（b) 求wD，θB

D
C
B
q
a
a
a

D
C
B
M=qa2/2

叠加：

4-19
M
M

F

F
2ql
q
3ql2

4-20(c)
ql2

ql
l
l
l
ql
ql2
A
D
C
B

ql2

6-4 图示悬臂梁，容许应力［σ］=160MPa，容许挠度［w］=l/400，截面为两个槽钢组成，试选择槽钢的型号。设E=200GPa。
解：（1）根据强度条件选择
槽钢横截面中性轴为对称轴

M
/kN·m

悬臂梁弯矩图如图

查表，2个10号槽钢截面
满足要求。
（2）刚度条件
自由端挠度近似看作最大挠度，则由叠加法

从而由刚度条件
得，
查表，2个14a号槽钢截面满足要求
综合看选择2个14a号槽钢。

4-22(a) 求内力（超静定）

q=F/l
B

F
M=Fl
B

FB
B

约束条件：

4-23 图示两梁相互垂直，并在简支梁中点接触。设两梁材料相同，AB梁的惯性矩为I1，CD梁的惯性矩为I2，试求AB梁中点的挠度wC。
解：超静定问题，设CD梁与AB梁之间相互作用力为F′,
2
由于CD梁C端挠度与AB梁中点挠度相等，即
1

故

7-1 单元体上的应力如图所示。试用解析公式法求指定方向面上的应力。
解：由平面应力状态斜截面应力公式

（a），，，
从而
（d），，，
从而

7-3 单元体上的应力如图所示。试用应力圆法求单元体的主应力大小和方向，再用解析公式法校核，并绘出主应力单元体。
解：（c），，
其应力圆绘制：在Oστ坐标系里描出D1（σx，τx）、D2（σy，τy），连接D1、D2两点与σ轴交点C，以C为圆心，C D1或C D2为半径，做圆即为该点应力状态的应力圆。
D1(80,30)
D2(-20,-30)
C
O
τ
σ
2α0

从图上可知，，，
公式校核：

（d），，
其应力圆绘制：在Oστ坐标系里描出D1（σx，τx）、D2（σy，τy），连接D1、D2两点与σ轴交点C，
以C为圆心，C D1或C D2为半径，做圆即为该点应力状态的应力圆。

D1(10,-10)
D2(10,10)
(C)
O
τ
σ
2α0

从图上可知，，，
公式校核：

7-5 图示A点处的最大切应力是0.9MPa，试确定F力的大小。
解：A点所在截面剪力为F、弯矩M=0.2F
由切应力公式、正应力公式

该点主应力分别为

从而最大切应力，得
5-6 A点处横截面和纵截面上的应力？

F
A

7-7 求图中两单元体的主应力大小及方向。
解：用应力圆法
在Oστ坐标系里描出D1（，）、D2（，），从D1面转到D2面，单元体逆时针转了240o
则在应力圆上逆时针转480o，即它们所夹圆心角120 o，其应力圆如图
D1(2,)
C(1,0)

O
τ
σ
120 o
D2(2,-)

由图可知，，，，即为图中单元体x方向。
5-7(b)

5-13 受力物体内一点处的应力状态如图所示，试求单元体的体积改变能密度和形状改变能密度。设E=2.0×105MPa， ν=0.3。
解：，，，

5-8 在物体不受力的表面上取一单元体A，已知该点的最大切应力为3.5MPa，与表面垂直的斜面上作用着拉应力，而前后面上无应力。
(1)计算A点的σx，σy及τx，并画在单元体上。
(2)求A点处的主应力大小和方向。
A
(a)
解：见A点的应力单元体(a):

σ
τ
σy
(c)
(b)
σx
τ
σ
固有：
由A点应力单元体(b)和(c):

7-9 在一体积较大的钢块上开一个立方槽，其各边尺寸都是1cm，在槽内嵌入一铝质立方块，它的尺寸是0.95×0.95×1cm3(长×宽×高)。当铝块受到压力F=6kN的作用时，假设钢块不变形，铝的弹性模量E=7.0×104MPa，ν=0.33，试求铝块的三个主应力和相应的主应变。
0.95cm
0.95cm
1cm
F
解：F沿高度方向作用，
若铝快的变形填充整个立方槽则
由广义胡克定律
得到，显然是不可能为拉应力的。故铝快的变形未能填充整个立方槽
从而即，，
相应的主应变
7-10 在图示工字钢梁的中性层上某点K处，沿与轴线成45°方向上贴有电阻片，测得正应变ε=-2.6×10-5，试求梁上的荷载F。设E=2.1×105MPa，ν=0.28。

