高三数学-2011版《6年高考4年模拟》：第三章--导数及其应用.doc

第三章 导数及其应用
第一部分 六年高考荟萃
2010年高考题
1..（2010全国卷2理）（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
（A）64 （B）32 （C）16 （D）8
【答案】A
【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..
【解析】，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.故选A.
2.（2010辽宁文）（12）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是
(A)[0) (B) （C） (D)
答案 D
解析：选D.，，
即，
3.（2010辽宁理）(1O)已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是
(A)[0,) (B) (D)
【答案】D
【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。
【解析】因为，即tan a≥-1,所以
4.（2010全国卷2文）（7）若曲线在点处的切线方程是，则
（A） (B)
(C) (D)
【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程
∵ ，∴ ，在切线，∴
5.（2010江西理）12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为

【答案】A
【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。
6.（2010江苏卷）14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是________。
【解析】 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为，则：
（方法一）利用导数求函数最小值。
，

，
当时，递减；当时，递增；
故当时，S的最小值是。
（方法二）利用函数的方法求最小值。
令，则：
故当时，S的最小值是。
7.（2010湖南文）21．（本小题满分13分）
已知函数其中a<0,且a≠-1.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数（e是自然数的底数）。是否存在a，使在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

8.（2010浙江理） (22)(本题满分14分)已知是给定的实常数，设函数，，
是的一个极大值点．
(Ⅰ)求的取值范围；
(Ⅱ)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．
解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。
（Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a)
令
于是，假设
（1） 当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。
（2） 当x1a且x2a时，由于xa是f(x)的极大值点，故x1的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.
10.（2010陕西文）21、(本小题满分14分)
已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。
（1） 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（2） 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；
（3） 对（2）中的（a），证明：当a（0，时， （a）1.
解 （1）f’(x)=,g’(x)=(x>0),
由已知得 =alnx，
=， 解德a=,x=e2,
两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f’(e2)= ,
切线的方程为y-e=(x- e2).
（2）由条件知

Ⅰ 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,
所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0，）上递减；
当x>时，h (x)>0，h(x)在（0，）上递增。
所以x>是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。
所以Φ （a）=h()= 2a-aln=2
Ⅱ当a  ≤   0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。
故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o)
（3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a)
则 Φ 1（a ）=-2ln2a，令Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2
当 00，所以Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增
当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。
所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1
因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值
所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a）  ≤  1

11.（2010辽宁文）（21）（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设，证明：对任意，.
解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，.
当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；
当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；
当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；
x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.
(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.
所以等价于
≥4x1－4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,则
+4
＝.
于是≤＝≤0.
从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，
即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，.　　

12.（2010辽宁理）（21）（本小题满分12分）
已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）设.如果对任意，，求的取值范围。
解：
（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .
当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；
当-1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调增加，在单调减少.
（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，
等价于
， ①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即
.
从而
故a的取值范围为（-∞，-2]. ……12分

13.（2010全国卷2文）（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。
（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；
（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。
【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。
（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。
（2）求出函数的导数，在（2，3）内有极值，即为在（2，3）内有一个零点，即可根据，即可求出A的取值范围。
14.（2010江西理）19. （本小题满分12分）
设函数。
（1）当a=1时，求的单调区间。
（2）若在上的最大值为，求a的值。
【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。
解：对函数求导得：，定义域为（0，2）
（1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。
当a=1时，令
当为增区间；当为减函数。
（2） 区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定
待定量a的值。
当有最大值，则必不为减函数，且>0，为单调递增区间。
最大值在右端点取到。。

15.（2010安徽文）20.（本小题满分12分）
设函数，，求函数的单调区间与极值。
【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.
【解题指导】（1）对函数求导，对导函数用辅助角公式变形利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.

【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.
16.（2010重庆文）(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)
已知函数(其中常数a,b∈R),是奇函数.
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值.

17.（2010浙江文）（21）（本题满分15分）已知函数（a-b）1，b=2时，求曲线在点（2，）处的切线方程。
（II）设是的两个极值点，是的一个零点，且，
证明：存在实数，使得 按某种顺序排列后的等差数列，并求

18.（2010重庆理）（18）（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分）
已知函数其中实数。
（I） 若a=-2，求曲线在点处的切线方程；
（II） 若在x=1处取得极值，试讨论的单调性。

19.（2010山东文）（21）（本小题满分12分）
已知函数
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；
（II）当时，讨论的单调性.

