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函数连续的判别方法

姓名：吕双双 学号：200840510526 指导教师：张小小

摘要：本文通过具体实例,研究函数连续的判别方法,重点是一元函数和二元函数连续的方法总结.从函数在某点连续到函数在区间连续进行过渡.在判断一元函数连续性时,首先从基本的定义出发,判断函数是否连续,再由函数连续的等价定义对函数连续进行判别;当我们学习可微函数时,发现连续函数与可微函数之间的关系,利用这种关系判断函数的连续性.在研究多元函数连续性时,以二元函数为例,通过一元函数与二元函数连续性之间的差别与联系,进而总结多元函数连续的判断方法.
关键词：一元函数;二元函数;连续性;方法

Continuous Function Identification Method
Name: Lv Shuangshuang Student number:200840510526 Advisor: Zhang Xiaoxiao

Abstract: Through the concrete examples, this article studies the function of the continuous identification method, the point is the summary of continuous method of unary function and binary function. From the continuous function at some point to continuous function in the interval for transition. In judging unary function continuity, firstly we use the basic definition to judge whether the function is continuous, then study by the equivalent of continuous function definition continuous function discrimination; When we study the differentiable function ,we find the relationship between the continuous function and the differentiable function, and use this relationship to judge function continuity . In studying Multiple function continuity, the binary function as an example, through the difference the relation of continuity between unary function and binary function, we summary judgment method of continuous multiple function. Key words: unary function; binary function; continuity; method

函数的连续性的研究在函数论中占有着举足轻重的地位,连续性是自然界中广泛存在的一种性质,是研究函数其他性质的前提条件,它是描述变量之间最基本的连续关系的概念.从某种意义上来说,人们对一元函数的连续性问题已经有了相当深入的研究，除了函数连续的基本的定义，还可以用函数的几种等价定义来判断一元函数的连续性.但是在多元函数的连续性研究中，由于在二元函数中的过程比的过程更为复杂,这让我们掌握多元函数的连续性更加困难,多元函数的连续性除了定义我们尚不能找出其他行之有效的判别方法,正是因为极限过程的复杂性,我们能否利用单变量的连续性和多元函数连续性之间的关系来判断多元函数连续性,也将是本文研究的重点之一.
一 、一元函数的连续性的判别方法
(一)函数在一点的连续性
1 定义法
定义1.1[1]：设函数在某内有定义，若则称在点连续.
例1[5] 设函数,问函数在处是否为连续函数.
解：依据定义1.1只需证明,即求极限
.
令则当时，；再利用等价无穷小替代,可得
原式

,
因为，故,可知函数在处连续.
我们了解函数在某点连续与函数在某点左右连续之间存在某种连续，利用两者之间的联系我们得到以下定理.
定理1.1[3]：函数在点连续的充要条件是：在点既是右连续，又是左连续.
注：在应用定理1.1证明函数在某点连续时，绝大部分用于分段函数、的情况。
例 2 函数,试问在处是否连续.
解 分别对函数在处求左右极限
，
，
因为,由定理1.1知在处连续.
定义1.2[3] 设在点的某一邻域内有定义，若则称 在点处连续.
例3 在点是否连续.
解

,
因为.所以根据定义1.2则函数在点处连续.
类似地，同样我们也可以用“”语言来叙述函数在一点连续的等价定义，得到如下定义，此定义对我们研究函数连续的性质极其重要.
定义1.3[2] 若对任给的，存在，使得当时有
，
则称函数在点连续.
2 导函数法
在第五章中，我们学习了导数的思想，进一步的探讨中得出了函数可导与函数连续的关系.
定理1.2[3] 若函数在点可导，则函数在点连续.
例4 现在运用定义1.3和定理1.2证明函数的连续性.
证明 方法1 当时，,而当时，，故，对任给的，取即可，当时,不妨设，由于

