高一数学对称问题.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,一,.,中心对称,(,关于点的对称,),(,一）点关于点的对称,点,P,1,(x,1,y,1,),关于点,M(m,n),对称的点,P,2,为,(2m-x,1,2n-y,1,);,特别地,P(x,y),关于原点,(0,0),的对称点坐标为,(-x,-y).,练习,:,(1),求点,P(2,5),关于点,Q(-3,-7),的对称点,.,(2),若点,A(0,-3),关于点,M,的对称点为,B(-7,5).,求,M,的坐标,.,(,二）直线关于点的对称,直线,l:Ax+By+C=0,关于点,M(m,n),对称的直线,l,1,的方程为,A(2m-x)+B(2n-y)+C=0.,例,1.,求直线,m:,2x+3y-1=0,关于点,P(1,4),对称的直线,n,的方程,.,解,:(,法一,),直接代入上面结论,(,法二,),在直线,m,上任取两点,A,B.,则,A,B,关于点,P,的对称点落在直线,n,上,.,(,法三,),显然直线,m,和直线,n,是平行直线,因此斜率相等,.,一般地：曲线,f,（,x,，,y,）,=0,关于点,M,（,m,，,n,）的对称曲线方程为,f,（,2m-x,，,2n-y,）,=0,特别地曲线,f,（,x,，,y,）,=0,关于原点（,0,，,0,）的对称曲线方程为,f,（,-xy,）,=0 .,二,.,轴对称,(,即关于直线的对称,),例,2.,求点,A(-7,1),关于直线,l:2x-y-5=0,的对称点,B,的坐标,.,解,(,法一,),设,B(m,n,）由点关于直线对称的定义知,:,线段,ABl,即,;=-1 ,线段,AB,被直线,l,平分,即线段,AB,的中点,在直线,l,上,故有,2 -5=0 ,(,一,),点关于直线的对称,:,联立 解得,m=9 n=-7,B(9,-7),（法二）直线,ABl,直线,AB,过点（,-7,，,1,）,直线,AB,的方程为,y-1=-,（,x+7,）即,x+2y+5=0,由 解得,即,AB,的中点为（,1,，,-3,又,A,（,-7,，,1,）,由中点坐标公式得,B,的坐标为（,9,，,-7,）,.,小结,:,求点,P(x,0,y,0,),关于直线,l:Ax+,By+C=0,对称点,Q(x,1,y,1,),的方法,:,(1),（综合求解）,由点关于直线对称的定义及直线,l,垂直平分线段,PQ,得方程组,:,由（,1,）（,2,）可解得,x,1,y,1,的值即对称点,Q,的坐标,(2),（分步求解）可先求直线,PQ,的方程,然后解出直线,PQ,与直线,l,的交点即线段,PQ,的中点,M,的坐标,最后利用中点坐标公式,求出对称点,Q,的坐标,.,（,3,）,（利用公式）点,P,（,x,0,，,y,0,）关于直线,Ax+By+C=0,的对称点,Q,的坐标为,一般地,：,点（,x,0,，,y,0,）关于直线,y=x,的对称点为（,y,0,，,x,0,）,点（,x,0,，,y,0,）关于直线,y=-x,的对称点为（,-y,0,，,-x,0,）,点（,x,0,，,y,0,）关于直线,y=x+b,的对称点为（,y,0,-b,，,x,0,+b,）,点（,x,0,，,y,0,）关于直线,y=-x+b,的对称点为（,b-y,0,，,-x,0,+b,）,点（,x,0,，,y,0,）关于直线,y=0,（即,x,轴）的对称点为（,x,0,，,-y,0,）,点（,x,0,，,y,0,）关于直线,x=0,（即,y,轴）的对称点为（,-x,0,，,y,0,）,点（,x,0,，,y,0,）关于直线,y=m,的对称点为（,x,0,，,2m-y,0,）,点（,x,0,，,y,0,）关于直线,x=n,的对称点为（,2n-x,0,，,y,0,）,注：,当对称轴的斜率为,1,或对称轴与,坐标轴垂直,时可用上述方法直接求出对称点的坐标。,（二）直线关于直线的对称,例,3.,求直线,m:x-y-2=0,关于直线,l:3x-y+3=0,对称的直线,n,的方程,.,解,:,设直线,m,l,n,的斜率分别为,k,1,k,K,2,.,由直线关于直线对称的定义知,:,直线,m,到直线,l,的角等于直线,l,到直线,n,的角,.,又,k1,=1,k=3,解得,:k,2,=-7,由 解得,x,y,o,m,n,l,即直线,m,l,n,的交点为,直线,n,的方程为,法,(,二,):,在直线,x-y-2=0,上任取一点如,A(2,0),则,A,关于直,线,l,的对称点,A,1,落,在直线,n,上,然后解出直线,l,和,m,的交点,由直线方程的两点式求出直线,n,的方程,.,例,4.,已知,ABC,的顶点为,A(-3,0),B(0,3),C(3,-12),求,:A,的内角平分线所在的直线方程,.,解,（,法一）设,:A,平分线所在直线,l,的斜率为,k,直线,AC,到,l,的角等于,l,到直线,AB,的角,又,k,AC,=-2,k,AB,=1,K=3-,其方程为,即,（法二）设,A,的内角平分线交直线,BC,与点,T,A,的内角平分线的斜率,K(-2,1),点,T,分有向线段 的比为,设,T,（,x,，,y,），由定比分点坐标公式得：,x,A,B,C,y,o,T,T,由直线方程的两点式求得,A,内角平分线所在直线的方程,问,（,1,）,你会用第三种方法解这道题吗？