基于F. E. Smith食物有限模型的中国人口数量预测.pdf

Statistics and Application 统计学与应用统计学与应用,2023,12(4),814-823 Published Online August 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/sa https:/doi.org/10.12677/sa.2023.124085 文章引用文章引用:郑加乐,郑锦楠.基于 F.E.Smith 食物有限模型的中国人口数量预测J.统计学与应用,2023,12(4):814-823.DOI:10.12677/sa.2023.124085 基于基于F.E.Smith食物有限模型的中国人口数量食物有限模型的中国人口数量预测预测 郑加乐，郑锦楠郑加乐，郑锦楠 广州大学数学与信息科学学院，广东 广州 收稿日期：2023年7月3日；录用日期：2023年7月24日；发布日期：2023年8月3日 摘摘 要要 本文提出了一类基于本文提出了一类基于F.E.Smith修正后的食物模型，用于中国人口预测。通过对传统的修正后的食物模型，用于中国人口预测。通过对传统的logistic人口预测人口预测模型和模型和Smith模型进行定性研究和定量预测，对比发现，通过选取适当的质量替换率参数，可以使得食模型进行定性研究和定量预测，对比发现，通过选取适当的质量替换率参数，可以使得食物有限模型的预测效果比物有限模型的预测效果比logistic模型的预测效果更加精准模型的预测效果更加精准，从而更好，从而更好地地预预测中长期的人口数量变化测中长期的人口数量变化。关键词关键词 Smith模型，人口预测，食物有限模型，人口预测，食物有限 Chinese Population Size Prediction Based on F.E.Smiths Food Finite Model Jiale Zheng,Jinnan Zheng School of Mathematics and Information Science,Guangzhou University,Guangzhou Guangdong Received:Jul.3rd,2023;accepted:Jul.24th,2023;published:Aug.3rd,2023 Abstract In this paper,a modified food model based on F.E.Smith is proposed for population forecasting in China.Through qualitative research and quantitative prediction on the traditional logistic popula-tion prediction model and Smith model,it is found that by selecting appropriate quality replace-ment rate parameters,the prediction effect of the food-limited model can be more accurate than that of the logistic model,so as to better predict the medium and long-term population change.郑加乐，郑锦楠 DOI:10.12677/sa.2023.124085 815 统计学与应用 Keywords Smith Model,Population Projections,Limited Food Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 自改革开放以后，中国人口总数就一直在增长，而人口是一个地区的基本情况的重要指标。我们既不希望人口增长太快导致冲破环境容纳量，也不希望人口呈现负增长状态或是出现老龄化等问题。因此，人口预测一直是很多研究者的重点研究对象。如果能够较为精准地预测出未来几年甚至几十年、几百年的中国人口数量大致数值或者演变情况，这对于市场调控、社会发展将有一定的指导性。2.经典的函数拟合预测经典的函数拟合预测 在文章的开始，我们先介绍经典的函数拟合预测，它是不带任何模型、不考虑任何现实的人口增长规律而直接以 MATLAB 的工具箱进行预测的。当然，它也是最简单的预测法。2.1.拟合函数拟合函数 函数拟合主要是通过已有数据出发，不考虑其背后人口增长规律而直接拟合出函数，之后根据函数本身对以后的年份进行人口预测，可以大致预测出未来的人口数量。本文先把年份设为 x 自变量，以中国人口数量设为 y 因变量，通过中国统计年鉴获取到 19822015 年中国总人口数量，运用 MATLAB中的 cftool 工具箱进行多个函数的拟合，如下：1)指数函数预测 Figure 1.Exponential function fitting prediction 图图 1.指数函数拟合预测 Open AccessOpen Access郑加乐，郑锦楠 DOI:10.12677/sa.2023.124085 816 统计学与应用 指数函数拟合的 R 方为 0.9563，可见拟合效果不错。