基于“价格差”策略的Bertrand双寡头博弈模型演化分析.pdf

H J S F X Y X B1 8基基于“价格差”策略的B e r t r a n d双寡头博弈模型演化分析周心莲1,杜明娟2(1.汉江师范学院 数学与计算机科学学院,湖北 十堰 4 4 2 0 0 0;2.南京审计大学 金融学院,江苏 南京 2 1 1 8 1 5)摘 要 在寡头博弈模型中,由于厂商无法得到充分的信息,只有在有限理性的基础上根据“边际利润”或“边际效用”来定产定价.通过引入“价格差”这一影响决策的重要因素,研究了双寡头B e r t r a n d博弈模型均衡解的稳定性、分叉图、最大李雅普诺夫指数图等动力学演化行为.研究结果表明,引入“价格差”后的动态博弈系统对厂商的调整系数更为敏感,当厂商调整速度较小变化时,系统便会出现分叉、混沌等一系列复杂动力学现象.因此,厂商如何避免价格变化对企业稳健的影响是经济、金融风险管理中的重要工作.关键词B e r t r a n d模型;价格差;分叉;混沌控制 d o i1 0.1 9 5 7 5/j.c n k i.c n 4 2-1 8 9 2/g 4.2 0 2 3.0 3.0 0 4 中图分类号F 2 2 4 文献标识码A 文章编号2 0 9 63 7 3 4(2 0 2 3)0 30 0 1 80 5 价格竞争是现在厂商竞争的主要方式之一,寡头市场也是如此.例如,我国保险业、餐饮业等寡头效应愈演愈烈,因此研究寡头市场上厂商的价格演化机制,对于我国市场经济的稳定具有现实意义.古诺模型和伯特兰模型1是寡头博弈模型研究中最常用的两个寡头模型,古诺模型是以产量作为决策变量,伯特兰模型是以价格为决策变量,它们都是完全信息静态博弈模型,这与现实情况往往是不相符合的,每个寡头厂商无法在获得充分信息的基础上去做最有利于自己的决策.为了更贴近现实情况以及研究结果更有说服力和实用性,很多学者运用分叉图、最大L e指数2等对寡头博弈及混沌控制做了很多研究.如易余胤等(2 0 0 5)3构建了一个具有溢出效应的双寡头价格博弈模型,使用非线性的成本函数探究了价格调整率.魏翔(2 0 0 8)4等从数学上严格证明了伯川德博弈的结果,并说明伯川德博弈的均衡点严格地说来是双方都定价于比边际成本高出一个相同的极小量的位置上.杨晓花等(2 0 0 9)5将超模博弈理论应用于B e r t r a n d寡头博弈中,说明了为什么通常情况下较高的广告水平对应着较高的价格.卢亚丽(2 0 1 2)6则是构建了一个主从型的B e r t r a n d价格博弈模型,通过数值仿真得出厂商需要保持较低的价格调节速度,获得纳什均衡利润方是最优结果.王继平等(2 0 1 3)7基于无限重复古诺双寡头博弈框架,证明成本不对称与卡特尔稳定性的关系取决于卡特尔的产量分配规则.于维生、于羽(2 0 1 3)8探究了基于伯川德推测变差的有限理性动态寡头博弈的复杂性,发现在稳定域外经济系统会出现分 叉 等 一 系 列 复 杂 行 为.Y iQ i-g u o(2 0 1 5)9等则分析了我国空调市场上寡头的价格竞争,研究了其价格演化机制.上述文献对寡头模型做了许多有价值的讨论,但文献大都基于寡头模型中的“边际利润”或“边际效用”来定产定价.不同于以往研究,本文在双寡头B e r t r a n d博弈模型中引入了“价格差”这一决策影响因素,2 0 2 3年6月汉江师范学院学报J u n.2 0 2 3第4 3卷第3期J o u r n a l o fH a n j i a n gN o r m a lU n i v e r s i t yV o l.4 3 N o.3 收稿日期2 0 2 2-1 0-0 9 基金项目 湖北省教育厅科研项目“基于动力学理论的经济、金融系统建模与分析”(项目编号:B 2 0 1 8 2 1 6).