人教新课标版初中八上154因式分解基础训练题.doc

人教新课标版初中八上
15.4因式分解基础训练题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列变形中正确的是 (　　)
A．m-n=+(n-m) B．(m-n)2=-(n-m)2
C．(m-n)3=-(n-m)3 D．(m-n)3=(n-m)3
2．下面从左向右变形，属于因式分解的是 (　　)
A．x(x+y)=x2+yx
B．x2-36+12x=(x+6)(x-6)+12x
C．a2-b2a-c2a2=-a(a+ba-ac2)
D．
3．把多项式-3mn2-2m2n+m2n2因式分解，正确的是 (　　)
A．3mn(n-2m+mn) B．-mn(3n-2m+mn)
C．-mn(3n+2m-mn) D．-mn(n+2m-mn)
4．多项式m2-4n2与m2+4mn+4n2的公因式是 (　　)
A．m2-4n2 B．m+2n
C．m-2n D．没有公因式
5．若a2-ma+是一完全平方式，则m的值为 (　　)
A． B．
C． D．
6．把多项式an+3+an-2（n为大于2的正整数）分解因式为 (　　)
A．an(a3+a-2) B．a2(an+1+an-4)
C．an-2(an+1+1) D．an-2(a5+1)
7．把772-672计算出来，过程较简便的是 (　　)
A．77×77-67×67=1440
B．(77+67)(77-67)=1440
C．(75+2)(79-2)-(65-2)(69-2)=1440
D．(70+7)2-(70-3)2=1440
8．代数式(a-3b)2-4(a-3b)c+4c2可写成 (　　)
A．(a-3b-2c)2 B．(a+3b-2c)2
C．(a-3b+2c)2 D．(a+3b+2c)2
9．若2x2+2y2+2z2-2xz-2yz-2xy=0，且x，y，z分别为三角形的三边，则该三角形是(　　)
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
10．把4x(x+y)+y2分解因式为 (　　)
A．不能因式分解 B．(4x+y)2
C．(2x+y)2 D．(2x-y)2
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．(1+a)mn-a-1=(____________)·(___________)．
12．多项式34x4y2-17x2y4-51x2y2各项的公因式为______________．
13．3m2n2-6mn+3因式分解为_____________．
14．把(x+y)2-(x-y)2因式分解，其结果为___________．
15．将25p2-49q2因式分解为_______________．
16．k-m2-n2+2mn的最大值为10，则k值为_____________．
17．将4(m+n)2-12(m+n)k+9k2因式分解为___．
18．若m(3x-y2)=y4-9x2，则m为______________．
19．若kx4-1能被分解成三个二项式的积，并且都是整系数的，则系数k是两位数时它的最大值为____________．
20．若x+y=2m，x-y=2n，则xy的值为_____________．
三、解答题（每小题8分，共16分）
21．已知ab=2，a+b=5，求a3b+2a2b2+ab3的值．

