基于连续旋转波片调制的傅里叶解调方法研究 (1).pdf

.天 文 研 究 与 技 术 第 卷 第 期 年 月:./.基于连续旋转波片调制的傅里叶解调方法研究林哲宇 徐 稚(.中国科学院云南天文台 云南 昆明 .中国科学院大学 北京)摘要:给出了在连续式旋转波片调制模式下傅里叶分析的推导过程和解调公式 并利用理论偏振轮廓对公式的准确性进行了验证 分别采用傅里叶分析和解调矩阵两种解调方法定量模拟了在连续式调制模式下波片的初始方位角误差、旋转定位误差以及探测器曝光过程中时间差占比 个因素对测量精度的影响 主要结论有()简单的傅里叶分析不再适用于连续式调制的结果解调 文中给出的新傅里叶分析方法与解调矩阵方法在进行误差分析时 可以得到基本一致的结果()考虑初始方位角误差引起的影响 我们发现对于线偏振信号来说 采用傅里叶分析和解调矩阵可以得到非常一致的结果 而对于圆偏振来说 基于解调矩阵的方法得到的结果误差相对较小 但是两种解调方法都反映了初始方位角误差对圆偏振和线偏振产生的影响一致 且相对误差的大小与偏振信号本身的强弱有关 初始方位角的误差要求在十几角秒量级才能满足结果的相对误差在 以下()考虑旋转定位误差引起的影响时发现 采用傅里叶分析和解调矩阵得到的结果非常接近 两者同时显示出旋转定位误差对线偏振信号造成的影响更为明显 且相对误差的大小与信号的强弱有关 当波片的重复定位精度在 左右时 对 量级的弱偏振信号来说 测量误差也能在 量级左右 从这一点上 我们发现连续式调制模式对波片旋转的定位精度要求要明显高于步进式调制模式()两种解调方法的结果均显示 在连续式调制模式下 波片的调制周期与探测器曝光时长的时间差()会造成线偏振信号之间的串扰即时间差占比(/)对线偏振信号造成的影响比对圆偏振信号的影响更为明显 当/小于 时 线偏振信号相对误差达到 量级关键词:偏振测量 偏振调制 偏振解调 傅里叶解调中图分类号:文献标识码:文章编号:()偏振辐射测量是获得天体物理状态的一种重要手段 光源或传播路径的各向异性是导致偏振产生的主要机制 因此 偏振辐射可以提供有关天体磁场或辐射场等矢量场的重要信息 在太阳实测物理中 利用某些原子谱线进行高精度偏振辐射测量是目前探测太阳矢量磁场的主要手段 偏振测量精度通常要求在 或更高量级我们通常采用斯托克斯偏振矢量 即 ()(表示转置)描述一束光的偏振特性因为探测器只能测量强度信号 因此 我们需要将 个偏振矢量线性组合并进行多次测量(偏振调制)最后才能从测量的强度信号中反推完整的偏振信息(偏振解调)实现偏振矢量线性组合的光学元件组称为偏振分析器 通常由偏振调制器和检偏器两部分组成 偏振调制过程的数学表达式可以表示为 其中 是一个 的矩阵(为测量次数)称为调制矩阵 解调是调制的逆过程 可以表示为 这里 为解调矩阵 是调制矩阵的逆矩阵 利用正确的调制及解调基金项目:国家自然科学基金()资助.收稿日期:修订日期:作者简介:林哲宇 男 硕士 主要研究偏振测量.:.通信作者:徐 稚 女 研究员 主要研究太阳活动现象的光谱以及成像观测、偏振光谱与矢量磁场探测、太阳光谱仪.:.天 文研究与技术 卷矩阵 我们可以根据观测计算输入的偏振信号波片或波片组合是一种常见的偏振调制器元件 利用波片实现偏振调制有多种形式 例如 在电机带动下旋转固定延迟量的光学波片的快轴 或者通过改变电压来改变液晶波片的延迟量或光轴方向等 相对使用液晶波片来说 使用光学波片的优点主要有()性能比较稳定 在有效通光孔径范围内 波片的面形精度以及延迟量分布均匀性相对较好()波片的延迟量可以根据科学需求进行优化 优化原则通常考虑各种科学目标对不同偏振矢量的测量效率要求的不同()适用于较宽的波长范围 消色差波片可以实现多波段的同时观测 因此多个太阳望远镜采用可旋转光学波片作为偏振调制器 例如 地面设备有美国真空塔望远镜()的高级 旋光仪()和 米口径的古德望远镜()中国的 