补课讲义.平面向量(学生版)doc.doc

1 补课讲义 平面向量平面向量 一、一、平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 A.A.基础梳理 1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度等于 0 的向量，其方向是任意的 (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量 2向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法 求 a 与 b 的相反向量b的和的运算叫做a与 b 的差 三角形法则 aba(b)3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当 0 时，a 与 a 的方向相同；当 0 时，a 与 a 的方向相反；当 0 时，a0.(2)运算律：设，是两个实数，则(a)()a；()aaa；(ab)ab.4共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 ba.B.B.方法与要点 1、一条规律 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量 2、两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则 可能不存在，也可能有无数个(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合 2 C.双基自测 1(人教 A 版教材习题改编)D 是ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD等于()ABC12BA BBC12BA C.BC12BA D.BC12BA 2判断下列四个命题：若 ab，则 ab；若|a|b|，则 ab；若|a|b|，则 ab；若 ab，则|a|b|.正确的个数是()A1 B2 C3 D4 3若 O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EFOFOE B.EFOFOE C.EFOFOE D.EFOFOE 4(2011 四川)如图，正六边形 ABCDEF 中，BACDEF()A0 B.BE C.AD D.CF 5设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 ab 与 2ab 共线，则 _ D.考点解析 考点一 平面向量的概念【例 1】下列命题中正确的是()Aa 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线 B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量 D有相同起点的两个非零向量不平行【训练 1】给出下列命题：若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab；若 a 与 b 均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等 其中正确命题的序号是_ 考点二 平面向量的线性运算【例 2】如图，D，E，F 分别是ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则()A.ADBECF0 B.BDCFDF0 C.ADCECF0 D.BDBEFC0【训练 2】在ABC 中，ABc，ACb，若点 D 满足BD2DC，()A.23b13c B.53c23b C.23b13c D.13b23c【例 3】设两个非零向量 a 与 b 不共线(1)若ABab，BC2a8b，CD3(ab)求证：A，B，D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线 3【训练 3】(2011 兰州模拟)已知 a，b 是不共线的向量，ABab，ACab(，R)，那么 A，B，C三点共线的充要条件是()A2 B1 C1 D1 二、二、平面向量基本定理及其坐标表示平面向量基本定理及其坐标表示 A.A.基础梳理 1平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2，其中不共线的向量 e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底 2平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|x21y21.(2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)，|AB|x2x12y2y12.3平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，当且仅当 x1y2x2y10 时，向量 a，b 共线 B.B.方法与要点 1、一个区别 向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OAa，点 A 的位置被向量 a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点 A(x，y)，向量 aOA(x，y)当平面向量OA平行移动到O1A1时，向量不变，即O1A1OA(x，y)，但O1A1的起点 O1和终点 A1的坐标都发生了变化 2、两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息(2)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2有可能等于 0，所以应表示为 x1y2x2y10C.双基自测 1(人教 A 版教材习题改编)已知 a1a2an0，且 an(3,4)，则 a1a2an1的坐标为()A(4,3)B(4，3)C(3，4)D(3,4)4 2若向量 a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则 c()A3ab B3ab Ca3b Da3b 3(2012 郑州月考)设向量 a(m,1)，b(1，m)，如果 a 与 b 共线且方向相反，则 m 的值为()A1 B1 C2 D2 4设向量 a(1，3)，b(2,4)，若表示向量 4a、3b2a、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 c()A(4,6)B(4，6)C(4，6)D(4,6)5已知向量 a(2，1)，b1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则 m_.D.