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匀速圆周运动学案
（一）描述圆周运动的物理量
1. 线速度v（1）方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧在该点的切线方向。
（2）大小：v = s/t。（s是t时间内通过的弧长）【说明】线速度就是物体做圆周运动的即时速度，描述质点沿圆周运动的快慢。
2. 角速度co
（1）大小：co = yrad/s , （p是连接质点和圆心的半径在t时间内转过的角度。
（2）角速度描述质点绕圆心转动的快慢。
3. 周期T,频率f
做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。
做圆周运动的物体单位时间内绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速。
实际生活中所说的转数是指做匀速圆周运动的物体每分钟转过的圈数，用n表示。
T =—，
f
【说明】
5.向心加速度
（1）
T、f的关系
（o = — = 2nf , v == 2nrf = rco
TT
f、co三个量中任一个确定，其余两个也随之确定，但V还与半径r有关。
T、
4. v、 co、(2)

(2)
(3)
物理意义：描述线速度方向改变的快慢。 大小：a = —= rco2方向：总是指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻发生变化
（二）匀速圆周运动
1. 定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间里通过的圆弧长度相等，就是匀速圆周运动。
2. 运动学特征：线速度大小不变，周期不变，角速度不变，向心加速度大小不变，但方向 时刻改变，故匀速圆周运动是变加速运动。
（三）圆周运动的向心力
1. 向心力(1)

(1)
(2)
(3)
V?4冗2大小：F=ma = m——=mrco2 =mvco = mr— = mr4K2f2 rT2
作用效果：产生向心加速度，以不断改变物体的速度方向来维持物体的圆周运动。 向心力来源：向心力是根据效果命名的力，它可以由一个力提供，也可以由几个力 的合力提供，它实际上就是物体沿半径方向受到的合外力。
2. 圆周运动的向心力特点
（1）匀速圆周运动：合外力就等于向心力，产生向心加速度，改变速度的方向： F合=甲=血向°
（2）变速圆周运动合外力并不（始终）指向圆心。
沿半径方向（或沿法线方向）的合外力等于向心力，产生向心加速度，改变速度的方向, Fa=F^=ma向，沿切线方向的合外力，产生切向加速度，改变速度的大小，Fw=ma【典型例题】
1. 匀速圆周运动的解题方法
处理圆周运动的动力学问题时，首先确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便
确定向心力的方向；然后分析向心力的来源；最后利用牛顿第二定律列出 方程，其中，向心力的确定是解决问题的关键。
例1.如图所示，在半径为R的转盘的边缘固定有一竖直杆，在杆的上 端点用长为L的细线悬挂一小球，当转盘旋转稳定后，细绳与竖直方向的 夹角为0,则小球转动周期为多大？

解析：小球随圆盘一起旋转，所以小球与圆盘的角速度相同，小球做圆周运动的向心力
垂直指向杆，向心力由重力和绳子拉力的合力提供。
小球在水平面内做匀速圆周运动的半径:
r = R + Lsin0 ①
重力G和绳拉力F的合力提供向心力，4兀2
由牛顿第二定律得：Fsin0 = mr—^(2)T2
联立①②③解得：T = 2ti
R + Lsin 0
g tan0
答案：T = 2兀
R + Lsin 0
g tan0
竖直方向：Feos 0-mg =0@

