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线性代数六讲
编者：赖宝锋

这里，我们选取了考研线性代数经常出现的一些题型，结合历年真题以及一些典型例题，进行深入的讲解。
第一讲 行列式的计算
行列式的计算，要充分地运用到行列式的性质以及各类求解行列式的方法，各种有用的公式来进行。这里要进行详细的总结。
1.行列式的基本性质
行列式的基本性质，归结起来是如下5条，1条转置性，1条可加性，3条初等变换性质。
① 经转置以后行列式的值保持不变。
② 两行/列互换，行列式变为相反数。
③ 某行/列有公因数，可以把提到行列式之外。
④ 某行/列的倍加到另一行/列上，行列式值不变。
⑤ 某行/列的所有元素都可以写成两个数的和，则该行列式可以写成两个行列式的和。
简单的推论：
① 行列式若有两行或两列成比例(一个特例是相等)，则该行列式为零。
② 。
2.行列式的按行/列展开

顺便的，任一元素余子式与元素所在行、列的元素均无关，因此导出了有用的替换法则：
,
也就是说，求任意行/列的代数余子式的加权和，只要将其加权系数替换相应的行/列，即可。
，，按照上面的方法，问题也得到了解决。
进一步，由上面所说的替换法则，有如下的重要事实
，
更进一步，因此，有了

3.拉普拉斯展开
按行/列展开其实是拉普拉斯展开的一个特例，一般情况下，它是很复杂的，但有时对于解决某些问题很有帮助。这里，要简单叙述一下。
① 行列式的子式与余子式
任取行列式的第行和第列，则其交叉点元素按原来的相对顺序组成的行列式称为原行列式的一个阶子式。显然，行列式任何一个元素都是一个一阶子式。划去这个阶子式所在行与列的所有元素后剩余的元素按原来的相对顺序组成的行列式称为这个子式的余子式。
例如：，为其一个二阶子式，而6为其余子式。
② 拉普拉斯展开定理
，为取自第行的阶子式，为其相应的余子式，为所在的列。
，为取自第行的阶子式，为其相应的余子式，为所在的行。
显然，按行/列展开其实是拉普拉斯展开的一个特例。
例如：。
用拉普拉斯展开可以简捷明了地说明如下事实：
① ,
② ，，其中，为阶矩阵，为阶矩阵。
4.行列式计算的基本方法总结
① 用逆序法定义
理论分析的时候较为有用，运算量太大，太过于复杂，因此一般不用于计算。如果要用来计算，需要零比较多的时候合适。例如我们用逆序法定义可以导出三角形的行列式的值。
逆序法定义指出，行列式是其元素的连续函数，这一点很重要。
② 初等变换法
利用行列式的初等变换性质进行变换。但注意，只有第三个性质，才能保持行列式的值不变。
③ 按行/列展开法
计算行列式的基本方法。计算的时候选择零较多的行或列进行展开方便。一般地，要与初等变换一起用。
④ 拉普拉斯展开
一般来说是很麻烦的，只在一些特殊情况下好用。
⑤ 递归法
一般用于有自相似结果的行列式，导出递归方程，而后求解递归方程而得到行列式值。范德蒙行列式的求解就是一个经典的例子。此法的关键在于寻找自相似结构和导出递归方程。
⑥ 特征值法
依据是矩阵的行列式为其特征值的乘积，一般用于抽象行列式。
5. 行列式的一些重要公式
① ，
以及二者的一个特例：
上三角，下三角，对角行列式等于其主对角元的乘积。
② ，
以及二者的一个特例：
③ ，
以及二者的一个特例：
④ ，其中，为阶矩阵，为阶矩阵。
，其中，为阶矩阵，为阶矩阵。
以及二者的一个特例：
，其中，为阶矩阵，为阶矩阵。
⑤
⑥ ，
⑦ 相似的矩阵行列式相同
6.一些特殊的行列式求法
① 范德蒙行列式

共有项。
例1.计算。
【详解】

② 行/列和相等型的行列式
当行列式每一行的元素之和相等时，计算时将各行全部加到第一列，从第一列中提取公因式，然后，各行都减去第一行就可以降阶。
显然，如果各行之和均为零，则该行列式必然为零。
列和相等型的行列式也有类似的做法。(或转置下，成行和相等型)
例1.求。
【解答】

③ 爪型行列式的计算
求 。
【详解】
(1) 若均非零。

(2) 对于有零的情形，我们可以由行列式对元素的连续性，取非零数列，使得，则

特别地，如果，则。因此，如果中至少有两个为零，则行列式必然为零。
例1.求行列式。
【详解】

④ 三对角行列式的计算
如下行列式称为三对角行列式

以下讲解求之的办法。
令，则

这就导出了一个二阶线性齐次差分方程。二阶线性齐次差分方程的一般形式是：

其解法与二阶线性齐次微分方程极为类似。
① 写出递归递归方程的特征方程，求出两根。
② 若，则通项为；若，则通项为。
③ 根据初始条件决定未知参数。
关于二阶线性齐次差分方程的了解，请参加附录1。
例1.设是阶矩阵，证明：。
【详解】
记，则，其特征方程为，其两根为，因此，。
，，若，则。若，

这样，，。的情形显然也满足这个公式，因此，。(其实，由连续性，这是必然的)
另一种证明方法是数学归纳法，这里不赘述。区别在于前法是不知结论时导出结论，后法是已知结论时证明结论。
⑤ 自相似的行列式
这是个很大的类。范德蒙行列式经过变换，有自相似结构。前面诸多例子，其实也多有自相似结构。求解它的办法就是根据自相似结构建立递归方程，而后求解递归方程。
例1.求解行列式。
【详解】
由此，以及行列式对元素的连续性，