考点解析 考点一 平面向量基本定理的应用【例 1】如图所示，在ABC 中，H 为 BC 上异于 B，C 的任一点，M 为 AH 的中点，若AMABAC，则 _.【训练 1】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若ADxAByAC，则 x_，y_.考点二 平面向量的坐标运算【例 2】已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且CM3CA，CN2CB.求 M，N 的坐标和MN.【训练 2】在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB(2,4)，AC(1,3)，则BD()A(2，4)B(3，5)C(3,5)D(2,4)考点三 平面向量共线的坐标运算【例 3】已知 a(1,2)，b(3,2)，是否存在实数 k，使得 kab 与 a3b 共线，且方向相反？【训练 3】(2011 西安质检)已知向量 a(1,2)，b(2，3)，若向量 c 满足(ca)b，c(ab)，则 c()A.79，73 B.73，79 C.73，79 D.79，73 三、三、平面向量的数量积平面向量的数量积 A.A.基础梳理 1两个向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b(如图)，作OAa，OBb，则AOB(0 180)叫做向量 a 与 b 的夹角，当 0 时，a 与 b 同向；当 180 时，a 与 b 反向；如果 a 与 b 的夹角是 90，我们说 a 与 b 垂直，记作 ab.2两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a b，即 a b|a|b|cos，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0 a0.3向量数量积的几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的数量积 5 4向量数量积的性质 设 a、b 都是非零向量，e 是单位向量，为 a 与 b(或 e)的夹角则(1)e aa e|a|cos；(2)aba b0；(3)当 a 与 b 同向时，a b|a|b|；当 a 与 b 反向时，a b|a|b|，特别的，a a|a|2或者|a|a a；(4)cos a b|a|b|；(5)|a b|a|b|.5向量数量积的运算律(1)a bb a；(2)a b(a b)a(b)；(3)(ab)ca cb c.6平面向量数量积的坐标运算 设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为，则(1)a bx1x2y1y2；(2)|a|x21y21；(3)cosa，bx1x2y1y2x21y21 x22y22；(4)aba b0 x1x2y1y20.7若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，ABa，则|a|x1x22y1y22(平面内两点间的距离公式)B.B.方法与要点 1一个条件 两个向量垂直的充要条件：abx1x2y1y20.2、两个探究(1)若 a b0，能否说明 a 和 b 的夹角为锐角？(2)若 a b0，能否说明 a 和 b 的夹角为钝角？3、三个防范(1)若 a，b，c 是实数，则 abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量 a，b，c 若满足 a ba c(a0)，则不一定有 bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量(2)数量积运算不适合结合律，即(a ab b)c ca a(b bc c)，这是由于(a ab b)c c表示一个与c c共线的向量，a a(b bc c)表示一个与a a共线的向量，而a a与c c不一定共线，因此(a ab b)c c与a a(b bc c)不一定相等(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，AB与BC的夹角应为 120，而不是 60.C.双基自测 1(人教 A 版教材习题改编)已知|a|3，|b|2，若 a b3，则 a 与 b 的夹角为()A.3 B.4 C.23 D.34 2若 a，b，c 为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是()A(ab)ca(bc)B(ab)ca cb c Cm(ab)mamb D(a b)ca(b c)3(2011 广东)若向量 a，b，c 满足 ab，且 ac，则 c(a2b)()A4 B3 C2 D0 4已知向量 a(1,2)，向量 b(x，2)，且 a(ab)，则实数 x 等于()A9 B4 C0 D4 6 5(2011 江西)已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，则 a 与 b 的夹角为_ D.考点解析 考点一 求两平面向量的数量积【例 1】在ABC 中，M 是 BC 的中点，|AM|1，AP2PM，则PA(PBPC)_.【训练 1】如图，在菱形 ABCD 中，若 AC4，则CA AB_.考点二 利用平面向量数量积求夹角与模【例 2】已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求 a 与 b 的夹角；(2)求|ab|和|ab|.【训练 2】已知 a 与 b 是两个非零向量，且|a|b|ab|，求 a 与 ab 的夹角 考点三 平面向量的数量积与垂直问题【例 3】已知平面向量 a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若 ab，求 x 的值；(2)若 ab，求|ab|.【训练 3】已知平面内 A，B，C 三点在同一条直线上，OA(2，m)，OB(n,1)，OC(5，1)，且OAOB，求实数 m，n 的值 四、四、平面向量的应用平面向量的应用 A.A.基础梳理 1向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 aba b0 x1x2y1y20.(3)求夹角问题，利用夹角公式 cos a b|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22(为 a 与 b 的夹角)2平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力 F 与位移 s 的数量积即 WF s|F|s|cos(为 F 与 s 的夹角)B.B.