,（,2,）你会求,A,外角平分线所在直线的方程吗？,一般地：求直线关于直线对称的直线方程利用求交点和斜率；也可以转化为求点关于直线的对称点来解决。,特别地：当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为,1,时可用以下结论直接代入；,设直线方程为,f,（,x,，,y,0,则：,直线,f,（,x,，,y,）,=0,关于直线,y=x,对称的直线方程为,f,（,y,，,x,）,=0,直线,f,（,x,，,y,）,=0,关于直线,y=-x,对称的直线方程为,f,（,-y,，,-x,）,=0,直线,f,（,x,，,y,）,=0,关于直线,y=x+b,对称的直线方程为,f,（,y-b,，,x+b,）,=0,直线,f,（,x,，,y,）,=0,关于直线,y=-x+b,对称的直线方程,为,f,（,b-y,，,-x+b,）,=0,直线,f,（,x,，,y,）,=0,关于直线,y=0,（,x,轴）对称的直线方程为,f,（,x,，,-y,）,=0,直线,f,（,x,，,y0,关于直线,x=0,（,y,轴）对称的直线方程为,f,（,-x,，,y,）,=0,直线,f,（,x,，,y,）,=0,关于直线,y=m,对称的直线方程为,f,（,x,，,2m-y,）,=0,直线,f,（,x,，,y,）,=0,关于直线,x=n,对称的直线方程为,f,（,2n-x,，,y,）,=0,三,.,对称问题的应用：,（一）涉及定直线,l,上一点,P,与两定点,A,，,B,的距离和（或差）的最值问题,1.,若,A,，,B,两点在直线的同侧：,（,1,）设点,B,关于直线的对称点为点,C,则直线,AC,与直线,l,的交点,P,使得,|PA|+|PB|,最小；,（,2,）直线,AB,与直线,l,的交点,P,使得,|PA|-|PB|,最大。,2.,若,A,B,两点在直线的异侧,:,(1),直线,AB,与直线,l,的交点,P,使得,|PA|+|PB|,最小,;,(2),设点,B,关于直线的对称点为点,C,则直线,AC,与直线,l,的交点,P,使得,|PA|-|PB|,最大,.,(,二,),涉及角平分线及光线的入射和反射问题一般都转化为对称问题来解决,.,例,5.,已知两点,A(2,15),B(-3,5),在直线,l:3x-4y+4=0,上找一点,P,使得,:,(1)|PA|+|PB|,最小,并求出其最小值,;,(2)|PA|-|PB|,最大,并求出其最大值,.,例,6.,自点A(-3,3),发出的光线,l,射到,x,轴上,被,x,轴反射,其反射光线所在直线与圆,x,2,+y,2,-4x-4y+7=0,相切,求光线,l,所在直线的方程,.,练习题：,(1),点,M(-1,3),关于直线,x+y-1=0,的对称点为,_,关于直线,y=2x,的对称点为,_ _,关于点,(9,0),的对称点为,(2),直线,x+2y-1=0,关于直线,x-y+2=0,的对称直线的方程为,_,关于直线,y=-x,的对称直线为,_,关于直线,x+3=0,对称直线为,_,(3),直线,3x-4y+3=0,关于,x,轴对称的直线方程为,_,关于,y,轴的对称直线方程为,_,关于原点的对称直线方程为,(4),光线从,M(-2,3),射到,x,轴上一点,P(1,0),后被,x,轴反射,则入射光线和反射光线所在的直线方程分别为,_,若光线射到直线,y=2x,上呢,?,(5),光线沿着斜率为 的直线,l,1,射在斜率为 的直线,l,2,上反射,若,l,1,和,l,2,的交点为,(-1,2),求反射光线所在的直线方程,.,(6),已知,ABC,的一个顶点,A(4,-1),其内角,B,C,的平分线方程分别为,y=x-1,和,x=1,求边,BC,AB,所在的直线方程,.,(7),直线,y=2x,是,ABC,中角,C,的平分线所在的直线方程,A(-4,2),B(3,1),求,C,的坐标,并判断,ABC,的形状,.,(8)ABC,的两条高线方程为,2x-3y+1=0,和,x+y=0,顶点,A,的坐标为,(1,2),求,BC,边所在的直线方程,.,(9),已知,ABC,的一个顶点,A(-4,2),中线,BD,CE,所在的直线方程分别为,3x-2y+2=0,和,3x+5y-12=0,求边,BC,所在的直线方程,.,(10),已知,ABC,的一个顶点,A(3,-1),AB,边上的中线所在的直线方程为,6x+10y-59=0B,的平分线所在直线方程为,x-4y+10=0,求边,BC,所在的直线方程,.,(11),已知点,A(2,0),B(-2,-2),在直线,l:x+y-3=0,上求一点,P,使,|PA|+|PB|,最小,变形,:,在,l,上求一点,Q,使得,|QA|-|QB|,最大,.,(12),已知点,A(4,1),B(0,4),在直线,l:3x-y-1=0,上求一点,P,使,|PA|+|PB|,最小,.,变形,:,在直线,l,上求一点,Q,使得,|QA|-|QB|,最大,.,再见,