22．试证明：当n为正整数时，(2n-1)2-49能被4整除．

参考答案
一、1．C　分析：显然m-n与n-m互为相反数，则A明显错误．而(m-n)2=(n-m)2，故B项也是错误的．(m-n)3=-(n-m)3是对的，故C正确，D不正确，选C．
点拨：注意互为相反数的两个数的奇次幂符号相同，即值相等．
2．D　分析：按因式分解的定义即把多项式化成几个因式乘积的形式．A，B两项都不符合，而C项左边=a2-b2a-c2a2=a(a-b2-ac2)≠右边，故C也不对．D项左边==右边，故D是正确的．
点拨：对因式分解的意义要真正理解，至少是从和（差）式变到乘积式，但是要保证原式（和、差）的值不能变化，另外分解要彻底．
3．C　分析：通过观察可知这个多项式各项均含有因式-mn提出来即可．即-3mn2-2m2n+m2n2+m2n2=-mn(3n+2m-mn)．故只有C项正确．
点拨：提出-mn，那么括号内的各项与原多项式各项（对应项）符号应相反，即原式项式提出一个负号后各项都要变号．
4．B　分析：先将m2-4n2和m2+4mn+4n2分别按平方差公式、完全平方公式进行因式分解，得m2-4n2=(m+2n)·(m-2n)，m2+4mn+4n2=(m+2n)2．故它们的公因式为m+2n，故选B．
点拨：求两个多项式的公因式，必须先将多项式分解因式，再从它们的因式中找相同的因式即是公因式．
5．A　分析：由a2-ma+若它要是一个完全平方式ma应该等于，故-m=，即m=．
点拨：要清楚完全平方式的结构特点：特别是乘积项与两个平方项的关系，即乘积项应等于两个平方项底数乘积的2倍或其相反数．
6．D　分析：显然这个二项式an-2是公因式，将其提出来即可，即an+3+an-2=an-2(an+3-(n-2)+a0)= an-2(a5+1)，故选D．
点拨：在提取公因式时要注意逆用同底数幂相乘的法则，在用此法则时要注意指数的变化．
7．B　分析：从四个选项中的每个计算过程来看应该是B项，用平方差公式将772-672因式分解，前边两个数的和是个三位数，后边这两个数的差正好等于10，一般口算就能算出来，而其他D项都很麻烦，故选B．
点拨：在求两个数平方差（特别是较大的数）时，一般将其因式分解即将其化成两数的和与两数差的乘积，往往会使过程很简单（特别是出现整十、整百的时候）．
8．A　分析：这个代数式可写成(a-3b)2-2·(a-3b)·2c+(2c)2正好符合完全平方公式的结构特征，即(a-3b)2-2(a-3b)·2c+(2c)2=(a-3b-2c)2．
点拨：本题中要把a-3b看成整体，千万不要分开，否则将很难判断哪一个是正确的．
9．B　分析：通过观察分析可将原等式左边重新组合，构成完全平方式的形式，即原式左边=x2+y2-2xy+x2+z2-2xz+y2+z2-2yz=(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=右边=0，故有x-y=0，且x-z=0且y-z0，所以x=y且x=z且y=z，故x=y=z，故为等边三角形．
点拨：式子中有平方项，还有关于平方项底数的乘积项，应想到完全平方公式，这有利于确定一些式子的符号，也利于推导出各式子的关系．
10．C　分析：从表面上看这个多项式不能分解，但是把前面的乘积式计算出来后会发现这个多项式符合完全平方公式的结特征，即原式=4x2+4xy+y2=(2x)2+2×2·x·y+y2=(2x+y)2．
点拨：在多项式进行因式分解无法进行时，不妨把这个多项式作适当的变形或者把各项顺序调换一下，往往会达到峰回中转、柳暗花明的效果．
二、11．a+1　mn-1　分析：将后边两项组合在一起，可得到公因式a+1，再将其提出来即可，(a+1)mn-a-1=(a+1)mn-(a+1)=(a+1)(mn-1)．
点拨：一定要认真观察每一项，并从整体上统观全局看各项之间有何关系．
12．17x2y2　分析：从系数上看各项系数的最大公约数为17，各项均含有字母x，y，且x，y的最低次数均为2，故公因式为17x2y2．
点拨：公因式的系数为原多项式各项系数的最大公约数，字母为各项均含有的字母，次数为字母在各项中的最低次数．
13．3(mn-1)2　分析：显然各项系数均含有因数3，把3提出来，剩下的各项正好符合完全平方式，即原式=3(m2n2-2mn+1)=3(mn-1)2．
点拨：本题要把mn看成整体，再从整体上观察是否有公因式，是否符合公式．
14．4xy　分析：本题明显符合平方差公式，则按平方差公式进行因式分解即可，即原式=(x+y+x-y)[x+y-(x-y)]=2x·2y=4xy．
点拨：本题直接把两平方项用公式计算后，再化简也能得出4xy，但是计算起来稍麻烦一些，但是本题要求是因式分解，所以应该用因式分解方式解式．
15．（5p+7q）(5p-7q)　分析：显然原式可化为(5p)2-(7q)2，即符合平方差公式的结构特征，则(5p)2-(7q)2=(5p+7q)(5p-7q)．
点拨：本题中含有两个字母的平方且符号相反，系数还是完全平方数，正好符合平方差公式的结构特征．
16．10　分析：通过观察可知原多项式的后三项符合完全平方的结构特征，即原式=k-(m2+n2-2mn)=k-(m-n)2，因为(m-n)2≥0，所以-(m-n)2≤0，则k-(m-n)2的最大值为k，故k=10．
点拨：这类涉及量大值或最小值的问题，常常通过把它们化成k-a2或k+a2的形式来解决．
17．（2m+2n-3k）2　分析：认真观察你会发现原式=[2(m+n)]2-2·2(m+n)·3k+(3k)2，正好符合完全平方式公式，故原式可化成(2m+2n-3k)2．
点拨：本题中要将(m+n)看成一个整体进行计算．
18．3x-y2　分析：显然本题原式左边为乘积式，右边是多项式，按照题意右边一定能够因式分解，再与左边相比较即可确定m，即原式右边=y4-9x2=(y2)2-(3x)2=(y2+3x)(y2-3x)= -(y2+3x) (3x-y2)，故m=-(y2+3x)=-y2-3x．
点拨：本题在两边来回推导的过程中要注意符号的变化，千万不要写错了，否则将会前功尽弃．
19．81　分析：由题意可知kx4-1能分成三个二项式的积，设为(k1x2+1)(k2x+1)(k2x-1)，即原式可按平方差公式分解两次，即k首先是个完全平方数另外也应是个完全平方数，若令，则m应是k的四次算术根，故k=m4，而k又是个两位数，而我们知道在两位数中只有16=24，81=34，故k应是81．
点拨：由kx4-1能分成三个二项式的乘积我们应该想到应连续应用平方差公式，由此可判断k是一个整数的4次方．
20．m2-n2　分析：由完全平方公式可得(x+y)2，(x-y)2的展开式均含有x2，y2项且符号相同，另外还有x，y的乘积项且符号相反，故将(x+y)2与(x-y)2相减即可得出4xy的值．即(x+y)2-(x-y)2=4m2-4n2，即4xy=4m2-4n2，所以xy=m2-n2．
点拨：在x+y，x-y，xy之间，只要知道任意两个式子的值，那么就可以通过完全平方公式求出第三个式子的值．
三、21．分析：本题的多项式含有公因式ab，将其提出后剩余a2+2ab+b2，正好是一个完全平方式，可化为(a+b)2，这样再将ab，a+b的值代入计算即可．
解：原式=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2．
当ab=2，a+b=5时，
原式=2×52=50．
点拨：这类求值题一般情况下，就是把要求的多项式化成含ab，a+b的多项式或乘积式，再代入求值．
22．分析：将原式按平方差公式因式分解，通过它的因式即可看出是否能被4整除．
证明：原式=(2n-1)2-72=(2n-1+7)(2n-1-7)
=(2n+6)(2n-8)
=4(n+3)(n-4)．
∵n为正整数，故n+3，n-4均为整数，
∴上式能被4整除．
所以原式能被4整除．
点拨：看一个多项式能否被某数整除，就是把这个多项式因式分解，看该数是否在此因式当中．
4