K
45o
解：K点处于纯切应力状态，所在截面剪力为A支座反力
由，
查表得28a号工字钢
，
故K点切应力
根据该点应力状态，由斜截面应力公式求±45o方位面上正应力

由广义胡克定律，
从而得出

7-11 图示一钢质圆杆，直径D=20mm。已知A点处与水平线成70°方向上的正应变ε70°=4.1×10-4。E=2.1×105MPa，ν=0.28,求荷载F。
解：横截面应力：

由广义Hooke定律

σy
σ70o
σ-20o
可得：

7-12 用电阻应变仪测得受扭空心圆轴表面上某点处与母线成45°方向上的正应变ε=2.0×10-4。已知E=2.0×105MPa,ν=0.3，试求T的大小。
解：该点处于纯切应力状态
切应力
根据该点应力状态，由斜截面应力公式

45o
求±45o方位面上正应力

由广义胡克定律，
从而得出

7-13 炮筒横截面如图所示。在危险点处，σt=60MPa，σr=-35MPa，第三主应力垂直于纸面为拉应力，其大小为40MPa，试按第三和第四强度论计算其相当应力。
解：第三强度理论相当应力
第四强度理论相当应力
这里 ，
故

7-20 已知钢轨与火车车轮接触点处的正应力σ1=-650MPa，σ2=-700MPa，σ3=-900MPa。如钢轨的容许应力［σ］=250MPa，试用第三强度理论和第四强度理论校核该点的强度。
解：第三强度理论相当应力
第四强度理论相当应力
这里，，
故
，所以该点满足强度要求。

6-3 受内压力作用的容器，其圆筒部分任意一点A 处的应力状态如图(b)所示。当容器承受最大的内压力时，用应变计测得：εx=1.88×10-4，εy=7.37×10-4。已知钢材弹性模量E=2.1×105MPa，横向变形系数v=0.3，［ σ］=170MPa。试用第三强度理论对A 点处作强度校核。
解：该点处于平面应力状态，由广义胡克定律

得
即该点，，
根据第三强度理论，所以该点不满足强度要求。

7-24 图示两端封闭的薄壁圆筒。若内压p=4MPa，自重q=60kN/m，圆筒平均直径D=1m，壁厚δ=30mm，容许应力［σ］=120MPa，试用第三强度理论校核圆筒的强度。
解：内压产生轴向应力和环向应力分别为

σ'
+σ"'
σ"
自重作用下，下部将产生轴向拉应力，上部将产生轴向压应力
危险点位于中间截面最下部，该点自重产生的轴向拉应力为

故该点，，
根据第三强度理论，所以该点满足强度要求。

6-6 在一砖石结构中的某一点处，由作用力引起的应力状态如图所示。构成此结构的石料是层化的，而且顺着与A-A平行的平面上承剪能力较弱。试问该点是否安全?假定石头在任何方向上的容许拉应力都是1.5MPa，容许压应力是14MPa，平行于A-A平面的容许切应力是2.3MPa。
解：根据题意，判断该点是否安全该用莫尔强度理论
先求该点三个主应力

根据莫尔强度理论

再看平行于A-A平面的截面，
，

所以该点满足强度要求。

6-7 一简支钢板梁受荷载如图(a)所示，它的截面尺寸见图(b)。已知钢材的容许应力［ σ］=170MPa,［ τ］=100MPa，试校核梁内的正应力强度和切应力强度，并按第四强度理论对截面上的a 点作强度校核。(注：通常在计算a 点处的应力时近似地按a′点的位置计算。)
解：①画内力图
②校核横截面正应力和切应力
，由于
故
，由于

满足正应力和切应力强度要求。
③ 校核主应力
已知C左或D右截面剪力和弯矩较大，
故需对该截面上a点强度进行校核。

a点处主应力
ＦQ
(kN)

M
(kN·m)
820
640
640
620
620
660
660
120
120

满足强度要求。

7-1 矩形截面梁，跨度l=4m，荷载及截面尺寸如图所示。设材料为杉木，容许应力［σ］=10MPa，试校核该梁的强度。
解梁发生斜弯曲（外力过形心，但与形心主惯性平面不平行）
qx
qy
q
左
下
，
qy作用下，下部拉上部压
qz作用下，左部拉右部压
所以梁的左下角点拉应力最大；
右上角点压应力最大，
且最大值相同。

故该梁安全。

7-3 图示悬臂梁长度中间截面前侧边的上、下两点分别设为A、B。现在该两点沿轴线方向贴电阻片，当梁在F、M共同作用时，测得两点的应变值分别为、。设截面为正方形，边长为a，材料的E、为已知，试求F和M的大小。
解：梁发生双向弯曲，
A、B两点处于单向应力状态，
，
而