作者简介 周心莲(1 9 7 6-),女,湖北枝江人,汉江师范学院数学与计算机科学学院副教授,硕士,主要从事金融数学研究.H J S F X Y X B1 9也就是前一期两个寡头之间的价格差对当期两个寡头各自的影响,显然,寡头之间的博弈会使各个寡头根据“价格差”来调整自己的价格.“价格差”的引入会使博弈模型更接近实际情况.本文尝试在引入了“价格差”这一决策影响因素来分析模型的一些性质,并给出相应的经济学解释,为厂商科学的决策提供依据.1 模型建立 假设现某行业中有两个寡头厂商,他们的需求函数分别为:q1(p1,p2)=a-p1+dp2q2(p1,p2)=a-p2+dp1(1.1)其中a0,0d1,p1,q1为厂商1的价格和产量,p2,q2为厂商2的价格和产量,d是两个厂商产品的替代系数,d越大,则表明两个产品之间替代程度越高,产品差异越小.厂商1和厂商2采取的都是价格决策.为简化计算,我们假设两个厂商的成本函数均为一次型:Ci=ciqi,i=1,2(1.2)由(1.1)和(1.2)式我们便可得出厂商1和厂商2的利润函数分别为1=(p1-c1)(a-p1+dp2)2=(p2-c2)(a-p2+dp1)(1.3)进而我们可以得到两个厂商的边际利润函数分别为:1p1=a+c1-2p1+dp22p2=a+c2-2p2+dp1(1.4)根据生产者利润最大化条件,我们可以令两个厂商的边际利润函数为零来求得对应的最优价格和最优产量,但在现实中这往往是难以实现的,因为企业无法获得完全的信息,无法获知竞争对手的价格或产量决策,因此我们假设厂商1和厂商2均在有限理性的基础上进行价格或产量的决策.当边际利润在第t期为正时,厂商便会在第t+1期增加价格或产量,反之当边际利润在第t期为负时,厂商便会在第t+1期降低价格或产量.因此,根据竞争对手的历史信息,在B e r t r a n d博弈模型中引入影响决策的另一个重要影响因素 “价格差”,由此得到B e r t r a n d双寡头的动态博弈模型p1(t+1)=p1(t)+1p1(t)1(t)p1(t)+1p1(t)(p2(t)-p1(t),(1)p2(t+1)=p2(t)+2p2(t)2(t)p2(t)+2p2(t)(p1(t)-p2(t),(2)(1.5)在(1.5)的(1)式中,1和2分别为两个厂商进行价格调节的调节速度或幅度系数.(p2(t)-p1(t)表示在第t期厂商1和厂商2的“价格差”,若p2(t)-p1(t)0,则表明在第t期厂商2的价格高于厂商1的价格,厂商1在第t期定价相对偏低,在第t+1期厂商1便会提高价格.同理在(1.5)的(2)中,(p1(t)-p2(t)表示在第t期厂商1和厂商2的“价格差”,若p1(t)-p2(t)0,则表明在第t期厂商1的价格高于厂商2的价格,厂商2在第t期定价相对偏低,在第t+1期厂商2便会提高价格.在(1.5)式中,我们用边际利润和上期价格差来刻画模型.边际利润为零是厂商利润最大时的最优解,当边际利润大于零时,厂商便继续提高价格,当边际利润小于零时,厂商便降低价格,以此来达到最优价格,它是由厂商自身决定的.边际利润刻画模型并未充分考虑竞争对手的历史信息,一般短期内最优价格不会有很大的波动,而“价格差”是两个厂商上一时期的价格差额,进一步考虑了对手的历史信息,很大程度上主要是由竞争对手价格决定的.因此可将价格差作为一个影响决策的因素在模型中加以考虑.2 寡头模型复杂性分析2.1 均衡点分析 市场中两个寡头厂商经过多次的策略周心莲,杜明娟:基于“价格差”策略的B e r t r a n d双寡头博弈模型演化分析H J S F X Y X B2 0博弈,不断地调整自己的策略最终会达到一种均衡,在这种均衡下,只要竞争对手不改变自己的策略,另一个寡头厂商也不会改变自己的策略选择,即满足:p1(t+1)=p1(t)=p*1(t);p2(t+1)=p2(t)=p*2(t),根据式(1.5.1)和(1.5.2),我们可以求出系统的四个均衡点分别为:E1=(0,0),E2=(a+c13,0),E3=(0,a+c23),E4=(-4a+3c1+c2+a d+c2dd2+2d-8,-4a+3c2+c1+a d+c1dd2+2d-8),很显然E1,E2,E3是有界均衡点,E4是纳什均衡点,我们要讨论四个均衡点的稳定性情况:1.