方法与要点 1、一个手段 实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算 2、两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合 7(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题 C.双基自测 1(人教 A 版教材习题改编)某人先位移向量 a：“向东走 3 km”，接着再位移向量 b：“向北走 3 km”，则ab 表示()A向东南走 3 2 km B向东北走 3 2 km C向东南走 3 3 km D向东北走 3 3 km 2平面上有四个互异点 A、B、C、D，已知(DBDC2DA)(ABAC)0，则ABC 的形状是()A直角三角形 B等腰直角三角形 C等腰三角形 D无法确定 3(2012 银川模拟)已知向量 a(cos，sin)，b(3，1)，则|2ab|的最大值，最小值分别是()A4,0 B16,0 C2,0 D16,4 4在ABC 中，已知向量AB与AC满足AB|AB|AC|AC|BC0 且AB|AB|AC|AC|12，则ABC 为()A等边三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形 5平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足OP OA4，则点 P 的轨迹方程是_ D.考点解析 考点一 平面向量在平面几何中的应用【例 1】(2010 辽宁)平面上 O，A，B 三点不共线，设OAa，OBb，则OAB 的面积等于()A.|a|2|b|2a b2 B.|a|2|b|2a b2 C.12|a|2|b|2a b2 D.12|a|2|b|2a b2【训练 1】设 a，b，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a 与 b 不共线，ac，|a|c|，则|b c|的值一定等于()A以 a，b 为邻边的平行四边形的面积 B以 b，c 为邻边的平行四边形的面积 C以 a，b 为两边的三角形的面积 D以 b，c 为两边的三角形的面积 考点二 平面向量与三角函数的交汇【例 2】已知 A，B，C 的坐标分别为 A(3,0)，B(0,3)，C(cos，sin)，232.(1)若|AC|BC|，求角 的值；(2)若AC BC1，求2sin2sin 21tan 的值【训练 2】已知向量 a(sin，cos 2sin)，b(1,2)(1)若 ab，求 tan 的值；(2)若|a|b|,0，求 的值 自我检测自我检测题题 1、(2010 北京)若 a，b 是非零向量，且 ab，|a|b|，则函数 f(x)(xab)(xba)是()A一次函数且是奇函数 B一次函数但不是奇函数 C二次函数且是偶函数 D二次函数但不是偶函数 2 2、(20122012 年高考年高考浙江浙江卷卷理科理科 5)5)设 a，b 是两个非零向量,下列命题正确的是()8 A若|ab|a|b则 ab B若 ab，则|ab|a|b|来源:Z*xx*k.Com C若|ab|a|b|，则存在实数，使得 ab D若存在实数，使得 ab，则|ab|a|b|3.(20122012 年高考年高考辽宁辽宁卷卷理科理科 3)3)已知两个非零向量 a，b 满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是()(A)ab (B)ab (C)0,1,3 (D)a+b=ab 4 4、(20122012 年高考年高考 天津天津卷卷理科理科 7)7)已知ABC 为等边三角形，=2AB，设点 P，Q 满足=APAB，=(1)AQAC，R，若3=2BQ CP，则=()来源:学+科+网来源:学科网（A）12 （）122 （）1102 （）32 22 5、(20122012 年高考年高考湖南湖南卷卷理科理科 7)7)在ABC 中，AB=2，AC=3，1BCAB 则 BC=()A.3 B.7 C.2 2 D.23来源:学&科&网 6、(2(2012012 年全年全国国卷理科卷理科 6 6)ABC中，AB边上的高为CD，若,0,|1,|2CBa CAb a bab，则AD()A1133ab B2233ab C3355ab D4455ab 7 7、(20122012 年高考年高考重庆重庆卷卷理科理科 6)6)设,x yR，向量4,2,1,1,cybxa，且cbca/,，则|ab （A）5 （B）10 （C）2 5 （D）10 8、设向量,a b c满足1|1,602aba bac bc，则|c的最大值等于 (A)2 (B)3 (c)2 (D)1 9、如图，在四边形 ABCD 中，|4,0,ABBDDCAB BDBD DC 4|DCBDBDAB，则ACDCAB)(的值为（）A.2 B.22 C.4 D.24 10、(2011 山东)设 A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3A1A2(R)，A1A4A1A2(R)，且112，则称 A3，A4调和分割 A1，A2.已知平面上的点 C，D 调和分割点 A，B，则下列说法正确的是()AC 可能是线段 AB 的中点 BD 可能是线段 AB 的中点 CC、D 可能同时在线段 AB 上 DC、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 9 二、填空题 1、(2011 湖南)在边长为 1 的正三角形ABC中，设2,3BCBD CACE，则_AD BE。2、(2011 天津)已知直角梯形ABCD中，AD/BC,090ADC,2,1ADBC,P是腰DC上的动点，则3PAPB的最小值为_.3、(20122012 年高考年高考安徽安徽卷卷理科理科 14)14)若平面向量,a b满足：23ab；则a b的最小值是_ 4.(2012(2012 年高考新课标全国年高考新课标全国卷理科卷理科 1313)已知向量,a b夹角为45，且1,210aab；则_b 5、在平行四边形ABCD中，3A，边AB、AD的长分别为 2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|CDCNBCBM，则ANAM 的取值范围是 .三、解答题 1、(本题满分 12 分)(2010 安徽)ABC 的面积是 30，内角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c，cos A1213.(1)求AB AC；(2)若 cb1，求 a 的值 2、已知ABC 的面积 S 满足 3S3，且AB BC6，设AB与BC的夹角为.(1)求 的取值范围；(2)求函数 f()sin22sin cos 3cos2 的最小值