,
（最后一个不等于是因为），所以取.则当时，有
，
因此在内连续.
方法2 对函数求导,
因为导函数在上有定义，由定理1.2知函数在上连续.
在以上判断函数连续性的方法中，我们应用定理1.2判断函数在一点是否连续将是最为方便，也是应用最多的一种方法.
(二)函数在某区间上的连续
定义1.4[1] 若在区间上每点处连续，则称在上连续（若包括端点则在端点的连续指单侧连续）.
在证明函数在某个区间内连续时，我们可以适用证明函数在一点连续性的方法来证明函数在区间上连续.在这里值得我们注意的是某些方法中，只需要将具体的一点改为任意一点.
例5 求证和在都连续.
证明 对，我们有

，

，
对于，取，于是当时，就有
，
，
按照定义1.3知和都在点处都连续，再由的任意性和定义1.4知和在都连续.
综上所述，我们知道掌握函数在一点连续的证明方法是证明函数连续的基础，只有学会熟练上述方法才是我们进一步了解函数的基础.
二、多元函数的连续性的判别方法
在以上叙述中简要地介绍了一元函数连续的判别方法,可以看出判别一元函数连续我们有很多选择，但是对于判别多元函数连续性方法时，除了定义法我们尚不能找出其他形式的有效的方法，而能否根据一元函数连续性判别方法和多元函数连续与一元函数连续之间的联系进而找出证明多元函数连续的其他方法.在研究多元函数连续性时,我们重点在研究二元函数，以二元函数为例，总结多元函数连续的证明方法.
（1）定义法
定义2.1[4] 设为定义在点集上的二元函数，（它或者是的聚点，或者是的孤立点）.对于任给的正数，总存在相应的正数，只要，就有
，
则称关于集合在点连续.
由一元函数在区间连续的定义可以推出二元函数在集合上连续的定义，即若在上的任何点都是连续的，则称为上的连续函数.
和一元函数一样，可以用增量形式来描述连续性，我们得出函数关于集合在点连续的等价定义.
定义2.2[4] 设为定义在点集上的二元函数，（它或者是的聚点，或是的孤立点）.设、，函数在点的全增量
,
若时，则称在点连续.
(2)导函数法[9]
在研究二元函数偏导数的连续性,函数可微性,可偏导性与函数连续性之间的联系和差别时,发现函数在某点可微则函数在此点一定连续,而函数在此点偏导数存在且连续则函数在该点必可微.
例6 设函数讨论在处的连续性.
解 方法1 ，
，
，
所以在处的连续性.
方法2 当时，，所以；同理当时，；
当时，有
；
当时，有
；
因为
，，
于是
，.
因为
，，
于是
，.
,
.
即，在点处连续，因此在点处可微. 即在点处连续.
（3）多元函数的连续与关于单变量连续的关系
定理2.3[7] 设在上分别对每一个自变量和是连续的，并且每当固定时对是单调的，证明是上的二元连续函数.
证明 ，由于关于连续，从而在连续，于是，，当，有
.
对于点及，由于关于连续，从而在连续，故对上述，当时，
，
.
令，则当，时，由于关于单调，所以有

,
但是

，
故，，当时，，有
.
因此在点出连续，由于的任意性可知，是上的二元函数[6].
三、小结
在以上证明函数连续的方法中，我们总结了证明函数连续的基本方法和常见的方法，这些对于以后我们在函数论中证明函数的连续性和掌握连续函数的性质，应用函数性解决函数问题、研究函数连续与函数可微性之间的关系、多元函数的连续与关于单变量连续的关系都有一定的帮助.

参考文献：
[1] 李成章，黄玉民.数学分析（上册）[M].北京：科学出版社，1999.5.
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[3] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001.
[4] 华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，2001.
[5] 同济大学应用数学系，武汉科技学院数理系.《微积分》学习指导书[M].北京：高等教育出版社，2001.7.
[6] 任亲谋.数学分析习题解析（下册）[M].陕西师范大学出版社.
[7] 方丽青，林洁萍，唐国吉.多元函数的连续与关于单变量连续的关系[J].广西民族大学学报，2009.12，第15卷第4期.
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[9] 张鸿，门艳红.讨论二元函数连续、偏导数存在及可微性间的关系[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2007.1第23卷第2期.
[10] 廖良文 许宁.吉米多维奇数学分析习题全解[M].合肥：安徽人民出版社，2005.

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