对于均衡点E1=(0,0),其对应的雅克比矩阵为:J(E1)=1+1(a+c1)001+2(a+c2 ),其特征值1=1+1(a+c1),2=1+2(a+c2)均大于1,因此均衡点E1是不稳定的.2.对于均衡点E2=(a+c13,0),其对应的雅克比矩阵为:J(E2)=1-1(a+c1)1(d+1)a+c1301+2a+c2+(d+1)a+c13,其中一个特征值1=1+2a+c2+(d+1)a+c13 大于1,因此均衡点E2是不稳定的.3.对于均衡点E3=(0,a+c23),其对应的雅克比矩阵为:J(E3)=1+1a+c1+(d+1)a+c2302(d+1)a+c231-2(a+c2),其中一个特征值1=1+1a+c1+(d+1)a+c23 大于1,因此均衡点E3也是不稳定的.4.对于均衡点E4=(-4a+3c1+c2+a d+c2dd2+2d-8,-4a+3c2+c1+a d+c1dd2+2d-8),其对应的雅克比矩阵为:J(E4)=u1(d+1)p*12(d+1)p*2 v,其中:u=1+1a+c1-6p*1+(d+1)p*2,v=1+2a+c2-6p*2+(d+1)p*1p*1(t)=-4a+3c1+c2+a d+c2dd2+2d-8,p*2(t)=-4a+3c2+c1+a d+c1dd2+2d-8.为了判断均衡点E4点的稳定性,我们需得出其雅克比矩阵的特征方程为:2+A+B=0,其中A=-2-1a+c1-6p*1+(d+1)p*2-2a+c2-6p*2+(d+1)p*1,B=1+1(a+c1-6p*1+(d+1)p*2)1+2(a+c2-6p*2+(d+1)p*1)-12(d+1)2p*1p*2.根据离散系统判定稳定域的J u r y条件,即要满足如下条件:B+A+10B-A+10B-10.根据J u r y条 件,我 们 可 以 得 出 关 于1,2的一个隐函数关系,在我们对其他参数进行赋值后,满足条件的所有(1,2)即为均衡点E4的稳定域,当(1,2)取值位于稳定域,则系统处于稳定状态,否则系周心莲,杜明娟:基于“价格差”策略的B e r t r a n d双寡头博弈模型演化分析H J S F X Y X B2 1统则失去稳定并逐渐进入混沌无序状态.因此,厂商在纳什均衡点E4的稳定域内调整速度(1,2),有利于厂商长远的健康发展.2.2 数值模拟分析 在本节中,我们通过对动态博弈系统中的参数赋值,以此来更直观的观察“价格差”对厂商稳定性的影响.2.2.1“价格差”对系统稳定性的影响 对参数赋值如下:a=4,c1=0.3,c2=0.2,d=0.4,初始值为p1(t)=1,p2(t)=1.通过画出两个厂商的分叉图和最大李雅普诺夫指数图来观察系统的演化行为.固定厂商1的价格调整速度1=0.2,厂商的价格分叉图和最大李雅普诺夫指数图(如图1、图2所示).图1不含价格差时厂商的价格演化图2含有价格差时厂商的价格演化图 图1是厂商在引入“价格差”前,厂商1和厂商2在调节速度2=0.3 5 8 2时发生了首次分叉,当李雅普诺夫指数值大于零时,厂商1和厂商2的价格演化进入混沌状态.图2是在引入“价格差”后,厂商1和厂商2在调节速度2=0.1 3 5 2时发生了首次分叉行为,当李雅普诺夫指数值大于零时,厂商1和厂商2的价格演化出现混沌状态.由图1和图2可知,尽管厂商1的价格调节速度1=0.2固定了,但厂商1考虑到了历史信息“价格差”后,厂商1的价格演化稳定性也受到厂商2的影响,这是符合实际情形的,因为价格差同时含有厂商1和厂商2上一期的信息.