新真空太阳望远镜()和光纤阵列太阳望远镜()等等 空间设备有日本 卫星的 仪器搭载的 载荷和探空火箭()等 用于日冕磁场测量的印度可见发射线日冕仪()也是采用旋转波片作为偏振调制器 从上述仪器的偏振调制方式我们发现 波片旋转可以采用两种模式 一种是波片步进旋转 探测器在波片每步旋转到位并停止时进行数据采集(例如 和)另一种是波片连续旋转探测器同步采集波片旋转过程中的强度变化(例如 /等)在两种模式中 等间隔采集是一种常见方式 即波片的旋转角度为 /是波片旋转一周需要的步数或探测器采集的次数 以步进式为例 探测器采集的强度信号 与波片旋转角、波片延迟量 以及入射偏振信号 之间的关系为()()()其中 .()我们发现 和 以相同的频率(倍波片旋转的频率)调制进入 但两者相位相差/则以 倍波片旋转的频率调制进入 和 的调制振幅(即 和)也仅与波片延迟量 有关 因此 除了使用解调矩阵(即利用前述公式 )计算入射的 外 我们还可以根据傅里叶分析解调 即 /()/()其中 和 分别代表傅里叶分析频率的实部和虚部 数字 或者 代表傅里叶分析频率 并与 的值相对应但是在连续式旋转模式下()式需要进行调整 即进行角度积分(详见下文的公式推导)此时上文提到的简单的傅里叶解调公式不再适用 因此 针对连续式调制 人们还是普遍采用基于解调矩阵 的解调方法相对于步进式来说 连续式波片旋转在调制频率方面具有明显优势 在国际上得到普遍应用 因此 本文的研究工作主要针对连续式波片旋转模式展开 首先推导该调制模式下精确的傅里叶分析的解调公式 并利用理论模拟验证公式的正确性 随后利用两种不同的解调方法(解调矩阵以及傅里叶分析)分析波片的初始方位角误差、波片旋转定位误差以及探测器采集过程中的时间差占比等因素对解调结果的影响 最后给出讨论分析和结论 期林哲宇等:基于连续旋转波片调制的傅里叶解调方法研究 公式推导与验证在本节中 我们首先给出连续式旋转波片的傅里叶解调公式的推导过程 然后理论模拟已知偏振矢量的连续式调制观测 之后分别利用新推导的公式以及步进式旋转波片的公式对模拟观测结果进行傅里叶分析 最后将解调结果与已知输入信号进行比较 验证公式的正确性 公式推导在连续模式下 探测器单次曝光采集得到的强度为 ()其中 是调制矩阵 具体表达为 ()()其中 和 的定义与()式相同 .(代表在波片旋转一周内探测器的采集总次数)在探测器第 次曝光过程中 波片快轴从 转到 期间波片快轴扫过的角度为 当探测器曝光采集时间相等 即均匀采集时 /假设波片快轴初始位置与检偏器的透过轴方向存在一定的夹角 那么 ()将积分公式计算后代入()式 可以得到观测的强度轮廓为 ()()()()()()()()()()()()()()()().()分析上述公式我们发现 和 信号不再如前文()()式那样与某种调制频率存在简单的对应关系 例如 的系数中既包含 信号也包含 信号 信号仍然只与 的系数有关因此 经过一系列代数运算 我们推导出新的傅里叶分析的解调为 ()()()()()()()()()其中 和 的含义与()式相同 公式准确性的仿真验证接下来 我们利用理论模拟信号对()式解调方法的准确性进行验证 思路如下:()利用()偏振辐射转移程序模拟生成理论 原子谱线的偏振轮廓计算时采用一维平面平行大气假设 宁静区 大气模型以及典型磁场位形(磁场强度 高斯倾斜角 方位角)工作谱线 中心波长 理论计算偏振轮廓如图 实线 这里天 文研究与技术 卷需要指出的是 我们使用偏振轮廓()而不使用一组特定的偏振矢量 因为不同的波长点具有强弱不同的偏振信号 可以更好地验证解调公式的普适性()模拟理想的 步连续式波片调制模式 即在波片旋转半圈(一个调制周期)的过程中探测器均匀采集 次 此时 波片延迟量 根据()式计算得到波片旋转 圈过程中的强度轮廓 变化 分别利用()式和()式对理论强度轮廓 进行傅里叶分析方法解调()对比已知偏振轮廓与两种解调结果 