20.（2010北京理）(18)(本小题共13分)
已知函数()=In(1+)-+(≥0)。
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间。
解：（I）当时，，
由于，，
所以曲线在点处的切线方程为

即
（II），.
当时，.
所以，在区间上，；在区间上，.
故得单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，
故得单调递增区间是.
当时，，得，.
所以没在区间和上，；在区间上，

故得单调递增区间是和，单调递减区间是
21.（2010天津文）（20）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=，其中a>0.
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.
【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.
（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y6x-9.
（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.
以下分两种情况讨论：
（1） 若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：
X

0

f’(x)
+
0
-
f(x)

极大值

当等价于
解不等式组得-52，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：
X

0

f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)

极大值

极小值

当时，f（x）>0等价于即
解不等式组得或.因此2可知a的取值范围为0数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
（Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.

23.（2010福建文）22．（本小题满分14分）
已知函数f（x）=的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2
(Ⅰ)求实数a,b的值；
(Ⅱ)设g（x）=f(x)+是[]上的增函数。
（i）求实数m的最大值；
(ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

24.（2010全国卷1理）(20)(本小题满分12分)
已知函数.
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）证明： .

25.（2010湖北文）21.（本小题满分14分）
设函数，其中a＞0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1
（Ⅰ）确定b、c的值
（Ⅱ）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：当时，
（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围。

26.（2010湖南理）20.（本小题满分13分）
已知函数对任意的，恒有。
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值。
解析：

27.（2010福建理）20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数，。
（i）求函数的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点
，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段

（Ⅱ）对于一般的三次函数（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。
【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。
【解析】（Ⅰ）（i）由得=，
当和时，；
当时，，
因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。

28.（2010湖北理数）

29.（2010安徽理）17、（本小题满分12分）
设为实数，函数。
(Ⅰ)求的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当且时，。

30.（2010江苏卷）20、（本小题满分16分）
设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。
(1)设函数，其中为实数。
(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质。给定设为实数，
，，且，
若||<||，求的取值范围。
【解析】 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。
（1）(i)
∵时，恒成立，
∴函数具有性质；
(ii)（方法一）设，与的符号相同。
当时，，，故此时在区间上递增；
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，而，
对于，总有故此时在区间上递增；
（方法二）当时，对于，
所以，故此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又对任意的都有>0，
所以对任意的都有，在上递增。
又。
当时，，且，

综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。
①当时有，
，得，同理可得，所以由的单调性知、，
从而有||<||，符合题设。
②当时，，
，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。
③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。

2009年高考题
一、选择题
1.(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是 ( )
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
答案 D
解析 ,令,解得,故选D
2.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( )
A1 B. 2 C.-1 D.-2
答案 B
解:设切点，则,又
.故答案 选B
3.（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线
在点处的切线方程是 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由得几何，
即，∴∴，∴切线方程，即选A
4.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ( )
A．或 B．或 C．或 D．或
答案 A
解析 设过的直线与相切于点，所以切线方程为

即，又在切线上，则或，
当时，由与相切可得，
当时，由与相切可得，所以选.
5.（2009江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 ( )
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
答案 A
解析 由已知，而，所以故选A
力。
6.（2009全国卷Ⅱ理）曲线在点处的切线方程为 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解 ,
故切线方程为,即 故选B
7.（2009湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数，
则函数在区间上的图象可能是 ( )
y
a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b

A ． B． C． D．
解析 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢.
8.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝ ( )
A. B.3 C. D.4
答案 C
解析 由题意 ①
②
所以,
即2
令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)
∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2
于是2x1＝7－2x2
9.（2009天津卷理）设函数则 ( )
A在区间内均有零点。
B在区间内均无零点。
C在区间内有零点，在区间内无零点。
D在区间内无零点，在区间内有零点。
【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。
解析 由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间
为增函数，在点处有极小值；又
，故选择D。
二、填空题
10.（2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则
解析 f’(x)＝
f’(1)＝＝0 Þ a＝3
答案 3
11.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .
解析 解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。
解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填
或是。

解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得
12.（2009江苏卷）函数的单调减区间为 .
解析 考查利用导数判断函数的单调性。
，
由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
13.（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .
解析 考查导数的几何意义和计算能力。
，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）
答案 :
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.
14.（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.
答案
解析 由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，
所以。
15.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .
答案 -2

16.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：
①设是平面上的线性变换，，则
②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；
③对，则是平面上的线性变换；
④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。
其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）
答案 ①③④
解析 ①：令，则故①是真命题
同理，④：令，则故④是真命题
③：∵，则有
是线性变换，故③是真命题
②：由，则有

