北京市高三数学一轮复习单元训练-空间几何体.doc

北京邮电大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：空间几何体
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于( )
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】A
2．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为( )
A．6 B． 2 C． D．
【答案】D
3．已知空间直角坐标系中且，则B点坐标为( )
A．（9,1,4） B．（9,－1，－4）
C．（8,－1，－4） D．（8,1,4）
【答案】A
4．如图，平面平面，与两平面所成的角分别为和，线段在上的射影为 ，若，则( )

A． B． C． D．
【答案】B
5．在正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,过作与分别交于和的截面，则截面的周长的最小值是( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
6．向量=(－2,－3,1), =(2,0,4),=(－4,－6,2),下列结论正确的是( )
A． ∥, ⊥ B． ∥, ⊥
C． ∥,⊥ D． 以上都不对
【答案】C
7．已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于( )
A． 2 B． 3 C． 4 D．
【答案】C
8．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( )
A．75° B．60° C．45° D．30°
【答案】C
9．在正四面体ABCD的面上，到棱AB以及C、D两点的距离都相等的点共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
10．如图，平面四边形中，，，将其沿对角线 折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )

A． B． C． D．
【答案】A
11．湖面上漂着一球，湖结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为，深为的空穴，则该球的表面积为( )
A． B． C. D．
【答案】D
12．下列命题中正确的是( )
A．若a∥a，a⊥b，则a⊥b B．a⊥b，b⊥g，则a⊥g
C．a⊥a，a⊥b，则a∥b D．a∥b，aÌa则a∥b
【答案】D
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．在空间直角坐标系中, 点P的坐标为(1, ),过点P作yOz平面的垂线PQ, 则垂足Q的坐标是
【答案】(0, )
14．设圆锥的母线长为l,底面半径为r,满足条件“它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的”的情况有且只有一种,则 ．
【答案】
15．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 .

【答案】
16．将圆心角为，面积为的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的体积为
【答案】
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．如图,直角梯形ABCD中,,AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的．梯形ABCD所在平面外有一点P,满足PA⊥平面ABCD,．

(1）求证:平面PCD⊥平面；
(2）侧棱上是否存在点E,使得平面PCD? 若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由．
(3）求二面角的余弦值．
【答案】设,

，
(1）
，
令
同理，可求得平面PAC的一个法向量
，∴平面PCD⊥平面
(2） 假设存在满足条件的点，使则可设点，
由（1）知，

(3） 由（1）知
设二面角A-PD-C的平面角为，则
18．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E=λEO
(1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成的角的余弦值；
(2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值。

【答案】 (1)不妨设正方体的棱长为1，以
为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
则A (1，0，0)，，，D1(0，0，1)，E，
于是，.
由cos＝＝.
所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为.
(2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0
得 取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1) .
由D1E＝λEO，则E，=.
又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0.
得 取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ) .
因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得λ＝2．
19．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．

(1）求证：AD⊥平面BC C1 B1；
(2）设E是B1C1上的一点，当的值为多少时，
A1E∥平面ADC1？请给出证明．
【答案】(1）在正三棱柱中，C C1⊥平面ABC，AD平面ABC，
∴ AD⊥C C1．
又AD⊥C1D，C C1交C1D于C1，且C C1和C1D都在面BC C1 B1内，
∴ AD⊥面BC C1 B1．
(2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．
当，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1．
事实上，正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BC C1 B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，所以B1B∥DE，B1B= DE．
又B1B∥AA1，且B1B=AA1，
∴DE∥AA1，且DE=AA1．
所以四边形ADE A1为平行四边形，所以E A1∥AD．
而E A1面AD C1内，故A1E∥平面AD C1．
20．如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。
求证：（1）平面；
(2）平面平面。

【答案】∥,
∥

21．如图，为空间四点．在中，．等边三角形以为轴运动．

(Ⅰ）当平面平面时，求；
(Ⅱ）当转动时，是否总有？证明你的结论．
【答案】（Ⅰ）取的中点，连结，

因为是等边三角形，所以．
当平面平面时，
因为平面平面，
所以平面，可知
由已知可得，
在中，．
(Ⅱ）当以为轴转动时，总有．
证明如下：
①当在平面内时，因为，
所以都在线段的垂直平分线上，即．
②当不在平面内时，由（Ⅰ）知．
又因，所以．
又为相交直线，所以平面，
由平面，得．
综上所述，总有．
22．如图所示，已知M、N分别是AC、AD的中点，BCCD．

(I）求证：MN∥平面BCD；
(II）求证：平面B CD平面ABC；
(III）若AB＝1，BC＝，求直线AC与平面BCD所成的角．
【答案】 (1）因为分别是的中点，所以．
又平面且平面，所以平面．
(2)因为平面, 平面，所以．
又，所以平面．
又平面，所以平面平面．
(3)因为平面，所以为直线与平面所成的角．
在直角中，，所以．所以．
故直线与平面所成的角为．

- 7 -