首先理论轮廓显示 在特殊磁场位形的假设下/信号最弱(最大值约 )/稍强(大约是/的 倍)/最强(最大值约 )其次 我们在图 中先展示了采用简单傅里叶分析(即()式)得到的结果与已知偏振轮廓的对比 各子图分别展示了/和/的情况 实线为输入的理论偏振轮廓 点为傅里叶解调结果 对比输入值和结果我们发现 理想情况下 简单的傅里叶分析的解调结果与输入的理论轮廓明显不同 特别是在线芯以及近线翼()的强偏振信号区域 差异最明显的情况发生在最弱的/轮廓中 甚至发生了符号反转 而/和/轮廓最大差异的相对值也到 /轮廓看似相同 但从两者的残差上看出 他们最大相对差异也接近 图 已知偏振轮廓与简单傅里叶解调轮廓的对比 从左到右 从上到下 分别是/和/轮廓 实线为已知的偏振轮廓 点为利用()式中简单傅里叶解调得到的结果()图中 虚线代表傅里叶解调的强度轮廓与理论强度轮廓的差值 ()().()./.()()/期林哲宇等:基于连续旋转波片调制的傅里叶解调方法研究 为了分析上述误差与一个周期内采集次数的关系 我们将采集次数从 次增加到 次和 次结果如图 图()和()分别展示了/信号和/信号 我们发现随着采集帧数逐渐增加 输入和输出信号的残差有所减小 当 时/信号的残差最大依然能达到 (是偏振信号本身的)/信号的残差非常小 最大约为 (是偏振信号本身的 )两者残差的轮廓都与偏振信号本身的轮廓非常相似 并不是随机误差图 在不同的采集帧数时 已知偏振轮廓与简单傅里叶解调轮廓的对比()和():/(/)轮廓对比 采集帧数分别为 和 ()和():时 已知轮廓与解调轮廓的残差 ().()():/(/).()():接下来 我们采用新的傅里叶分析方法()式)进行解调 结果如图 解调结果与理论输入值的差异与图 构成了鲜明的对比 为了突出差异 我们在每张子图中给出了两者的残差 从残差(虚线)来看 解调后的轮廓与输入轮廓几乎没有明显差异 在整个轮廓范围内残差都维持在一个极低的误差范围()图 和图 的结果与图 的结果对比充分展示了简单的步进式傅里叶分析公式已经不再适用于连续式波片旋转调制的解调 而本文推导的新傅里叶解调公式则能非常准确地给出解调结果 因此 下文提及的傅里叶分析或傅里叶解调均是指()式给出的方法天 文研究与技术 卷图 已知偏振轮廓与新傅里叶解调轮廓的对比 实线为已知输入偏振轮廓 点为利用()式得到的新傅里叶解调结果 点短实线(红色)为两者的残差 ()().().不同解调方法与连续式调制过程中的误差分析从()式可以看出 有几个变量的误差影响连续式旋转波片的调制结果 包括波片的初始方位 角(波片的快轴方向与检偏器的透过轴方向的夹角)、旋转波片的定位误差、波片旋转速度与探测器曝光时间不匹配等 本节中 我们分别使用解调矩阵与傅里叶分析两种不同的解调方法 定量分析上述变量的误差对解调结果的影响 初始方位角误差光路中 波片的快轴与检偏器的透过轴方向存在一定的夹角 称为波片的初始方位角误差 在实际工作中 我们无法知道 的精确值 因此产生一定的计算误差 在模拟该误差的影响时 我们的分析思路如下:()输入已知偏振信号(/)()分别代表弱、中、强偏振信号(此后/和/信号统一用 和 信号指代)模拟 步连续式调制过程 设波片初始方位角为 在探测器单次曝光过程中波片转动角度/波片延迟量 根据()式生成观测的强度轮廓 期林哲宇等:基于连续旋转波片调制的傅里叶解调方法研究()采用解调矩阵和傅里叶分析方法分别对观测到的强度轮廓进行解调 对比解调结果与输入结果的相对误差 定义为/因为 值大小未知 所以计算解调矩阵或傅里叶分析时都设为 的理想情况 步连续式调制的理想调制矩阵 为 ()解调矩阵采用 ()计算 解调结果为 用傅里叶解调方法时我们使用()式(其中 设为)()初始方位角 在为 范围内变化 根据步骤()和()定量计算 与解调结果相对误差的大小关系 如图 图 旋转波片的初始方位角误差对解调结果的影响 已知输入偏振信号为()调制方式详见正文描述 初始方位角度误差()变化范围为 我们对观测信号分别采用傅里叶分析(“”点)和解调矩阵(虚线)两种方法进行解调 从上到下分别展示了两种方法解调出的 信号与输入值之间的相对误差 .