1、梯度算子（Gradient Operator，∇）、Hamiltonian与偶极子
是 的梯度，是一位梯度 的一般形式。它与类似，但遵循矢量运算法则（如矢量的加，减，乘积）和操作符法则（如微商，微分）。梯度算子的基本属性如下：
1.
2.
3. （给出了 在 方向的变化速率）
4. （是 在 方向的变化速率，即，也叫方向微分）
从以上性质可以看到： 是一个矢量，它的模和方向给出了 的最大变化速率及最大梯度的方向。例如：
对于气压 ，如果我们做出等高线：
2、
从低压指向高压，而气压力 则由高压指向低压
的最后两个性质：
5. 指向更大的 值
6. 是一个常量，它与坐标轴位置和方向无关。在笛卡尔坐标系和圆柱坐标系的是相同的矢量，只是它们的分量不同。例如：
考虑气压 ，则
与的点积是拉普拉斯算子 ，在三维笛卡尔坐标系中拉普拉斯算子为：
在量子力学中，Hamiltonian是对映于系统总能量的算符，用 、 或表示。因为Hamiltonian与系统的时间演化相关，故Hamiltonian在量子理论中极其重要。
薛定谔哈密顿量：
对一个粒子，类似于经典力学，Hamiltonian表示为几个操作符的和，对应于系统的动能
3、与势能：
其中，是势能操作符， 是动能操作符，动量 是动量操作符， 是梯度算子， 是拉普拉斯算子。因此，波函数 描述的系统的薛定谔方程为：
对N个粒子组成的体系，薛定谔哈密顿算符为：
对于粒子间存在相互作用的多粒子体系，动能会存在交叉项
对于没有粒子间相互作用的多粒子体系，哈密顿算符的一般形式为：
薛定谔方程：
Hamiltonian产生量子态的时间演化，用 来描述t时刻系统的状态，则薛定谔方程为
对自由粒子，由于没有势能，所以Hamiltonian具有最简单的形式：
在一维情形下，
在三维情形下
4、
在势能为一常量的势阱中， ，Hamiltonian为：
在一维情形下，
在三维情形下，
静电场电势能（库伦势能）：
对两个点电荷q1,q2而言，它们的势能为，对N个点电荷组成的体系来说，由于每个电荷都与其他N-1个电荷作用，因此各个点电荷的势能为 。整个系统的电势能为 。系统的Hamiltonian为：
对电场 中的由点电荷q形成电偶极子 来说，势能为：
由于粒子处于静止状态，所以没有动能，故电偶极子的Hamiltonian为：
对静磁场 中的磁偶极子 来说，势能为 ，磁偶极子为静止状态，没有动能，因此磁偶极子的Hamil
5、tonian为
电偶极子是由两个点电荷组成的系统。
电偶极子的特征用电偶极矩 描述， 的方向由-q指向+q。电偶极子在外电场中受力矩作用而旋转，使其电偶极矩转向外电场方向；如果外电场不均匀，除受力矩外，电偶极子还要受到平移作用。电偶极局就是电偶极子在外电场下可能受到的最大力矩，故简称电矩。电偶极矩衡量正电荷与负电荷分布的分离状况，即电荷系统的整体极性。在距离远超于两个点电荷相隔距离之处，物理电偶极子所产生的电场可近似为其电偶极矩所产生的电场。令物理电偶极子的两个点电荷相隔距离 趋向于0，同时保持电偶极矩 不变，则极限就是点电偶极子，又称纯电偶极子。物理电偶极子产生的电场，其展开式的一
6、次项就是点电偶极子产生的电场。电偶极子仅在非均匀外电场中受非零合力，其所受合力为 。在外场中电偶极子还会受到力矩 ，可以看出 的量值就是电偶极子在单位外电场下可能受到的最大力矩。
对N个电偶极子，其电偶极矩分别为 ，i=1,1,…,n,则这些电偶极子的总电偶极矩为 由于每一个电偶极子都是电中性的，整个系统也是电中性的；对质子、电子一类的非中性系统，会出现电偶极矩与参考点有关的问题。对这些非中性系统，通常选择系统的质心为参考点，而非任意点。电量中心会造成电偶极矩等于零，而选择质心为参考点可以保证电偶极矩是系统的内内禀属性。
在电磁学中，磁偶极子是一圈封闭循环的电流，例如一个有恒定电流的线圈，
7、称为载流回路，磁偶极子的性质可用它的偶极矩描述。磁偶极子也能通过类似于点电荷的一对磁极描述。
根据右手法则，当四指指向电流方向时，磁偶极矩 的方向与大拇指指向一致。磁偶极矩的大小等于电流乘以线圈面积。除载流回路外，电子和许多基本粒子都拥有磁偶极矩。它们都会产生磁场，与一个非常小的载流回路产生的磁场完全相同。现在大多数科学观点认为这个磁偶极矩是电子的自然性质，而非载流回路产生。永久磁铁的磁偶极矩来自于电子内禀的磁偶极矩。根据当前结果，磁偶极子产生的机制只有两种：载流回路和量子力学自旋。科学家还未找到任何磁单极子存在的依据。科学家可以在电子和许多基本粒子的物理行为中，找到以量子力学的自旋形式
8、存在的磁偶极子。点磁偶极子所产生的磁场的形态与点电偶极子所产生的电场的形态完全相同。非常小的载流回路可以近似为点磁偶极子。物理磁偶极子 的磁偶极矩是 ，其中，I是运行于载流回路的电流， 是载流回路的面积矢量。假设磁偶极矩为 的磁偶极子，其位置在原点，则对任意位置 ，磁偶极子的矢势为 ，其中 是真空磁导率。
该磁偶极子所产生的磁场 为
将一个磁偶极子放在均匀磁场中，磁偶极子的两端会分别产生一个力，两个大小相等方向相反的力产生力矩 ：
力矩倾向于将偶极子的方向与矢量场的方向拍向同一方向，偶极子的位能为：
对电偶极子：
对磁偶极子：
在计算时，通常假设偶极子两端之间的距离是无穷小，即点偶极子
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