中考数学第一轮复习圆中成比例的线段.doc

23.圆中成比例的线段

知识考点：
1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。
2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。
精典例题：
【例1】已知如图，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2。求：
（1）BC的长；
（2）⊙O的半径。
分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。
解：（1）设BM＝MN＝NC＝，由切割线定理可得：
即解得：，∴BC＝；
（2）在Rt△ABC中，AC＝

由割线定理可得：
∴
∴
【例2】如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，求的值。
分析：由切割线定理有，可得直径BC的长，要求，由△ACE∽△ADB得，也就是求CA、BA的长。
解：连结CE ∵PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线∴
又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15
∵PA切⊙O于A，∴∠PAB＝∠ACP
又∠P为公共角，△PAB∽△PCA
∴
∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝900
∴ ∴AC＝，AB＝
又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB ∴△ACE∽△ADB∴
∴
【例3】如图，AB切⊙O于A，D为⊙O内一点，且OD＝2，连结BD交⊙O于C，BC＝CD＝3，AB＝6，求⊙O的半径。
分析：把“图形”补成切割线定理、相交弦定理图形，问题就解决了。
解：延长BD交⊙O于E，两方延长OD交⊙O于F、G，设⊙O的半径为
∵BA切⊙O于A，∴
∵AB＝6，BC＝3，∴BE＝12，ED＝6
又，FD＝－OD，DG＝＋OD
∴，OD＝2
∴，
探索与创新：
【问题一】如图，已知AB切⊙O于点B，AB的垂直平分线CF交AB于C，交⊙O于D、E，设点M是射线CF上的任一点，CM＝，连结AM，若CB＝3，DE＝8。探索：
（1）当M在线段DE（不含端点E）上时，延长AM交⊙O于点N，连结NE，若△ACM∽△NEM，请问：EN与AB的大小关系。
分析：如图1，由△ACM∽△NEM可得∠NEM＝900，连结BO并延长交EN于G，可证BO垂直平分EN，即可证明EN＝AB，结论就探索出来了。
解：∵AB的垂直平分线CF交AB于C，CB＝3
∴AB＝6，∠ACM＝900
又∵△ACM∽△NEM，∴∠NEM＝900
连结BO并延长交EN于点G
∵CB切⊙O于B，∴∠GBC＝900
∴∠GBC＝∠BCE＝∠GEC＝900
∴四边BCEG是矩形
∴∠EGB＝900，G为NE的中点 ∴EN＝2EG＝＝2CB＝6＝AB
（2）如图，当M在射线EF上时，若为小于17的正数，问是否存在这样的，使得AM与⊙O相切？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由。
分析：先满足AM与⊙O相切，求出相应的值，看它是否是小于17的正数即可。
解：当AM与⊙O相切于点P时，有MP＝AM－AP＝AM－AB＝AM－6
∵MC＝，AC＝3，∠ACM＝900
∴AM＝，又MD＝MC－CD＝
ME＝MC－CE＝，
∴
即，解得（已舍去）
∵ ∴存在这样的正数，使得AM与⊙O相切。
跟踪训练：
一、选择题：
1、PT切⊙O于T，割线PAB经过O点交⊙O于A、B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT＝（ ）
A、 B、 C、 D、
2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∶BC＝1∶2，AB＝35，PD＝40，则过点P的⊙O的切线长是（ ）
A、60 B、 C、 D、50

3、如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB并延长与PQ相交于Q点，若AQ＝6，AC＝5，则弦AB的长是（ ）
A、3 B、5 C、 D、
4、如图，PT切⊙O于T，PBA是割线，与⊙O的交点是A、B，与直线CT的交点是D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB＝（ ）
A、10 B、20 C、5 D、
二、填空题：
1、如图，PA切⊙O于A，PB＝4，PO＝5，则PA＝ 。
2、如图，两圆相交于C、D，AB为公切线A、B为切点，CD的延长线交AB于点M，若AB＝12，CD＝9，则MD＝ 。

3、如图，⊙O内两条相交弦AB、CD交于M，已知AC＝CM＝MD，MB＝AM＝1，则⊙O的半径为 。
4、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝720，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连结BD，若BC＝，则AC＝ 。

5、已知⊙O和⊙O内一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若，OP＝5，则⊙O的半径长为 。
6、如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，AB＝，BC＝，AC＝，半径为1.2的⊙O与AC、BC相切，且圆心O在斜边AB上，则＝ 。
三、计算或证明题：
1、如图，已知Rt△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝900，AH⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交⊙O于点F，且AE＝BE。（1）求证：；（2）若，AD＝6，求BD的长。
2、如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，CB交⊙O于D，DE切⊙O于D，BE⊥DE于E，BD＝10，DE、BE是方程的两个根，求AC的长。

3、如图，P是⊙O直径AB延长线上一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E。（1）求证：；（2）若DE⊥CF，∠P＝150，⊙O的半径为2，求弦CF的长。
4、如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F。（1）求证：BC是⊙P的切线；（2）若CD＝2，CB＝，求EF的长；（3）若设＝PE∶CE，是否存在实数，使△PBD是等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

跟踪训练参考答案

一、选择题：１．A　　２．A　　３．C　　４．B
二、填空题：
1、；　　2、3；　　3、；　　4、2；　　5、7；　　6、8或9
三、计算或证明题：
1、（1）证明：∵∠BAC＝900 ，
　　　　　　　∴BC是直径，
　　　　　　　∵AH⊥BC
　　　　　　　∴AB=HB
　　　　　　　∴∠H=∠BAH
　　　　　　　∵AE＝BE
∴∠ABF=∠BAH
∴∠ABF=∠H
∴
（2）；
（3）；
2、解：由已知可得，
又∵
∴
解得：，故BE＝8，DE＝6
由△ADB∽△DEB可得：AD＝
由△ADC∽△BED可得：AC＝
3、（1）证明：连结OD，
∵P是⊙O直径AB延长线上一点， DF⊥AB
∴∠DCF=∠DOA
∴∠PCE=∠POD
∵∠P=∠P
∴△PCE∽△POD
∴
∴；
（2）证∠ODE＝150得∠HDO＝∠EDC＝300，
∵OD＝2，则DH＝，DE＝，CE＝。
∴CF＝CE＋EF＝
4、（1）证明：连结PA、PB，
∵PC是⊙O的直径
∴∠PBC＝900
∴BC是⊙P的切线
（2）EF＝
（3）存在，使△PBD为等边三角形。