江苏省宿迁市宿豫区陆集初级中学中考数学-第25讲-圆的认识与圆的位置关系复习讲义-苏科版.doc

第25讲 圆的认识与圆的位置关系 知识点：一、圆 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。 由圆的意义可知： 圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。 就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。 圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。 能够重合的两个圆叫等圆。 同圆或等圆的半径相等。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。二、过三点的圆 过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心 定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。 经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。三、垂直于弦的直径 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。 推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。 推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。五、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。 推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。 推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。 六、圆的内接四边形 多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 七、直线和圆的位置关系 1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。 直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。 2、若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则： 直线和圆相交dr；直线和圆相切dr；直线和圆相离dr；直线和圆相交dr 例如：图62中，直线与圆O相割，有：rd 图63中，直线与圆O相切，rd 图64中，直线与圆O相离，rd八、切线的判定和性质 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（1.连半径，证垂直；2.作垂直，证半径） 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径（遇切线，连半径）推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 例如图65中，O为圆心，AC是切线，D为切点。 B90， 则有BC是切线， OD是半径， ODAC 九、三角形的内切圆 要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切 分角线上的点到角的两边距离相等。两条分角线的交点就是圆心。 这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。 和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。 十、切线长定理 经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，如图66 B、C为切点，O为圆心。 ABAC，12 十一、弦切角 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。 弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。 推理如果两个弦切角所央的弧相等，那么这两个弦切角也相等。例如图67，AB为切线，则有：CBAE，BAEDCD 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，如图68，若F为切点 则有：AF2=AHAC，AGABAF2 EMMD=BMMG CNNH=DNNE 十三、圆和圆的位置关系如图69 若连心线长为d，两圆的半径分别为R，r，则： 1、两圆外离d Rr； 2、两圆外切d = Rr； 3、两圆相交RrdRr（Rr） 4、两圆内切d = Rr；（Rr） 5、两圆内含dRr。（Rr） 定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。 如图610，O1，O2为圆心，则有：ABO1O2，且AB被O1O2平分 十四、两圆的公切线 和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线两旁时，叫内公切线，公切线上两个切点的距离叫公切线的长。 如图611，若 A、B、C、D为切点，则AB为内公切线长，CD为外公切线长 内外公切线中的重要直角三角形，如图612，OO1A为直角三角形。 d2=（Rr）2e2为外公切线长， 又如图 613， OO1C为直角三角形。 d2（R十r）2 e2为内公切线长。 十五、正多边形和圆 各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。 定理：把圆分成n（n3）等分： （l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形； （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。 定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。 正n边形的每个中心角等于 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。 十六、正多边形的有关计算 正n边形的每个内角都等于 定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。 十七、圆周长、弧长 1、圆周长C2R；2、弧长 十八、圆扇形，弓形的面积 l、圆面积：； 2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 在半径为R的圆中，圆心角为n的扇形面积S扇形的计算公式为： 注意：因为扇形的弧长。所以扇形的面积公式又可写为 （3）弓形的面积 由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。 弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。 十九、圆柱和圆锥的侧面展开图 1、圆柱的侧面展开图 圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形ABCD绕边AB旋转一周得到的图形是一个圆柱。（图6一16） AB叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段CD， CD，都叫圆柱的母线。 圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。 圆柱的两个底面是平行的。 圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图617，其中AB=高，AC=底面圆周长。 S侧面=2Rh 圆柱的轴截面是长方形一边长为h，一边长为2R R是圆柱底半径，h是圆柱的高。见图68（2）圆锥的侧面展开图 圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。 如图619，把RtOAS绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。 旋转轴SO叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。 连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA、SA、都叫圆锥的母线，母线长都相等。 圆锥的侧面展开图如图6一19是一个扇形SAB 半径是母线长，AB是2R。（底面的周长），所以圆锥侧面积为S侧面=RL4