例2.求解行列式。
【详解】

特别地，

以下列举一些历年考研数学行列式真题，请大家解答，并结束这一讲。
1.(2004) 设矩阵与等价，则必有( )
(A) 当时， (B) 当时,
(C) 当时， (D) 当时，
2.(2005) 设矩阵满足，其中是的伴随矩阵，为的转置矩阵。若为三个相等的正数，则为( )
(A) . (B) 3. (C) . (D) .
3. (2006) 设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则

4.(2008) 设3阶矩阵的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则
__________
5.(2008) 设矩阵，现矩阵满足方程，其中
，，
(1) 求证；
2) 为何值，方程组有唯一解，并求；
(3) 为何值，方程组有无穷多解，并求其通解。
6. (2010) 设，为3阶矩阵，且，则_____
7.(2012)设为3阶矩阵，，为的伴随矩阵，若交换的第一行与第二行得到矩阵，则_________________________
8.(2012) 设，。
(1) 求。
(2) 已知线性方程组有无穷多解，求，并求的通解。
第二讲 关于可逆矩阵与伴随矩阵
本讲将详细回顾可逆矩阵和伴随矩阵的一些定义与性质，并结合一些例子进行讲解。
1.可逆的定义
设为一个阶矩阵，如果存在一个阶矩阵，使得,则称可逆，为的一个逆矩阵。
定义中我们要求有能同时成立。但事实上，后面将看到只要或，即是的逆矩阵。
2.逆矩阵的性质
① 唯一性
如果矩阵可逆，则的逆矩阵是唯一的。
② 消去率
若可逆，，则。(同时左乘即可)
若可逆，，则。(同时右乘即可)
③ 一些简单性质
假设以下出现的矩阵都可逆。

另外，逆矩阵的特征值为原矩阵特征值的倒数，重数和特征向量保持不变。
3.矩阵可逆的充分必要条件
矩阵可逆式一个非常重要的概念，贯穿了线性代数的全部章节。以下给出其可逆的全部充分必要条件。
矩阵可逆
。且若，则。(这由著名恒等式得到)
可表示为一系列初等矩阵的乘积
的列向量线性无关
的行向量线性无关
线性方程组只有零解
对任意维向量，均有唯一解
对任意维向量，均可由的列向量线性表示

没有零特征值
为正定矩阵
为正定矩阵
这里有一条很有用的性质：设，则。
事实上，由，，，可逆，因此，，
。
这个性质的有用在于给逆矩阵的定义只要或者，即可。
4. 关于伴随矩阵
一个()阶矩阵的伴随矩阵为，其行列元素为，之所以这样假设，源于因此有了著名的恒等式：。事实上，
的行列元素为，的行列元素为
。这样，。
以下是伴随矩阵的一些重要性质。
① 伴随矩阵的行列式

如果可逆，则，，。
如果不可逆，可选一个可逆矩阵列，使其以为极限(这个的意思是的元素相应收敛于对应的元素。这是可以办到的，例如：，为适当选取的多项式。)根据行列式为其元素的连续函数这一事实，的代数余子式也是元素的连续函数，从而也是其元素的连续函数。这样，。
这种思想还得多加理解。
这也说明了一个事实：可逆当且仅当可逆。
② 矩阵数乘的伴随

直接根据定义和行列式性质，即有。
③ 伴随矩阵的伴随矩阵

先假设可逆，则也可逆，

对于不可逆的矩阵，仍然选取一个可逆矩阵列，使得。的元素是元素的连续函数，的元素是元素的连续函数，因此，是的元素的连续函数。这样，。
特别地，当时，。事实上，，
。
④ 矩阵之积的伴随矩阵

先假设可逆，则

对于有不可逆的情形，取可逆矩阵列,,使得,
。的元素为元素的连续函数，为与的元素的连续函数。因此，。
⑤ 矩阵伴随运算和转置运算可交换

矩阵行列的元素为，由于转置不改变行列式，取代数余子式，仍为
行列元素为，因此，行列元素为。这样，。
也可以如此说明：若可逆，则。若不可逆，同上法，用可逆矩阵列进行逼近而得。
⑥ 伴随的逆和逆的伴随

事实上，设可逆，则
，
⑦ 伴随矩阵的秩

事实上，可逆当且仅当可逆，因此，若，则。
若，则不可逆，但至少有一个非零的阶子式，也就至少有一个非零的阶代数余子式，即。另一方面，由于，因此，，即。因此，。
若，则的全部阶子式均为零，也就是全部阶代数余子式均为零，这样，，。
这样，。若，则。若，则
。
5.关于矩阵的逆和矩阵方程
矩阵求逆的方法主要是三种：
① 伴随矩阵法
用于阶数不高的矩阵。特别地，。
伴随矩阵的方法可以简洁明了地给出克莱姆法则：
，因此，，，。是把的第列换成所得到的行列式。
② 初等变换法
一般用于数值型的矩阵。对进行初等行变换或进行初等列变换。
这样的方法也适合于求解矩阵方程：和。前者对进行初等行变换，后者对进行初等列变换。
③ 定义法
凑出或，一般用于抽象型的矩阵。例如：若，则
，，因此，
，。
以下给出一些考研数学历年关于逆矩阵和伴随矩阵方面的真题，并结束本讲。
1.(2003) 设三阶矩阵，若的伴随矩阵的秩为1，则必有( )
(A) 或 (B) 或
(C) 且 (D) 且
2. (2009) 设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分
块矩阵的伴随矩阵为
(A) (B)
(C) (D)
3．(2011) 设为3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第一行得单位矩阵。记，，则( )
(A) (B)
(C) (D)

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