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高三数学总复习中提高能力的几个方面

---湖北宜城二中吴志涛（13995767421;jnm01@）

一般说来, 高三年级结束新课后总有一段较长的复习时间。在这段时间中, 教师一方面为学生系统地梳理已学过的知识, 另一方面尽可能地提高学生的能力, 特别是解决数学问题的能力。在我看来, 对知识进行整理、归纳, 使之秩序井然地储存于记忆之中固然重要, 但更重要的是, 如何利用这段有限时间最大限度地提高学生的能力, 却是摆在我们教师面前的首要问题。
能力首先要以知识作基础, 知识面广而且掌握得深入透彻是增长能力的基本条件。高三学生在学完高中数学基本内容后, 应该说他们已掌握了必要的知识, 但由于个体的差异, 每个学生在吸取、理解、消化知识以及转化成自己的能力的诸方面有很大差别; 其次, 能力的高低特别是思维能力与每个同学的素质有很大关系。例如二次函数, 学生从初中三年级起就已接触到并延续到高中, 对其图象, 开口方向, 对称轴方程, 单调性等性质, 大多数学生倒背如流, 然而一遇到综合程度稍高一点的问题, 有的学生就会手足无措, 不知从何下手。所以学生在接受知识后, 自身应有一个融化发展提高思维能力的过程; 最后, 虽然能力与自身素质有关, 但教师可以通过训练促进其发展。
我们认为, 通过复习可以让学生在如下几方面的能力得到提高。