2. 竖直平面内圆周运动分析
在一定束缚条件下竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的 情况，并且经常出现临界问题。
(1)如图所示，用绳子拴住或紧贴圆弧内侧轨道的小球，在竖直平面 内做圆周运动过最高点的情况
① 临界条件：小球到达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好等于 零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力。
2
日门v临界
即 mg = mor
上式中的v临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫做临界速度，v临界=插。
② 能过最高点的条件：V > V临界
③ 不能过最高点的条件：VVV临界(实际上球还没有到最高点就脱离了轨道)。
(2)如图所示，用杆或圆形管道束缚住的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况
① 临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高 点的临界速度v临界=0。
② 如图(a)所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力的情况:
当v = 0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力Fn，其大小等于⑴(功 小球的重力，即Fn =mg o
当0 FN>0
当v =眼时，FN = 0 o
当v>7rg时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大
③ 如图(b)所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况:
当v = 0时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力Fn，其大小等于小球的重力，即 Fn = mg。
当。FN >0o
当 v = yfrg 时，Fn = 0。
当v > y/rg时，管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大。
说明：圆周运动中的临界问题的分析与求解方法，不只是竖直平面内的圆周运动中存在 临界问题，其他许多问题中也有临界问题，对这类问题的求解一般都是先假设某量达到最大、 最小的临界情况，从而建立方程求解。
例2.如图所示，轻杆长Im,其两端各连接质量为1kg的小球，杆可绕距B端0.2m处的轴0在竖直平面内自由转动，轻杆由水平从静止转至竖直方向，A球在 "， 最 低点时的速度为4m/s, g取10m/s2,求：7
(1) A小球此时对杆的作用力大小及方向。b ~aB小球此时对杆的作用力大小及方向。:/
解析：在最低点时杆对球一定是拉力，在最高点杆对球可能是拉力,也可能是支持力，由具体情况决定：”
2(1)在最低点时A球受力分析如图甲所示，由牛顿第二定律得：F-mg = m电①
R
代入数据解得：F=30N②
mg 甲
由牛顿第三定律可知球对杆的拉力F，二30N,方向向下。 (2)同一根杆上转动的角速度相等,设OB' =r=0. 2m0 H = ③R r
对B受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律得：
一 mvR
mg - FB =—-④
联立③④代入数据解得：Fb=5N,
由牛顿第三定律可知B球对杆的压力Fb' = 5N,方向向下。
答案:(1) 30N,方向向下(2) 5N方向向下
例3.如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置两个用 线相连的质量均为m的小物体A、B,它们到转轴的距离分别为 rA = 20cm , rB = 30cm , A、B与盘面间最大静摩擦力均为重力的0. 4 倍，试求：
(1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度co。。
(2) 当A开始滑动时，圆盘的角速度co。
(3) 当A即将滑动时,烧断细线，A、B运动状态如何? (g取10m/s2)
解析：最初圆盘转动角速度较小，A、B随圆盘做圆周运动所需向心力较小，可由A、B与 盘面间静摩擦力提供。由于rB >rA ,由公式F=mco2r可知，B所需向心力较大；当B与盘面间静摩擦力达到最大值时(此时A与盘面间静摩擦力还没有达到最大)，若继续增大转速，则 B将做离心运动，而拉紧细线，使细线上出现张力，转速越大，细线上张力越大，使得A与盘 面间静摩擦力增大，当A与盘面间静摩擦力也达到最大时，A将开始滑动。
(1)对 B： kmg = mco02rB ①
代入数据得：co0 = 3.65rad / s。
o
（2）分析A开始滑动时A、B受力情况如图所示，根据牛顿第二定律有:
对 A： Ffm - Ft = mco2rA ② 对 B： Ffm + 再=mco2rB ③ 其中「血=kmg(4) 联立②③④解得：
co = 4rad/s。
（3）烧断细线，丹消失，A与盘面间静摩擦力足以提供向心力而使A继续随圆盘做圆周 运动，而B由于F『m不足以提供向心力而做离心运动。
答案：（1） 3.65rad/s （2） 4rad/s （3） A继续做圆周运动，B做离心运动。