∵是单位向量，≠0，故②是假命题
【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，
突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。
17.（2009宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。
答案
解析 ，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即
三、解答题
18.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）
设函数在两个极值点，且
（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；
(II)证明：
分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。
大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根
则有
故有
右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。
解析 由题意有．．．．．．．．．．．．①
又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
消去可得．
又，且

19.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数 ．
（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
解析 （Ⅰ）由题意得
又 ，解得，或
（Ⅱ）函数在区间不单调，等价于
导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数
即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有
， 即：
整理得：，解得
20.（2009北京文）（本小题共14分）
设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.
解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ）,
∵曲线在点处与直线相切，
∴
（Ⅱ）∵,
当时，，函数在上单调递增，
此时函数没有极值点.
当时，由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
∴此时是的极大值点，是的极小值点.
21.（2009北京理）（本小题共13分）
设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.
解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查
综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ）,
曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）由，得，
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.
22.(2009山东卷文)（本小题满分12分）
已知函数,其中
（1）当满足什么条件时,取得极值?
（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.
解: (1)由已知得,令,得,
要取得极值,方程必须有解,
所以△,即, 此时方程的根为
,,
所以
当时,
x
(-∞,x1)
x 1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f’(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
当时,
x
(-∞,x2)
x 2
(x2,x1)
x1
(x1,+∞)
f’(x)
－
0
＋
0
－
f (x)
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
综上,当满足时, 取得极值.
(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.
即恒成立, 所以
设,,
令得或(舍去),
当时,,当时,单调增函数;
当时,单调减函数,
所以当时,取得最大,最大值为.
所以
当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为所以
综上,当时, ; 当时,
【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.
22.设函数，其中常数a>1
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。
解析 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。
解析 （I）
由知，当时，，故在区间是增函数；
当时，，故在区间是减函数；
当时，，故在区间是增函数。
综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。
（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。

由假设知
即 解得 1零点．
解析 （1）依题可设 ()，则；
又的图像与直线平行
， ，
设，则

当且仅当时，取得最小值，即取得最小值
当时， 解得
当时， 解得
（2）由()，得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，
若，，
函数有两个零点，即
；
若，，
函数有两个零点，即；
当时，方程有一解, ,
函数有一零点
综上，当时, 函数有一零点；
当()，或（）时，
函数有两个零点；
当时，函数有一零点.
24.（2009安徽卷理）（本小题满分12分
已知函数，讨论的单调性.
本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。
解析 的定义域是(0,+),
设,二次方程的判别式.
当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。
①当,即时，仅对有,对其余的都有
,此时在上也是增函数。
① 当，即时，
方程有两个不同的实根,,.

+
0
_
0
+

单调递增
极大
单调递减
极小
单调递增
此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.
25.（2009安徽卷文）（本小题满分14分）
已知函数，a＞0，
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设a=3，求在区间{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。
【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。
解析 (1)由于
令
①当,即时, 恒成立.
在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.
②当,即时
由得或
或或
又由得
综上①当时, 在上都是增函数.
②当时, 在上是减函数,
在上都是增函数.
(2)当时,由(1)知在上是减函数.
在上是增函数.
又
函数在上的值域为
26.（2009江西卷文）（本小题满分12分）
设函数．
（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．
解析 (1) ,
因为,, 即 恒成立,
所以 , 得，即的最大值为
(2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ;
所以 当时,取极大值 ;
当时,取极小值 ;
故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.
27.（2009江西卷理）（本小题满分12分）
设函数
(1)求函数的单调区间；
(1)若，求不等式的解集．
解析 (1), 由,得 .
因为 当时,； 当时,； 当时,；
所以的单调增区间是:； 单调减区间是: .
(2)由 ,
得：.
故：当 时, 解集是：；
当 时，解集是： ；
当 时, 解集是：.
28.（2009天津卷文）（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）当曲线处的切线斜率
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的
，恒成立，求m的取值范围。
答案 （1）1（2）在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
解析 解析 当
所以曲线处的切线斜率为1.
（2）解析 ，令，得到
因为
当x变化时，的变化情况如下表：

+
0
-
0
+

极小值

极大值

在和内减函数，在内增函数。
函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
（3）解析 由题设，
所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得
因为
若，而，不合题意
若则对任意的有
则又所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得
综上，m的取值范围是
【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。
30.(2009湖北卷理)(本小题满分14分) （注意：在试题卷上作答无效）
在R上定义运算（b、c为实常数）。记，，.令.
如果函数在处有极什,试确定b、c的值；
求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
记的最大值为.若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。
解 当得对称轴x=