第一, 知识系统化。系统地认识和把握中学阶段所学过的数学知识的能力。知识的内容是一个有机的结构整体, 这不是靠死记硬背章节目录, 而是经过自己消化、理解, 领会精神实质以后, 才会融汇到自己的认知结构中的。过去的学习都是分科别目, 一章一节地进行, 虽然每章后面有小结, 期未考试时总有小范围的复习, 但学生的印象并不完整。例如函数是代数的重要内容, 也是进一步学习高等数学的基础, 但在教材中是分散到几处进行教学的。因此复习时就应该联起来串成一体。我们可以按如下顺序层次展开, 逐渐深入: ⑴ 函数定义的深化( 从初中到高中) 将函数建立在集合论的基础上, 使其基础更扎实, 适用范围更广。⑵由六种基本初等函数复合而构成我们中学阶段所常见的大量的初等函数, 由这些函数的图象和性质过渡到对函数一般性质的研究和处理。⑶能从定义、图象和解析式去讨论函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性。特别要求同学们要深刻理解定义域和值域, 明确定义域是函数不可分割的整体。⑷对反函数的存在性, 如何求反函数以及反函数的定义域和值域等也要联系具体函数深刻理解。进而还能找出简单复合函数的拐点, 讨论这类函数的单调性问题。所以, 函数的内容应从初三的函数, 高一的集合、对应、幂、指、对函数、三角函数, 高二的反函数, 简单的复合函数串起来讲, 要注意他们的共同点又要掌握各自的特性。在教学中, 要适时引导学生总结、归纳, 这比单纯由教师讲一遍要好得多。
第二, 融汇贯通数学概念。概念是思维的基石, 许多同学解题失败或解答不完全往往与概念的模糊不清有关。在中学课本上, 数学概念一般都是经过由具体实例过渡到抽象定义的方式引入, 因此其直观性很显然, 也不难理解, 正由于此, 有些同学自以为对概念弄懂了, 吃透了, 不去对概念的内涵进行深入发掘, 而仅仅停留在对表象的理解。另外, 由于人的思维的局限性, 人们往往只注意概念间的差异, 而忽略了概念之间的联系, 转换和替代。例三角函数, 复数, 向量这三个概念分布于不同的章节、如果不作深入细致的分析, 对它们之间的密切联系就会视而不见。因此一道三角问题就死死盯住三角函数, 不能跳出圈子, 试一试复数或解析几何的方法; 一道轨迹问题立刻想到的是解析几何的方法, 不能换一个视点, 从复数向量的角度考虑, 此时可能既直观又便当。在高三复习时, 教师应从多角度, 多视野出发, 让学生吃透各概念之间的转化, 从而提高解题能力。
有些知识内容, 教材在处理上先是分门别类叙述, 然后再指出它们的共同点。然而由于篇幅的限制, 对其共同点或者由于重视不够, 或者由于训练不足, 学生没有形成自身的技能技巧。这就要求我们在复习时给以适当的补充。教材上关于圆锥曲线的问题就属于这种情况。对三种圆锥曲线, 教材是分开定义的, 仅仅在结束此章之前, 才给出圆锥曲线的统一定义, 但对如何使用统一定义来解题, 这方面的训练明显欠缺, 学生没有形成必要的思维程式。请看下面的例子。
例 是否存在圆锥曲线C , 同时满足下列两个条件: (i) 原点0 和直线x = 1 是它的焦点和相应准线; ( ii) 被直线x + y = 0 垂直平分的弦的长为2 。若存在, 试求出该圆锥曲线的方程, 若不存在说明理由。
此题提到圆锥曲线, 我们自然会问, 这是哪一种圆锥曲线呢?仔细读题就会发现, 要想从椭圆、双曲线、抛物线的特定方程着手寻求突破是不可能的。联想到圆锥曲线的统一定义, 可假设圆锥 曲线 C 存在, 其方程为x 2 + y 2 = ex - 1 ( e 为离心率) 整理后为（1-e2）x2+y2+2e2x-e2=0, 再设弦的方程为y = x + m, 代入后使用中点公式和弦长公式定出e = 2 和m = - 2, 最后得到c 的方程 (x-4/3)2/4/9-y2/4/3=1
第三, 对基本的数学方法和题型的认识和深化。知识和方法本来是相辅相成的, 知识的积累必然导致方法的更新。但有些同学只注重机械地积累知识, 死记概念、公式、定理, 其解题的能力提高不大。所以, 不能只注重就题论题, 要从基本题型中总结出行之有效的方法, 融汇到自己的认知体系中。高三复习时, 教师应多在这方面下功夫, 这会在短期之内提高学生的能力, 收到很好的效果。例如在圆锥曲线中涉及 到弦长,我们 一般用 公式 d =√1 + k 2 ∣x 2 - x 1∣, 如何处理涉及到弦的中点, 我们一般用公式( x 1 + x 2／2 , y 1 + y 2 ／2) ，又如何处理 涉及到最大值最小值时, 我们通常使用的方法是什么?实践表明教师注意对这些题型的归纳, 总结, 再辅之以典型的训练, 学生的能力会很快提高。有时甚至会在短期内产生质的飞跃。
第四, 数形结合。这也是最能反映思维的简捷性, 灵活性, 直观性的技能。数学是研究数和形两方面的科学, 由于分科的深入, 似乎给人以代数是研究数, 几何是研究形的认识。在以前的学习中, 我们大多不能自觉地形成数形结合的思想, 人为地将数和形割裂开来。即或是我们能够使用数形结合解题, 但往往也是事后总结出来的。因此高三复习的一个重要任务, 就是要将这种不自觉转化为自觉。大家知道, 借助于数形结合, 解决高考中的客观题部分, 不但解法简捷, 直观明了, 而且还能极大地提高解答速度, 节省时间。训练学生具备数形结合的技能, 可在函数和解析几何的复习中重点突出。在函数的研究中要充分重视其图形, 使函数的各项性质通过图象来加深理解; 在解析几何的复习中, 可以通过引入纯数量关系的题目从几何图形上给予解释。例如: 若x + y + 1 = 0 , 求证 ( x - 1) 2 + ( y - 1) 2 ≥ 3/2 。这似乎是一道纯粹的条件不等式。但给于几何解释就是直线x + y + 1 = 0 上的点与点( 1, 1) 的距离不小于3/2。由于点( 1, 1) 到直线x+ y + 1= 0 的距离是3∕√2 , 所以( 1, 1)到直线上其他点的距离都大于3/2。在数和形方面, 多数同学对形更不容易考虑, 所以这里特别强 调形的作用。
当然高三复习对教师也提出了更高要求。教师本人掌握应用知识的灵活性, 数学素养的高低、思维是否深刻、也直接影响了学生能力形成的快慢。对于局部与整体, 一般与特殊、体与抽象等方面, 还应该具备辨证思维观念。例如在求直线和二次曲线相交弦长的计算中, 如果弦过定点可用极坐标系和利用参数方程计算; 在已知直线的斜率时, 又可以利用公式l= √1 + k2 ︱x 2 - x 1︱, 后者往往与韦达定理联系起来。在对数和形的观察上, 教师应有敏锐的目光。例如求证n ! < ( n + 1/2) n ,这里若用数学归纳法是会带来麻烦的。若有认式的能力, 见左边n! 是n 个数的乘积, 于是联想到重要不等式, 就会去寻找这n 个数的和是否正巧是右边。在对整体和局部的把握中, 教师应该有一个通盘考虑。例如解关于x 的不等式log a( 2x 2- 8) > log a( x 2 - 3x + 2) ,这里既要讨论a 的取值范围,以决定函数的单调性, 又要注意对数函数的定义域。疏忽任何一方都不能得到正确结果。在解较复杂题目时, 教师应帮助学生 分析和寻找隐含条件, 或者分析某一个局部, 以此来推测整体的特点。
学生能力的提高是十分重要而又艰巨的任务。总的说来, 上面针对复习中提高能力的途径提出的看法之中, 辨证的逻辑思维能力是最重要、最根本的能力。因而这段时间更应该重视和发掘学生的逻辑思维能力, 同时提高运算能力和空间想象能力, 把复习工作推进到一个深层次。