高二复数的有关概念和复数的代数表示法及几何意义.doc

年 级
高二
学科
数学
内容标题
复数的有关概念和复数的代数表示法及几何意义
编稿老师
李小强
一、教学目标：
理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念.

二、教学重、难点
复数及其相关概念的理解，区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系是教学重点；复数及其相关概念的理解是教学难点.

三、知识要点分析：
（一）数系的扩充和复数的概念
1．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如的数叫做复数，并且把的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a叫做复数的实部，b叫复数的虚部．注意复数的虚部是而不是.
2．复数相等的充要条件
　且
　注意事项：
（1）复数
（2）复数集
（3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小.

（二）复数的几何意义
1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：
复数集与坐标系中的点集，可以建立一一对应的关系.
即复数集 坐标系中的点集
2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是１，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点对应复数0.
即：复数 复平面内的点.
3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：
即：复数平面向量．
在这些意义下，我们就可以把复数说成点z或向量，这给研究复数运算的几何意义带来了方便.
4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数的模为，复数的模也称为复数的绝对值.

【典型例题】
考点一：复数的概念及其代数形式的研究：
例1. 设z＝为实数时，实数a的值是（ ）
A. 3 B. －5 C. 3或－5 D. －3或5
解：复数a+bi为实数，则b=0，所以有意义
选A

例2．实数m取何值时，复数是
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数
解：
因为m∈R，所以z的实部为，虚部为.
（1）要使z为实数，则虚部为
所以m=5或m=－3时z为实数
（2）要使z为虚数，则
所以m≠5且m≠－3时z为虚数.
（3）要使z为纯虚数，则
所以m=－2时z为纯虚数.
说明：复数的虚部为0是复数为实数的充分必要条件，无论实部是什么；复数虚部不为0是复数为虚数的充分必要条件；复数的实部为0，虚部不为0是复数为纯虚数的充分必要条件，应注意两个条件都成立.复数a+bi（a,b为实数）中实部为a，虚部为b，虚部是一个实数.

考点二：复数坐标形式的研究：
例3．在复平面内，复数表示的点位于第二象限.试求实数a的取值范围.
解：根据复数的几何意义，复数表示的点就是P.
要使P位于第二象限，需使
所以时z表示的点P位于第二象限.

例4. 复数对应的点在虚轴上，求实数a的值.
解：复数对应的点在虚轴上，所以
解得:a=0或者a=2.
说明：原点既在实轴上也在虚轴上.所以虚轴上的点可以表示实数，虚轴上的点除了原点以外表示纯虚数.

考点三：复数向量形式的研究：
例5. 复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数是3－2i.如果点A关于原点的对称点为B，求出B对应的复数.
解：由于A，B关于原点对称，A对应的复数为3－2i，所以A的坐标为（3，－2）
所以B的坐标是（－3，2），所以B对应的复数为－3+2i.

考点四：复数的比较与相等：
例6. 若不等式，求实数m的值.
解：复数之所以可以比较大小是因为两个复数都是实数
所以要使不等式.
必须使
解得：m=3

考点五：复数的模的考查：
例7. 已知复数z满足z+|z|=2+8i，求z.
解：z为复数，|z|为非负实数.所以z+|z|=2+8i可以化为z=2－|z|+8i

本节涉及的思想方法：
1. 方程的思想方法.
2. 不等式的方法.
3. 一一对应的数学思想.

【模拟试题】（答题时间：90分钟）
一、选择题
1．复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个分别为那么第四
个顶点对应的复数是（ ）
A. B. C. D.
2．若复数（m2－3m－4）＋（m2－5m－6）是虚数，则实数m满足（ ）
A. m≠－1 B. m≠6 C. m≠－1或m≠6 D. m≠－1且m≠6
3．下列命题中，假命题是（ ）
A. 两个复数不可以比较大小 B. 两个实数可以比较大小
C. 两个虚数不可以比较大小 D. 一虚数和一实数不可以比较大小
4. 在复平面内，复数z=sin 2＋icos 2对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5. 已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

二、填空题
6. 复数不是纯虚数，则有_______.
7. 已知复数z与（z +2）2－8i均是纯虚数，则z = .

三、解答题
8. 已知复数z1，z2满足，且为纯虚数，求证：为实数.
9. 已知关于实数的方程组有实数根，求实数的值.
10. 已知a为实数，问复数对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？
11. 若复数z满足|z|2－3|z|+2≤0，复数μ=3+4i，复数z， μ在复平面内对应的点分别是P，Q.则|PQ|的最大值是多少？
12. 已知复数z1=2cosα+1+（4sinβcosβ）i（α，β为锐角），，若，求α+β.

【试题答案】
一、选择题
1. C 解析：三个复数对应的三个点分别为A（1，2），B（－2，1），C（－1，－2），若D点使ABCD为正方形，则AC和BD的中点为同一个点，所以D（2，－1）对应的复数为2－i
2. D 解析：（m2－3m－4）＋（m2－5m－6）是虚数，则m2－5m－6≠0，所以m≠－1且m≠6
3. A 解析：两个复数都是实数时两个复数可以比较大小
4. D 解析：sin2＞0，cos2＜0，所以z=sin 2＋icos 2对应的点位于第四象限.
5. C 解析：

二、填空题
6. 解析：复数不是纯虚数，则，所以a≠0且a≠2
7. 解析：设z=bi，则（z+2）2－8i=（bi+2）2－8i=4－b2+（4b－8）i也是纯虚数，
所以4－b2=0且4b－8≠0，所以b=－2，即z=－2i

三、解答题：
8. 证明：由题意可知（k为实数），则
代入
得
化简得：

9. 解：a、b、x、y为实数
则
10. 解：设z=x+yi，由
得：z的实部为正数，虚部为负数，所以表示z的点在第四象限内.

所以复数z对应的点的轨迹是一条射线，其方程是y=2－x（x≥3）
11. 解：依题意：1≤|z|≤2.点P在以原点为圆心，半径为1和2的两圆围成的圆环上，μ=3+4i对应的点Q的坐标是（3，4），|μ|=5，所以|PQ|的最大值是5+2=7.

12. 解：因为，所以
由α，β为锐角，所以，
所以.

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