2013届高三上学期综合训练(二)数学理.doc

第三次月考数学理试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C. D．
3. 已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.设是公差不为零的等差数列，其前项和为，且成等比数列，则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
4. 双曲线的左右准线将线段三等分，分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 若圆的圆心为抛物线的焦点，且与直线相切，则圆的方程（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，已知点是抛物线的焦点，直线为准线，点是抛物线上一点．以点为圆心，为半径作圆交抛物线的准线于点．若三点共线，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（第10题）

0图）

是
否
开始
S=0，n=1

n=n+1
结束
输出S
7. 设满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8. 运行如图所示的流程图，则输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
9. 已知圆的圆心为，由直线
上任意一点引圆的一条切线，切点为，
若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B. C. D.
10. 设定义在上函数．若曲线上存在点使得，则实数的取值范围是（ ）
A．　　B．　　C．　　D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）
11. 若向量的夹角为且，，则________．
12. 若正项数列的前项和满足，则通项_____．
12. 在区间上随机取一个数，则的值介于与之间的概率为_____．
13. 已知（为自然对数的底），．若对任意都有，则实数的取值范围为_________．
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设等差数列的前项和为等比数列的前项和为，已知，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求和：．

18. 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）若过点的直线交圆心的轨迹于点，且，求直线的方程．

现有道题，其中道甲类题，道乙类题，张同学从中任取道题解答．
（Ⅰ）求张同学至少取到道乙类题的概率；
（Ⅱ）已知所取的道题中有2道甲类题，道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望．

19. 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，对任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
20.已知在中，角的对边分别为．
（Ⅰ）若，求角；
（Ⅱ）若为的最大内角，且，求的周长的取值范围．

21. （本题共12分，第Ⅰ问4分，第Ⅱ问8分）
如图，已知离心率为的椭圆过点，为坐标原
点，平行于的直线交椭圆C于不同的两点A、B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线与x轴分别交于点
，证明：为等腰三角形．

数学（理科） 参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
B
B
C
A
A
C
A
B
第10题提示：
易证，故可设
，
则
.

二、填空题
11. 12. 13.
14. 15. 16.

三、解答题
17. （I）设公差为，公比为，则有
从而有.
（II）由得且，
则原式.

18. （Ⅰ）设圆心，点到轴的距离为，则
由即
化简得，即为所求轨迹方程.
（Ⅱ）焦点,设.
若轴，则，所以直线的斜率存在.
设直线的方程为
由
消去得：

所以直线的方程为或.

19.（Ⅰ）.
令，得，因此函数的单调递增区间是.[
令，得，因此函数的单调递减区间是
（Ⅱ）依题意， ，由（Ⅰ）知，在上是增函数，.
，即对于任意的恒成立.
解得.
所以，的取值范围是.
20.（Ⅰ）

；
（Ⅱ）

令，由得
则，
从而.
21. 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为:.
由题意得: ∴ 椭圆方程为．
（Ⅱ）由直线,可设 代入椭圆得:
设,则
设直线、的斜率分别为、，则
下面只需证明：，事实上：

故直线与轴围成一个等腰三角形．
22.（Ⅰ）该集合是级好集合。
理由：该集合中个元素均为奇数，而任个不同元素之和均为偶数，因此该集合中没有一个元素是另外两个不同元素的和。
（Ⅱ）的最大值为
证明：当=时，集合中最小的两个元素之和为，因此集合中任意两个不同元素之和的最小值为，而此时集合中最大元素为，因此集合中任意元素不可能为任意两个不同元素之和，所以=时，集合是好集合。
当时，集合中的元素等于另外两个不同元素和的和，此时集合不是好集合。
综上，的最大值为．
（Ⅲ）集合中最大元素的最小值为
证明：当集合中最大元素为时，集合可以为，该集合中有个元素，由（Ⅱ）可知该集合为好集合；
若集合中最大元素为，且，则将分组
① 为奇数，分组如下：……，（，），共组，
n—2，由于中有个元素，所以需要在以上组选出个数，则必有两个数在同一组，这两个数之和为，则集合中的元素必可表示为其他两个不同元素之和，不是好集合。
② 为偶数，则有，此时分组如下：……，（，
），（），共组，，由于中有个元素，所以需要在以上组选出个数，则必有两个数在同一组，这两个数之和为，则集合中的元素必可表示为其他两个不同元素之和，不是好集合。
综合①②，集合中最大元素小于等于时，集合必不是好集合.
综上，集合中最大元素的最小值为.

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