().().“”图 展示了采用两种解调方法得到的解调结果相对误差与初始方位角的关系 虚线代表解调矩阵方法的结果“”号代表傅里叶分析的结果 首先 无论用哪种方法 随着 增加 和 的相天 文研究与技术 卷对误差均明显增加 对于线偏振信号来说 两种方法的结果基本一致(残差非常小 在 量级以下)但是对圆偏振信号来说 傅里叶分析结果呈现较大的相对误差 大约是用解调矩阵得到的 倍左右 针对这个情况我们进一步分析发现 可以通过增加一个调制周期内的探测器采集频率(例如由 次增加为 次)但是这种方法在实际工作中并不太适用 我们将在结果部分进行讨论 其次 图中 和 的相对误差有一定的差别 说明相对误差的大小与信号本身的强弱有关 当我们进一步将输入的 和 信号设定为大小相等时 他们的相对误差基本相同 说明初始方位角误差对于三者的影响是一致的 因此 对于比较弱的 量级的偏振信号来说 例如此处的 信号()两种解调方法都给出一致的要求 即当相对误差控制在 量级以内时 初始方位角的误差要求小于(约)波片定位误差波片旋转定位误差主要是由带动其旋转的电机的转速不稳定造成 转速不稳定导致在探测器每次曝光过程中 波片快轴的旋转角度不再是一个稳定值(即每次的 不同)经过调研得知 目前常用的高精度电机在达到匀速转动的状态之后 重复定位精度可以达到 左右 因此 我们针对这个量级的定位误差进行了蒙特卡洛模拟()输入已知偏振信号()模拟 步连续式调制 探测器单次曝光过程中波片转动角度/为 到 内的随机数 波片延迟量 根据()式生成所观测到的强度轮廓()采用理想解调矩阵和傅里叶分析方法分别对观测到的强度轮廓进行解调 计算解调结果与输入值的相对误差 如图 图 波片旋转定位误差对解调结果的影响 输入偏振信号与图 相同 调制方式详见正文描述 调制过程中波片旋转定位误差范围 随机模拟 次独立调制过程 分别采用傅里叶分析(“”点)和解调矩阵(虚线)两种方法解调并给出解调结果与输入值之间的相对误差 .“”期林哲宇等:基于连续旋转波片调制的傅里叶解调方法研究 图 展示了波片定位误差对解调结果相对误差的影响 在模拟 次独立调制的结果后 我们发现 两种解调方法的线偏振信号和圆偏振信号的相对误差非常接近 当输入信号为 ()时 和 相对误差的均方根值分别为 和 我们进一步计算发现 当输入信号 时 三者相对误差的均方根值分别为 和 这不仅说明相对误差的大小与信号的强弱有关 也说明定位误差对圆偏振信号造成的影响略小于对线偏振信号的影响 最后 对 量级 信号来说 的波片定位精度产生的相对误差也在 量级左右 时间差占比引起的测量误差图 展示了波片的调制周期和探测器采集周期的匹配问题 由于两者间存在时间差异 因此引起的测量误差也是连续式调制重要的误差来源之一图 波片调制周期与探测器采集频率的时间差异 其中上方是波片调制周期 下方是探测器采集周期假设波片完成一个调制周期需要 在 时刻内探测器实际曝光时间为 两者差异为 .假设波片无定位误差 并在 时间间隔内匀速旋转过一个特定角度(/)然而 期间探测器的实际曝光时长只有 两者存在一个时间差()探测器并没有采集 时间内的光强因而产生误差 我们将两者的时间差 与时间 的比值称为时间差占比(即/)此时探测器单次曝光时间内波片实际转动过的角度为 /在图 中 我们模拟了/从 增加到 时 解调结果与输入值之间的相对误差情况 在本节中 输入的偏振信号为 ()即线偏振与圆偏振信号强弱相等由图 我们发现 两种解调方法得到的结果基本一致 当/逐渐增大时 解调结果的相对误差随之增大 两种结果的明显区别仍然是针对圆偏振信号的解调 