一点通：（1）单独一个物体随转盘转动时，其向心力完全由静摩擦力提供；当物体刚好 不发生相对滑动时，静摩擦力达到最大值。
（2）本题中A、B间若没有细绳连接，则当转速增大到B可开始滑动时，A并不滑动，这 时A、B间距离增大，故若A、B间有绳连接，当B即将滑动（Ff达到％）时绳才有张力， 且之后直到A即将滑动前，B所受的摩擦力都为最大静摩擦力。
例4.在质量为M的电动机上，装有质量为m的偏心轮，偏心轮转动的角速度为co,当偏心 轮重心在转轴正上方时，电动机对地面的压力刚好为零；则偏心轮重心离转轴的距离多大？ 在转动过程中，电动机对地面的最大压力多大？
解析：设偏心轮的重心距转轴r,偏心轮等效为用一长为r的细 杆固定质量为m （轮的质量）的质点，绕转轴转动，如图所示，轮的 重心在正上方时，电动机对地面的压力刚好为零，则此时偏心轮对电 动机向上的作用力大小等于电动机的重力，艮L
F = Mg ①
根据牛顿第三定律，此时轴对偏心轮的作用力向下，大小为F = Mg,其向心力为:
F+ mg = mco2r(D
由①②得偏心轮重心到转轴的距离为：
r =（M + m）g /（mco2 幅
当偏心轮的重心转到最低点时，电动机对地面的压力最大。
对偏心轮有：F - mg = mco2r④
对电动机，设它所受支持力为Fn，则Fn =F + Mg⑤
由③、④、⑤解得Fn =2（M + m）go
由牛顿第三定律得，电动机对地面的最大压力为2（M + m）g。
答案：偏心轮重心到转轴距离为（M + m）g ；在转动过程中，电动机对地面的最大压力为mco~
2（M + m）g
一点通：本题中电动机和偏心轮组成为一个系统，电动机对地面刚好无压力，是偏心轮 运动的结果，因而把它们隔离开来进行研究思路比较清晰：先以电动机为研究对象，再以偏 心轮为研究对象，分别列方程，再利用牛顿第二定律把它们联系起来即可求解；另外还要找 出最周点和最低点这两个临界状态。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1. 如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动 时和水平冰面的夹角约为30。，重力加速度为g,估算该女运动员
A. 受到的拉力为应1B.受到的拉力为2G
C.向心加速度为D.向心加速度为2g
A.
2. 如图所示，半径为r的圆形转筒，绕其竖直中心轴00'转动，小物块a靠 在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为现要使小物块不下落，圆筒转 动的角速度co至少为
D.
3. 如图所示，一小物块在开口向上的半圆形曲面内以某一速率开始 下滑，曲面内各处动摩擦因数不同，此摩擦作用使物块下滑时速率保持 不变，则下列说法正确的是
A.因物块速率保持不变，故加速度为零
B. 物块所受合外力大小不变，方向在变
C. 在滑到最低点以前，物块对曲面的压力越来越大
D. 在滑到最低点以前，物块受到的摩擦力越来越小
4. 滑板是现在非常流行的一种运动，如图所示，一滑板运动员以17m/s的初速度从曲面的A点下滑，运动到B点速度仍为7m/s,若 \）他
以6m/s的初速度仍由A点下滑，则他运动到B点时的速度、―字
A.大于6m/sB.等于6m/s
C.小于6m/sD.条件不足，无法计算
5. 旋转秋千是一组悬挂在中心大转轮上且绳长约为7m的秋千，如图所示, 当转轮不转动时，秋千沿竖直方向静止，当转轮开始旋转时，秋千开始偏离 竖直方向，坐在秋千里的乘客在转椅作用下做圆周运动，当转轮的转速高到 一定程度，秋千几乎能够到达水平方向。设秋千与水平方向的夹角为0,转 轮的转速为co,转椅转动半径为R,则0和co之间的关系为
A. co2 ———B. co2 =—-—C. co2R = gD.
RcotcoR tan0co2g = R tan 0
6. 如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L=l. 0m的细绳悬于以v = 10m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原 因，小车突然停止，此时悬线的拉力之比Fb：Fa为
A. 1： 2 B. 1： 4
C. 1： 6 D. 1： 11
7. 如图所示,在倾角为a = 30。的光滑斜面上，有一根长为L = 0.8m的 细绳，一端固定在。点，另一端系一质量为m = 0.2kg的小球，沿斜面 做圆周运动，试计算：
（1）小球通过最高点A的最小速度;
2）若细绳的抗拉力为％ax=10N,小球在最低点B的最大速度是多少？
8. 如图所示，光滑杆上套有质量为m的小球，杆绕竖直方向的0Z轴做角 速度为co的锥形转动，小球恰与杆保持相对静止，若其他条件不变，当杆 的角速度增加时，小球将如何运动？
M
9. 如图所示，支架质量M,放在水平地面上，转轴0处用长1的细绳悬 挂一质量为m的小球，求：
(1) 小球从水平位置释放后，当它运动到最低点时地面对支架的支持力多大？
(2) 若小球在竖直平面内摆动到最高点时，支架恰对地面无压力，则小球在最高点的速 度是多大？
10. 如图(甲)所示为矿井提升机示意图，绞筒的半径r = O.5m,图(乙)为料斗工作 时的v-1图象，料斗速度的最大值为Vm=4m/s,试求：t等于2s, 8s, 14s等时刻，绞筒边 缘上N点加速度的大小。

【试题答案】
1. BC 2. C 3. BCD 4. A
7. (1) 2m/s (2) 6m/s
8. 小球会沿杆上滑，直至被甩出杆为止。

10. 8.06m/s , 32m/s~, 8.06m/s