故，从而

8-4 图示悬臂梁在两个不同截面上分别受有水平力F1 和竖直力F2 的作用。若F1=800N，F2=1600N， l =1m，试求以下两种情况下，梁内最大正应力并指出其作用位置：
(1)宽b=90mm，高h=180mm，截面为矩形，如图(a)所示。
(2)直径d=130mm 的圆截面，如图(b)所示。
y
z
Mz
My
M合
A
B

解：（1）在F1 和F2共同作用下梁固定端截面内侧上角点为危险点(拉应力最大)或外侧下角点为危险点(压应力最大)，最大拉应力和最大压应力大小数值相同，为

（2）在F1 和F2共同作用下梁固定端截面为危险截面，该截面合弯矩（如图）为

右侧A点为危险点(拉应力最大)或左侧B点为危险点(压应力最大)，最大拉应力和最大压应力大小数值相同，为

8-6 图(a)和图(b)所示的混凝土坝，右边一侧受水压力作用。试求当混凝土不出现拉应力时，所需的宽度b。设混凝土的材料密度是2.4×103kg/m3。

解：（a）如图，AB面为危险截面
B点为危险点，取单位坝段（1m长）分析
AB面上内力
FN
M
B
W
A

令

得
FN
M
A
B
W
（b）如图，AB面为危险截面
B点为危险点，取单位坝段（1m长）分析
AB面上内力

令

得

8-10 短柱承载如图所示现测得A 点的纵向正应变εA=500×10-6，试求F 力的大小。设E=1.0×104MPa
F
My
Mz
解：短柱发生偏心压缩变形，A点所在截面内力
，，

A点处于单向应力状态，
从而

8-12 试确定图示各截面图形的截面核心。

解：

（a） （b） （c）

8-13 图示一水平面内的等截面直角曲拐，截面为圆形，受到垂直向下的均布荷载q 作用。已知：l=800mm，d=40mm，q=1kN/m，［ σ］=170MPa。试按第三强度理论校核曲拐强度。
解：通过内力分析，曲拐BC段发生平面弯曲，最大弯矩，AB段发生弯扭组合变形，危险截面为A截面，该截面内力

该截面上顶点（或下底点）为危险点，
上顶点应力状态如图，大小为

τ
σ

由第三强度理论强度条件
，曲拐安全

7-14 图示圆截面杆，受荷载F1，F2和T作用，试按第三强度理论校核杆的强度。已知：F1=0.7kN，F2=150kN，T=1.2kN·m，［σ］=170MPa，d=50mm，l=900mm。
解：由内力分析，该杆发生拉弯扭组合变形，固定端为危险截面
其内力为
，，
该截面上顶点为危险点，
上顶点应力状态如图，大小为
τ
σ

由第三强度理论强度条件
，杆安全

8-15 圆轴受力如图所示。直径d=100mm，容许应力［ σ］=170MPa。
(1)绘出A、B、C、D 四点处单元体上的应力；
(2)用第三强度理论对危险点进行强度校核。
解：（1）A、B、C、D四点处所在截面内力(不考虑剪力):

A 、B、C、D四点应力分别为:

（2）校核危险点:

该轴是安全的。

7-20

FQ=-50kN , M=20kNm

γ=τ/G=67 με
σ=50MPa ,τ=-5.15MPa

ε90= -νσ/E=-75με
ε0= σ/E=250με

ε45 = (σ45-νσ-45)/E=(30.15-0.3×19.85)/2×105=121με

ε45 = (εx+εy)/2+(εx-εy)cos900/2+γsin900/2
=(250-75)/2+67/2=121με

讨论题：请设计图示结构中的压杆BC。
已知F=28kN，A、B、C三处连接都简化为柱形铰。压杆采用矩形截面松木，σp= σb= 13Mpa，E=10Gpa，n=2.0，nst=3.0，松木a=29.3MPa，b=0.19MPa 。

假设是大柔度杆件，稳定性条件：

8-1答：
（a）两端铰支，μ=1.0，μl=5m；
（b）一端固定，一端铰支，μ=0.7，μl=4.9m；
（c）两端固定，μ=0.5，μl=4.5m；
（d）一端固定，一端自由，μ=2.0，μl=4m；
（e）上段杆：一端固定，一端铰支，μ=0.7，μl=3.5m；下段杆：两端固定，μ=0.5，μl=2.5m。
故，（a）最小，（e）最大。

9-2 图示压杆的截面为矩形，h=60mm，b=40mm，杆长l=2.0