然而，按照实际情况来说，食物、环境等资源是有限的，因此不可能总是按指数函数的递增规律发展下去(见图 1，展现了指数函数拟合预测效果)。2)傅里叶函数预测 Figure 2.Fourier function fitting prediction 图图 2.傅里叶函数拟合预测 傅里叶函数预测的 R 方为 0.999，拟合效果极佳。可以看到，拟合出来的函数曲线，在 2025 年之前，在保证人口数量增长的前提下，增长速率逐渐趋于平缓，这比较符合人口增长的期望。但在 2025 年以后，却显示出人口数量直接单调下降的情况，这不符合显示情形。因而，可以说傅里叶函数的短期预测效果好，但中长期预测效果不好(见图 2，展现了傅里叶函数拟合预测效果)。3)多项式函数预测 Figure 3.Fitting prediction of cubic polynomial function 图图 3.三次多项式函数拟合预测 郑加乐，郑锦楠 DOI:10.12677/sa.2023.124085 817 统计学与应用 多项式函数形式较为简单，方便用于快速预测。通过探究，我们发现，一次多项式函数预测极为不妥，二次多项式函数预测情况与傅里叶函数预测情况极为相似，而三次多项式函数预测，R 方为 0.9991，拟合效果非常好(见图 3，展现了三次多项式函数的拟合预测效果)。可见，其函数图像也是可以用来预测短期人口数量，但无法预测长期人口数量，否则在 2060 年以后，人口不断上升，增长率也变大，这显然不合理。2.2.预测结果预测结果 通过 2.1 节的分析，我们最终选取三次多项式函数进行人口数量的短期预测，拟合之后，其函数表达式如下：()321234f xp xp xp xp=+其中，6412341.732 10,0.0106,21.62,1.471 10pppp=Table 1.Prediction effect of cubic polynomial function 表表 1.三次多项式函数预测效果 年份 三次函数预测值(十亿)查询的真实值(十亿)2016 1.375 1.383 2017 1.380 1.390 2018 1.384 1.395 2019 1.388 1.400 2020 1.392 1.410 2021 1.396 1.411 2022 1.400 1.412 依照上面的函数，我们可以预测出人口数量并与真实值对比(见表 1)。3.Logistic 人口预测模型人口预测模型 第一部分中的函数拟合由于只考虑人口数据本身，而没有考虑到人口增长过程中的种群增长规则，诸如内禀增长率、环境容纳量等，所以预测效果欠妥，只能预测短期而不能预测长期。事实上，人口的增长大体上是服从一定的方程规律的，尤其是常微分方程经常被用来预测人口数量，如刘1、宋2、唐3、欧阳4和张5等人就用了常微分方程模型去预测了人口数量。在本文中，我们先介绍 logistic 人口预测常微分方程模型一个多次被运用和修改于人口预测的模型。3.1.模型建立模型建立 为了预测长期的人口数量的变化，我们需要寻找人口增长的内在规律。如沈6等人的文章中提到Malthus 的人口增长模型，设人口数量为()x t，则 t 时刻人口的增长率为()ddx tt，则在假设中国没有环境容纳量的情况下，()ddx tt应与()x t成正比，设该比例系数为 r，谓之为内禀增长率，即出生率减去死亡率。郑加乐，郑锦楠 DOI:10.12677/sa.2023.124085 818 统计学与应用 据此，依文献6可以建立以下 Malthus 模型来预测人口数量(其中，0 x为初始值)：()()()0dd0 x trx ttxx=(1)但鉴于 Malthus 模型没有考虑当地的最大环境容纳量，实现了无止尽的指数型递增的情形，现实中环境容纳量总是存在的，是不可能出现无止尽的暴增的情况的。基于上述分析，我们假设迁入迁出对中国人口影响忽略不计，中国的环境容纳量固定为 K，则在 Malthus 模型的基础上，可以建立以下 Logistic人口增长模型，如文献7也对此进行了应用。该模型不再呈现指数递增趋势，会有更好的预测效果。()()()()0d1d0 x tx trx ttKxx=(2)3.2.定性研究定性研究 根据常微分方程定性理论的相关知识8，模型(2)的平衡点为0 x=，xK=。设()1xf xrxK=，则：()2rxfxrK=.()f x在某一点x处可展开为：()()()()2f xf xfxxo x=+显而易见地()00f=，()0f K=，()0fr=，()fKr=。那么()f x在0 x=的泰勒展开为：()0f xrx=，()f x在xK=的泰勒展开为：()0f xrx=。则：0 x=为不稳定平衡点，xK=为稳定 平衡点。这意味着，当t +，xK。即当0 xK；当xK，d0dxt=+Figure 6.Smith model phase plane 图图 6.Smith 模型相平面 郑加乐，郑锦楠 DOI:10.12677/sa.2023.124085 821 统计学与应用 则：0 x=为不稳定平衡点，xK=为稳定平衡点。这意味着，当t +，xK。即当0 xK，d0dxt。下面，利用 MATLAB 画出方程(3)的相平面图，仿照(2)的数值模拟情况，我们假定0.0496r=，1.6K=(十亿)，0.1c=，则方程(3)的相平面如图 6。4.3.定量预测定量预测 同样地，为了得到精准的人口数量预测效果，我们设0.0496r=，1.6K=(十亿)，0.1c=，通过MATLAB 数值模拟，最终得到 20162050 年的人口数量的图像如图 7。Figure 7.Quantitative prediction diagram of Smith model 图图 7.Smith 模型定量预测图 4.4.对比讨论对比讨论 通过对 20162022 年两模型的预测效果和真实人口进行对比，如下表 2，我们得到 Ligistic 模型和Smith 模型在 20162022 年对人口的预测值。将这些数据与真实值作差，得到表 3。显而易见地，我们发现当选择适当的质量替换率参数之后，Smith 模型对比 Logistic 模型的确会有更好的预测效果，它更加贴近真实值了。Table 2.Comparison of population predicted values between logistic model and Smith model(unit:billion)表表 2.Logistic 模型与 Smith 模型人口预测值对比(单位：十亿)年份 Logistic 模型 Smith 模型 真实值 2016 1.385 1.381 1.383 2017 1.394 1.391 1.390 2018 1.404 1.395 1.395 2019 1.411 1.399 1.400 郑加乐，郑锦楠 DOI:10.12677/sa.2023.124085 822 统计学与应用 Continued 2020 1.419 1.407 1.410 2021 1.427 1.412 1.411 2022 1.434 1.418 1.412 Table 3.Difference between the predicted population and the true value of the logistic model and the Smith model for each year(unit:billion)表表 3.各年份 logistic 模型与 Smith 模型预测人口与真实值差值(单位：十亿)年份 Logistic 模型预测值与 真实值差值 Smith 模型预测值与 真实值差值 2016 0.002 0.002 2017 0.004 0.001 2018 0.009 0.000 2019 0.011 0.001 2020 0.009 0.003 2021 0.016 0.001 2022 0.022 0.006 5.总结与展望总结与展望 本文主要研究了 logistic 及其食物有限修正模型Smith 模型在中国人口预测中的应用，并得到了这两种模型下 20162050 年中国人口数量预测效果。从理论上分析知道，经典的函数预测在短期预测效果极佳，但对于长期预测来说就不准确了，因人口增长是服从生物规律的，不能仅仅只从先前的数据来拟合出函数去预测长期人口变化。而具有实际意义的 logistic 模型用来预测长期人口变化则比经典的函数预测要更让人信服，另一方面，具有 Smith 模型的预测是在 logistic 模型的基础上增加了食物有限的情况，该模型从理论上来说会比 logistic 更加符合现实情况，也会预测得更加准确，尤其是在发生自然灾害和战争等因素而导致食物匮乏之后。食物有限的情况在现实生活中是绝对存在的，本文提出的 Smith 模型较之 logistic 模型有更好的预测中国人口数量变化的效果。当然，在现实世界中，还有很多因素干扰着人口的变化，诸如新冠疫情等突发病情，再如“时间滞后”等现实因素，因此，人口预测模型依然是个值得挖掘的问题，未来也将会有源源不断的更加贴近现实的预测模型产生。参考文献参考文献 1 刘庆山,胡学平,来江涛.基于修正人口发展方程对安徽省人口的预测分析J.高师理科学刊,2022,42(1):1-6.2 宋晓敏,周海燕,王静,卢秋月.微分方程在成都市人口预测中的应用J.内江科技,2022,43(1):59-61.3 唐贤芳,刘小刚,张如.微分方程在西安市人口预测中的应用J.西安文理学院学报(自然科学版),2017,20(2):15-19.4 欧阳瑞,张丽娟.基于常微分方程的周口市人口增长预测J.周口师范学院学报,2014(5):25-27.https:/doi.org/10.13450/ki.jzknu.2014.05.008 5 张红芹.微分方程在人口预测中应用J.吉林省教育学院学报(学科版),2011,27(10):60-61.郑加乐，郑锦楠 DOI:10.12677/sa.2023.124085 823 统计学与应用 6 沈小凤,蔡果兰,刘晓娜.Malthus 模型在民族地区人口预测中的有效性分析以青海省民族自治州为例J.硅谷,2011(10):121-122.7 熊波.人口增长的 Logistic 模型分析及其应用J.商业时代,2008(27):6-7.8 马知恩.常微分方程定性与稳定性方法M.北京:科学出版社,2015:6.9 Smith,F.E.(1963)Population Dynamics in Daphnia Magna and a New Model for Population Growth.Ecology,44,651-663.https:/doi.org/10.2307/1933011 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