使用解调矩阵得到的相对误差比较小 同时我们可以看到 相比圆偏振信号 时间差占比的变化对线偏振信号造成的影响更为明显 我们分析 信号发现 相对误差要控制在 量级时/要小于 同时我们也分析了()的情况 即 信号增强 倍 依然发现时间差占比的变化对圆偏振信号的影响也非常弱与图 的结果非常类似 因此没有展示 这说明时间差主要引起线偏振信号之间的串扰 本工作的模拟只针对 个调制周期 如果进行多个周期的调制 那么微小的 会积少成多 误差逐步放大 讨论与结论本文给出在连续式旋转波片调制模式下的傅里叶分析的推导过程和解调公式()式)并利用理论偏振轮廓对公式的准确性进行了验证 这里我们需要着重指出()式中对 信号的解调 利用虚部比实部能得到更加准确的结果 接着 我们分别采用傅里叶分析和经典的解调矩阵两种解调方法 利用理论模拟定量计算了波片的初始方位角误差、旋转定位误差以及探测器曝光过程中时间差占比 个因素对解调结果准确性造成的误差 即对偏振测量精度的影响 这里我们逐一对主要结论进行讨论和总结:天 文研究与技术 卷图 时间差占比对解调结果的影响 输入信号大小与图 和图 中的相同 时间差占比由 增加至 解调结果分别采用傅里叶分析(“”号)和解调矩阵(“”号)获得 上、中子图中的虚线代表 下子图中的虚线代表 .(/).“”“”.()波片初始方位角误差的影响 对于线偏振信号 采用傅里叶分析和解调矩阵可以得到比较一致的结果 当测量的偏振信号在 量级时 若要求结果的相对误差在 量级以内 那么初始方位角的误差应小于 (即 左右)但是 我们发现对于圆偏振信号 傅里叶分析方法得到的相对误差比较大 从这一点来看 采用解调矩阵方法可以克服初始方位角误差带来的影响 另外 我们发现初始方位角误差对圆偏振和线偏振产生的影响一致 且相对误差的大小与偏振信号本身的强弱有关 这里我们对比了文的结果 他们的误差分析是基于步进式旋转波片调制及简单的傅里叶分析方法 他们的结果显示 初始方位角的误差对圆偏振信号的相对误差几乎没有影响 他们基于线偏振信号的分析结果则与本文一致 因此我们认为 相对于步进式调制 连续式调制对初始方位角的定位精度要求更高()波片旋转定位误差的影响 无论是线偏振还是圆偏振信号 两种解调方法结果基本一致 两个结果均显示旋转定位误差对线偏振信号造成的影响更为明显 且相对误差的大小与信号的强弱有关 定量分析发现 当波片的重复定位精度在 左右时(符合常见高精度电机的性能指标)对于量级的弱偏振信号 测量误差也在 量级左右 文给出在步进式调制时 当要求相对测量误差在 量级左右时 波片的定位精度可以放宽到 因此 我们认为在相同测量误差要求的前提下 连续式调制比步进式调制模式对波片旋转的定位精度要求更高()探测器采集过程中时间差占比的影响 这个影响仅仅存在于连续式调制模式 在理想情况下我们要求 而实际测量时 由于图像存储或数据转移需要一定的时间 这造成调制方式偏 期林哲宇等:基于连续旋转波片调制的傅里叶解调方法研究离理想情况 导致解调结果出现误差 分析发现 时间差造成的影响主要是线偏振之间的相互串扰/在 左右时 对圆偏振信号相对误差的影响接近 量级 另外 在连续式采集模式下 除了时间差以外 我们还应关注探测器采集帧频与波片旋转速度之间的匹配问题 利用探测器的采集帧频对波片的旋转速度下限提出要求()最后值得指出的是 虽然没有定量计算 但我们发现 增加一个调制周期内探测器的采集频率后 无论使用哪种解调方法 偏振测量精度都有所提高 但是增加采集频率会造成数据量增加以及调制频率或者时间分辨率降低 因此 综合考虑各种因素后 我们在本文的工作中仍采用常见的一个周期采集 帧的模式参考文献:.():.:.():.:/.:/.:.():.()/.:.():.:/().():.:.():.():.:.:.():.:.():.天 文研究与技术 卷 (.:.):.:().().().()().().().(/).: