关于k-Riemann-Liouville分数阶积分的Ostrowski型积分不等式.pdf

第4 8卷 第8期西 南 师 范 大 学 学 报(自然科学版)2 0 2 3年8月V o l.4 8 N o.8 J o u r n a l o f S o u t h w e s tC h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)A u g.2 0 2 3D O I:1 0.1 3 7 1 8/j.c n k i.x s x b.2 0 2 3.0 8.0 0 1关于k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分的O s t r o w s k i型积分不等式连铁艳,党筱楠陕西科技大学 数学与数据科学学院,西安7 1 0 0 2 1摘要:引入k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分和h-凸函数,通过建立k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分的O s t r o w s k i型积分不等式,构造了一些新的H e r m i t e-H a d a m a r d型积分不等式.相比较于已有的一些结果,所得结果在积分形式和数据点类型两个方面有一定的优势,使得H e r m i t e-H a d a m a r d型积分不等式适用范围更广.最后给出O s t r o w s k i型k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分不等式在概率方面的应用.关 键 词:H e r m i t e-H a d a m a r d型积分不等式;O s t r o w s k i型积分不等式;h-凸函数;k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分中图分类号:O 1 7 7.1;O 1 7 8 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 0 5 4 7 1(2 0 2 3)0 8 0 0 0 1 0 9O s t r o w s k iT y p e I n t e g r a l I n e q u a l i t i e s f o rk-R i e m a n n-L i o u v i l l eF r a c t i o n a l I n t e g r a lL I ANT i e y a n,D ANGX i a o n a nS c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dD a t aS c i e n c e,S h a a n x iU n i v e r s i t yo f S c i e n c ea n dT e c h n o l o g y,X ia n7 1 0 0 2 1,C h i n aA b s t r a c t:B y i n t r o d u c i n gk-R i e m a n n-L i o u v i l l e f r a c t i o n a l i n t e g r a l sa n dh-c o n v e xf u n c t i o n,a n de s t a b l i s h i n gO s t r o w s k i t y p e i n t e g r a l i n e q u a l i t i e sf o rk-R i e m a n n-L i o u v i l l ef r a c t i o n a l i n t e g r a l,s o m en e w H e r m i t e-H a d-a m a r dt y p e i n t e g r a l i n e q u a l i t i e s a r ee s t a b l i s h e d.C o m p a r e dw i t hs o m ee x i s t i n gr e s u l t s,t h eo b t a i n e dr e s u l t sh a v e s o m e a d v a n t a g e s i n i n t e g r a l f o r ma n dd a t ap o i n t t y p e,w h i c hm a k e s t h eH e r m i t e-H a d a m a r d t y p e i n t e-g r a l i n e q u a l i t ym o r ew i d e l ya p p l i c a b l e.F i n a l l y,a na p p l i c a t i o no fO s t r o w s k i t y p ek-R i e m a n nL i o u v i l l e f r a c-t i o n a l i n t e g r a l i n e q u a l i t y i np r o b a b i l i t y i sg i v e n.K e yw o r d s:H e r m i t e-H a d a m a r dt y p ei n t e g r a li n e q u a l i t y;O s t r o w s k it y p ei n t e g r a li n e q u a l i t y;h-c o n v e xf u n c t i o n;k-R i e m a n n-L i o u v i l l e f r a c t i o n a l i n t e g r a l相较于整数阶微积分而言,分数阶微积分的优势在于能够更加精确地描述复杂的机械和力学过程.特别地,分数阶积分不等式有助于确定某些分数阶偏微分方程的解,为分数阶边界解提供上界和下界.通过引入分数阶积分算子来探索某些扩展和推广凸性,在数学问题解的优化中起着非常重要的作用1-3.收稿日期:2 0 2 2 1 2 1 1基金项目:国家自然科学基金项目(1 1 8 0 1 3 4 2);陕西省自然科学基础研究计划项目(2 0 2 3-J C-Y B-0 4 3).作者简介:连铁艳,副教授,博士,主要从事算子不等式的研究.在本文中,记R是实数域,IR,Io是I的内部.文献4 给出了凸函数的H e r m i t e-H a d a m a r d型积分不等式.定理14 设f:I RR是凸函数,对于任意a,bI,a0,fL1a,b,则函数f的阶左R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分和阶右R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分分别定义为Ja+f(x)=1()xa(x-t)-1f(t)dt xaJb-f(x)=1()bx(t-x)-1f(t)dt xb其中()是G a mm a函数,即()=+0e-tt-1dt.文献7引入了R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分,证明了与(1)式的第二个不等式有关的结论:引理17 设f:Io RR是Io上的可微函数,a,bIo,ab.如果f La,b,则下面R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分等式成立:f(a)+f(b)2-(+1)2(b-a)Ja+f(b)+Jb-f(a)=b-a210(1-t)-tf(t a+(1-t)b)dt(3)定理27 设f:Io RR是Io上的可微函数,a,bIo,ab.如果|f|是a,b上的凸函数,则下面R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分不等式成立:f(a)+f(b)2-(+1)2(b-a)Ja+f(b)+Jb-f(a)b-a2(+1)1-12|f(a)|+|f(b)|(4)关于R i e m a n n-L i o u v i l l e分 数 阶 积 分 不 等 式 的 最 新 结 果 可 参 见 文 献 1 1-1 2.文 献 1 5引 入 了R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分,证明了与(1)式的第一个不等式有关的结论:引理21 5 设f是在I上的实值函数,且在Io上可微,a,bI且ab,f La,b,则下面R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分等式成立:fa+b2+(+1)b-a2a-b-1Ja+b2()+f(a)-2b-a-1Ja+b2()+f(b)=b-a410tf ta+b2+(1-t)adt-10tf ta+b2+(1-t)bdt(5)定理31 5 设f:IoRR是Io上的可微函数,a,bIo,a0,fL1a,b,函数f的阶左k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分和阶右k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分分别定义为2西南师范大学学报(自然科学版)h t t p:/x b b j b.s w u.e d u.c n 第4 8卷J,ka+f(x)=1kk()xa(x-t)k-1f(t)dt xaJb-f(x)=1kk()bx(t-x)k-1f(t)dt x0,k()是k-G a mm a函数,即k()=+0e-tkkt-1dt.明显地,当k=1时,k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分就是R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分.若k=1且=1,则k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分就是R i e m a n n积分.本文的目的是引入k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分和h-凸函数,通过建立O s t r o w s k i型积分不等式,由取特殊值法,构造出更多点处新的H e r m i t e-H a d a m a r d型积分不等式,从而拓宽H e r m i t e-H a d a m a r d型积分不等式的适用范围,并且推广已有的一些结论.1 k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分等式要建立O s t r o w s k i型k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分不等式,首先给出相关的等式.定理4 设f:IoRR是Io上的可微函数,a,bIo,ab.如果f La,b,则对x,y(a,b),有k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分等式:(x-a)kf(x)+(b-y)kf(y)b-a-k(+k)b-aJ,kx-f(a)+J,ky+f(b)=(x-a)k+1b-a10tkf(t x+(1-t)a)dt-(b-y)k+1b-a10tkf(t y+(1-t)b)dt(7)证 由分部积分法及变量代换u=t x+(1-t)a,利用k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分的定义,有10tkf(t x+(1-t)a)dt=1x-af(x)-k10tk-1f(t x+(1-t)a)dt=1x-af(x)-k(x-a)k+1xa(u-a)k-1f(u)du=1x-af(x)-k(+k)(x-a)k+11kk()xa(u-a)k-1f(u)du=1x-af(x)-k(+k)(x-a)k+1J,kx-f(a)(8)类似地,10tkf(t y+(1-t)b)dt=-1b-yf(y)-k(y-b)k+1yb(u-b)k-1f(u)du=-1b-yf(y)+k(b-y)k+1by(b-u)k-1f(u)du=-1b-yf(y)+k(+k)(b-y)k+11kk()by(b-u)k-1f(u)du=-1b-yf(y)+k(+k)(b-y)k+1J,ky+f(b)(9)由(8)式和(9)式,经过简单的计算,则(7)式成立.推论1 设f:Io RR是Io上的可微函数,a,bIo,ab.如果f La,b,则对3第8期 连铁艳,等:关于k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分的O s t r o w s k i型积分不等式x(a,b),有k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分等式:(x-a)k+(b-x)kb-af(x)-k(+k)b-aJ,kx-f(a)+J,kx+f(b)=(x-a)k+1b-a10tkf(t x+(1-t)a)dt-(b-x)k+1b-a10tkf(t x+(1-t)b)dt(1 0)证 在定理4中,利用(7)式,令x=y即推论1得证.推论21 1 设f:Io RR是Io上的可微函数,a,bIo,ab.如果f La,b,则对x(a,b),有R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分等式:(x-a)+(b-x)b-af(x)-(+1)b-aJx-f(a)+Jx+f(b)=(x-a)+1b-a10tf(t x+(1-t)a)dt-(b-x)+1b-a10tf(t x+(1-t)b)dt(1 1)证 由推论1,利用(1 0)式,取k=1即推论2得证.推论3 设f:IoRR是Io上的可微函数,a,bIo,ab.如果f La,b,r1且rm0,则下面k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分等式成立:f(r-m)a+m br+fm a+(r-m)br2-k(+k)2rm(b-a)kJ,k(r-m)a+m br()-f(a)+J,km a+(r-m)br()+f(b)=m(b-a)2r10tkf t(r-m)a+m br+(1-t)adt-10tkf tm a+(r-m)br+(1-t)bdt(1 2)证 在定理4中,利用(7)式,取x=(r-m)a+m br和y=m a+(r-m)br,(1 2)式成立.注1 利用推论3的结果,对参数,k,m,r取特殊的值,可得到函数在一些特殊点处的普通积分或者分数阶积分等式.比如,令m=r,k=1,经简单计算,则引理1成立.利用这些等式,可以讨论函数在特殊点处的梯形积分不等式,即推广H e r m i t e-H a d a m a r d型积分不等式(1)中右侧项与中间项差值的估计.推论4 设f:IoRR是Io上的可微函数,a,bIo,ab.如果f La,b,r1且rm0,则有k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分等式:(b-a)k-1r-mrk+(b-a)k-1mrkfm a+(r-m)br-k(+k)b-aJ,km a+(r-m)br()-f(a)+J,km a+(r-m)br()+f(b)=r-mrk+1(b-a)k10tkf tm a+(r-m)br+(1-t)adt-mrk+1(b-a)k10tkf tm a+(r-m)br+(1-t)bdt(1 3)证 由推论1,利用(1 0)式,取x=(r-m)a+m br,经过简单的计算,则可得(1 3)式成立.推论5 设f:Io RR是Io上的可微函数,a,bIo,ab.如果f La,b,则有k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分等式:fa+b2-k(+k)b-a2b-ak-1(J,ka+b2()-f(a)+J,ka+b2()+f(b)=b-a410tkf ta+b2+(1-t)adt-10tkf ta+b2+(1-t)bdt(1 4)4西南师范大学学报(自然科学版)h t t p:/x b b j b.s w u.e d u.c n 第4 8卷 证 由推论4,利用(1 3)式,取r=2m,经过简单的计算,则可得(1 4)式成立.注2 利用推论4的结果,当参数,k,m,r取特殊的值时,可得到函数在一些特殊点处的普通积分或者分数阶积分等式.比如,令r=2m,k=1,则引理2成立.利用这些等式,可以讨论函数在特殊点处的积分不等式,即推广H e r m i t e-H a d a m a r d型积分不等式(1)中左侧项与中间项差值的估计.2 k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分不等式作为通常凸函数的推广,文献6介绍了h-凸函数的定义:定义36 设(0,1)J,h:JRR为非负函数.如果对于非负函数f:IRR,x,yI,(0,1),有f(x+(1-)y)h()f(x)+h(1-)f(y)(1 5)则称f是I上的h-凸函数.如果不等式(1 5)反向,则称f是I上的h-凹函数.明显地,若h()=s,s(0,1),则h-凸函数就是第二意义上的s-凸函数;若h()=,则h-凸函数就是通常的凸函数,h-凹函数就是通常的凹函数;分别当h()=1,h()=1t,h()=1ts(s(0,1)时,利用(1 5)式,分别可定义P-函数、G o d u n o v a-L e v i n函数、第二意义上的s-G o d u n o v a-L e v i n函数.关于凸函数的经典概念在各种不同的方向上的推广研究可参见文献8-1 0.我们首先建立h-凸函数的O s t r o w s k i型k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分不等式.然后通过取函数的特殊值,就可以得到多个H e r m i t e-H a d a m a r d型积分不等式的推广形式.比如,得到的某些结论就是对定理2、定理3的推广.定理5 设f:IoRR是Io上的可微函数,a,bIo,ab.如果f La,b且|f|是a,b 上的h-凸函数,|f|M,则对x,y(a,b),有k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分不等式:(x-a)kf(x)+(b-y)kf(y)b-a-k(+k)b-a(J,kx-f(a)+J,ky+f(b)M(x-a)k+1+(b-y)k+1)b-a10tkh(t)+h(1-t)dt(1 6)证 因为|f|是a,b上的h-凸函数且|f|M,所以有|f(t x+(1-t)a)|h(t)|f(x)|+h(1-t)|f(a)|h(t)+h(1-t)M和|f(t y+(1-t)b)|h(t)|f(y)|+h(1-t)|f(b)|h(t)+h(1-t)M由定理4,则(x-a)kf(x)+(b-y)kf(y)b-a-k(+k)b-a(J,kx-f(a)+J,ky+f(b)(x-a)k+1b-a10tkf(t x+(1-t)a)dt+(b-y)k+1b-a10tkf(t y+(1-t)b)dtM(x-a)k+1+(b-y)k+1)b-a10tkh(t)+h(1-t)dt 推论6 设f:IoRR是Io上的可微函数,a,bIo,ab.如果f La,b 且|f|是a,b 上的h凸函数,|f|M,则对x(a,b),有k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分不等式:(x-a)k+(b-x)k)b-af(x)-k(+k)b-a(J,kx-f(a)+J,kx+f(b)M(x-a)k+1+(b-x)k+1)b-a10tkh(t)+h(1-t)dt(1 7)证 由定理5,利用(1 6)式,令x=y,则推论6得证.注3 在推论6的条件下,如果令k=1,则由(1 7)式,可得文献1 7中的定理1,即给出关于5第8期 连铁艳,等:关于k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分的O s t r o w s k i型积分不等式R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分的O s t r o w s k i型积分不等式;如果令=1,k=1,注意f(t x+(1-t)a)M和f(t x+(1-t)b)M,采用定理5的证明可得(2)式成立.定理6 设(0,1)J,h:JRR为非负函数,f:IoRR是Io上的可微函数,a,bIo,ab,f La,b,如果|f|是a,b 上的h-凸函数,则下面k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分不等式成立:fa+b2-k(+k)b-a2b-ak-1(J,ka+b2()-f(a)+J,ka+b2()+f(b)b-a4(|f(a)|+|f(b)|)10tkht2+h1-t2dt(1 8)证 因为ta+b2+(1-t)a=1-t2a+12t b且|f|是a,b上的h-凸函数,所以f ta+b2+(1-t)ah1-t2|f(a)|+ht2|f(b)|同理f ta+b2+(1-t)bht2|f(a)|+h1-t2|f(b)|由推论5,有fa+b2-k(+k)b-a2b-ak-1(J,ka+b2()-f(a)+J,ka+b2()+f(b)b-a410tkf ta+b2+(1-t)a+tkf ta+b2+(1-t)bdtb-a4(|f(a)|+|f(b)|)10tkht2+h1-t2dt 推论7 设(0,1)J,h:JRR为非负函数,f:IoRR是Io上的可微函数,a,bIo,ab,f La,b,如果|f|是a,b上的凸函数,则下面k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分不等式成立:fa+b2-k(+k)b-a2b-ak-1(J,ka+b2()-f(a)+J,ka+b2()+f(b)k(b-a)4(+k)(|f(a)|+|f(b)|)(1 9)注4 令k=1,利用(1 9)式可得文献1 1中的结论,即定理3.定理7 设(0,1)J,h:JRR为非负函数,f:IoRR是Io上的可微函数,a,bIo,ab,f La,b,r 1且rm 0,如 果|f|是 a,b上 的h凸 函 数,则 下 面k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分不等式成立:f(r-m)a+m br+fm a+(r-m)br2-k(+k)2rm(b-a)k(J,k(r-m)a+m br()-f(a)+J,km a+(r-m)br()+f(b)m(b-a)2r(|f(a)|+|f(b)|)10tkhmrt+h1-mrtdt(2 0)证 因为t(r-m)a+m br+(1-t)a=mrt b+(1-mrt)a且|f|是a,b上的h-凸函数,所以6西南师范大学学报(自然科学版)h t t p:/x b b j b.s w u.e d u.c n 第4 8卷f t(r-m)a+m br+(1-t)ahmrt|f(b)|+h1-mrt|f(a)|(2 1)同理f tm a+(r-m)br+(1-t)bhmrt|f(a)|+h1-mrt|f(b)|(2 2)利用(1 2),(2 1)和(2 2)式,则(2 0)式成立.推论8 设该推论条件与定理7相同,则下面k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分不等式成立:f(r-m)a+m br+fm a+(r-m)br2-k(+k)2rm(b-a)k(J,k(r-m)a+m br()-f(a)+J,km a+(r-m)br()+f(b)m k(b-a)2r(+k)(|f(a)|+|f(b)|)(2 3)定理8 设f:Io RR是Io上的可微函数,a,bIo,ab.如果|f|是a,b上的凸函数,则下面k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分不等式成立:f(a)+f(b)2-k(+k)21b-ak(J,kb-f(a)+J,ka+f(b)k(b-a)2(+k)1-12k(f(a)+f(b)(2 4)证 由推论3,有f(a)+f(b)2-k(+k)21b-ak(J,kb-f(a)+J,ka+f(b)=b-a210(tk-(1-t)k)f t b+(1-t)a()dt于是f(a)+f(b)2-k(+k)21b-ak(J,kb-f(a)+J,ka+f(b)b-a210|tk-(1-t)k|f t b+(1-t)a()dtb-a210|tk-(1-t)k|t f(b)+(1-t)f(a)dt=b-a2120(1-t)k-tk t f(b)+(1-t)f(a)dt+112tk-(1-t)k t f(b)+(1-t)f(a)dt=b-a2(K1+K2)(2 5)其中K1,K2分别为K1=f(b)120(1-t)k-tktdt+f(a)120(1-t)k-tk(1-t)dt=f(b)120(1-t)k-tktdt+f(a)120(1-t)k-tk(1-t)dt=f(b)k2(+k)(+2k)-k+k12k+1+f(a)k+2k-k+k12k+17第8期 连铁艳,等:关于k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分的O s t r o w s k i型积分不等式K2=112tk-(1-t)k t f(b)+(1-t)f(a)dt=f(b)112tk-(1-t)ktdt+f(a)112tk-(1-t)k(1-t)dt=f(b)k+2k-k+k12k+1+f(a)k2(+k)(+2k)-k+k12k+1在(2 5)式中,带入K1,K2则有(2 4)式成立.注5 令k=1,利用(2 4)式可得文献5中的结论,即定理2.3 在概率方面的应用令X是区间a,b 上的连续型随机变量,X的概率密度函数为p(x):a,b(0,+),则其分布函数为F(x)=P r(Xx)=xap(t)dtr阶矩为E(Xr)=batrp(t)dt r=1,2,3若x1,x2a,b,记Ex1,x2(Xr)=x2x1trp(t)dt.利用k-R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分的定义及随机变量函数的矩计算公式,则J,ka+p(x)=1kk()Ea,x(x-X)k-1)Jb-p(x)=1kk()Ex,b(X-x)k-1)定理9 设连续型随机变量X的分布函数F(x)在a,b 上可微,密度函数F(x)是a,b 上的凸函数且|F(x)|M,则1b-aEx,b(b-X)k)-Ea,x(X-a)k)k M(x-a)k+1+(b-x)k+1)(+k)(b-a)(2 6)证 利用分部积分法,分布函数的性质及随机变量函数的矩计算公式,有J,kx-F(a)=1kk()xa(t-a)k-1F(t)dt=1k()xaF(t)d(t-a)k=1k()F(x)(x-a)k-xa(t-a)kF(t)dt=1k()F(x)(x-a)k-Ea,x(X-a)k)(2 7)和J,kx+F(b)=1kk()bx(b-t)k-1F(t)dt=-1k()bxF(t)d(b-t)k=1k()F(x)(b-x)k+bx(b-t)kF(t)dt=1k()F(x)(b-x)k+Ex,b(b-X)k)(2 8)由推论6,利用(1 7),(2 6),(2 7)式以及概率密度函数F(x)的有界性和凸性,则定理9得证.推论9 设定理9的条件满足,则当k=1时,对x R,有P r(Xx)-b-E(X)b-aM(x-a)2+(b-x)2)2(b-a)8西南师范大学学报(自然科学版)h t t p:/x b b j b.s w u.e d u.c n 第4 8卷参考文献:1M I L L E R KS,R O S SB.A nI n t r o d u c t i o nt ot h eF r a c t i o n a lC a l c u l u sa n dF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sM.N e wY o r k:J o h nW i l e ya n dS o n s I n c,1 9 9 3.2 P O D L U B NYI.F r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sM.S a nD i e g o:A c a d e m i cp r e s s,1 9 9 9.3 黎君.一类凸不等式系统的鲁棒半径和不确定复分式规划问题的最优性条件D.重庆:西南大学,2 0 2 0.4 P ECA R I CJE,P R O S CHANF,TON G YL.C o n v e xF u n c t i o n s,P a r t i a lO r d e r i n g s,a n dS t a t i s t i c a lA p p l i c a t i o n sM.B o s t o n:A c a d e m i cP r e s s,1 9 9 2.5 O S T R OWS K IA.b e rD i eA b s o l u tA b w e i c h u n gE i n e rD i f f e r e n t i i e r b a r e nF u n k t i o nV o nI h r e mI n t e g r a l m i t t e l w e r tJ.C o mm e n t a r i iM a t h e m a t i c iH e l v e t i c i,1 9 3 7,1 0(1):2 2 6-2 2 7.6 GO R E N F L O R,MA I NA R D IF.F r a c t i o n a lC a l c u l u s:I n t e g r a la n dD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n so fF r a c t i o n a lO r d e rM/C A R P I N T E R IA,MA I NA R D IF.F r a c t a l sa n dF r a c t i o n a lC a l c u l u s i nC o n t i n u u m M e c h a n i c s.V i e n n a:S p r i n g e r,1 9 9 7:2 2 3-2 7 67 S A R I KAYA M Z,S E T E,YA L D I Z H,e ta l.H e r m i t e-H a d a m a r dsI n e q u a l i t i e sf o rF r a c t i o n a lI n t e g r a l sa n dR e l a t e dF r a c t i o n a l I n e q u a l i t i e sJ.M a t h e m a t i c a l a n dC o m p u t e rM o d e l l i n g,2 0 1 3,5 7(9/1 0):2 4 0 3-2 4 0 7.8 D R A G OM I RSS.H e r m i t e-H a d a m a r dT y p eI n e q u a l i t i e sf o rG e n e r a l i z e dR i e m a n n-L i o u v i l l eF r a c t i o n a lI n t e g r a l so fh-C o n v e xF u n c t i o n sJ.M a t h e m a t i c a lM e t h o d s i nt h eA p p l i e dS c i e n c e s,2 0 2 1,4 4(3):2 3 6 4-2 3 8 0.9 L I ANTY,TANG W.G e n e r a l i z a t i o n so fH e r m i t e-H a d a m a r dT y p e I n e q u a l i t i e s I n v o l v i n gS-C o n v e xF u n c t i o n sJ.C h i-n e s eQ u a r t e r l yJ o u r n a l o fM a t h e m a t i c s,2 0 1 8,3 3(3):2 7 8-2 8 6.1 0NOO R M A,NOO RKI,AWAN M U.F r a c t i o n a lO s t r o w s k i I n e q u a l i t i e s f o rs-G o d u n o v a-L e v i nF u n c t i o n sJ.I n t e r n a-t i o n a l J o u r n a l o fA n a l y s i sa n dA p p l i c a t i o n s,2 0 1 4,5(2):1 6 7-1 7 3.1 1S E TE.N e wI n e q u a l i t i e so fO s t r o w s k iT y p e f o rM a p p i n g sW h o s eD e r i v a t i v e s a r es-C o n v e x i n t h eS e c o n dS e n s eV i aF r a c-t i o n a l I n t e g r a l sJ.C o m p u t e r s&M a t h e m a t i c sw i t hA p p l i c a t i o n s,2 0 1 2,6 3(7):1 1 4 7-1 1 5 4.1 2NOO R M A,NOOR KI,AWAN M U,e ta l.F r a c t i o n a lH e r m i t e-H a d a m a r dI n e q u a l i t i e sf o rS o m eN e w C l a s s e so fG o d u n o v a-L e v i nF u n c t i o n sJ.A p p l i e dM a t h e m a t i c s&I n f o r m a t i o nS c i e n c e s,2 0 1 4,8(6):2 8 6 5-2 8 7 2.1 3吴欣锟.一类新的带有相同参数的混合分数阶可微变分不等式的拓扑处理方法 J.西南大学学报(自然科学版),2 0 2 0,4 2(1 2):1 0 3-1 0 6.1 4罗杰,李晓.一个关于混合锥体积测度的子空间集中不等式 J.西南师范大学学报(自然科学版),2 0 2 1,4 6(4):3 4-3 7.1 5L I ANTY,TANG W,Z HOUR.F r a c t i o n a lH e r m i t e-H a d a m a r d I n e q u a l i t i e s f o r(s,m)-C o n v e xo rs-C o n c a v eF u n c t i o n sJ.J o u r n a l o f I n e q u a l i t i e sa n dA p p l i c a t i o n s,2 0 1 8,2 0 1 8(1):1-1 1.1 6MU B E E NS,HA B I B U L L AHG M.k-F r a c t i o n a l I n t e g r a l s a n dA p p l i c a t i o n sJ.I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fA p p l i e dM a t h e-m a t i c sa n dC o m p u t e rS c i e n c e,2 0 1 2,7(2):8 9-9 4.1 7L I U W J.S o m eO s t r o w s k iT y p eI n e q u a l i t i e sV i aR i e m a n n-L i o u v i l l eF r a c t i o n a lI n t e