另外,由0.1 3 5 20.3 7时,系统逐渐从稳定状态发生分叉最后进入混沌状态,而从图6中可知,在引入“价格差”前,两个厂商随着产品替代程度d0.9时,系统发生分叉,厂商从稳定状态进入不稳定状态.这是因为随着产品系数的不断增大,产品的同质程度越来越高,两个厂商之间易发生价格战,进而使市场失稳,进入不稳定状态.比较图5-6可知:在引入“价格差”后,厂商在产品替代程度大于0.3 7就分叉了,说明替代程度减弱,而在引入“价格差”前,产品替代程度在0-0.9之间,d越大替代程度越强.因此,两个厂商在引入“价格差”后,产品替代程度进一步减弱,影响了产品差异化水平.3 结 论 本文以B e r t r a n d博弈模型为对象,通过在寡头模型中引入“价格差”这一影响博弈双方的历史决策信息,分析了基于“价格差”策略的B e r t r a n d双寡头博弈模型的演化行为,理论和数值仿真研究表明:引入“价格差”的博弈模型更符合实际问题;基于“价格差”的动态博弈模型对厂商的调整系数更为敏感,影响系统的稳定性;基于“价格差”的动态博弈模型使产品替代程度进一步减弱,影响了产品差异化水平.总之,管理者应根据自己的实际情况制定适合自己的价格策略,保证企业目标的顺利实现.参考文献1 张维迎.博弈论与信息经济学 M.上海:上海人民出版社,2 0 0 4.2 埃德加彼得斯.资本市场的混沌与秩序 M.北京:经济科学出版社,1 9 9 9.3 易余胤,盛昭瀚,肖条军.具有溢出效应的有限理性双寡头博弈的动态演化J.系统工程学报,2 0 0 5(0 4).4 魏 翔,对伯川德博弈的正式数学证明与扩展运用J.经济评论,2 0 0 8(1).5 杨晓花,罗云峰,吴辉球.B e r t r a n d模型与超模博弈J.中国管理科学,2 0 0 9(1).6 卢亚丽.主从型B e r t r a n d价格博弈模型及其动力学分析J.系统工程,2 0 1 2(2).7 王继平 李景焕 成本不对称使卡特尔更难维持吗?J.南开经济研究,2 0 1 3(1).8 于维生,于 羽.基于伯川德推测变差的有限理性动态寡头博弈的复杂性J.数量经济技术经济研究,2 0 1 3(2).9Q iG u oY i,X i a n g J i nZ e n g,2 0 1 5.C o m p l e xd y n a m i c s a n dc h a o s c o n t r o l o fd u o p o l yB e r t r a n dm o d e l i nC h i n e s e a i r-c o n d i t i o n i n gm a r k e tM.C h a o sS o l u t i o n s&F r a c t a l s,V o l.7 6,N o.2 3 1-2 3 7.【编校:胡军福】O nB e r t r a n dD u opo lyG a m eM o d e lB a s e do n“P r i c eD i f f e r e n c e”S t r a t eg yZ HOUX i n-l i a n1,DU M i n g-j u a n2(1.S c h o o l o fM a t h sa n dC o m p u t e rS c i e n c e,H a n j i a n gN o r m a lU n i v e r s i t y,S h i y a n4 4 2 0 0 0,C h i n a;2.S c h o o l o fF i n a n c e,N a n j i n gA u d i tU n i v e r s i t y,N a n j i n g2 1 1 8 1 5,C h i n a)A b s t r a c t:I n t h eo l i g o p o l ym o d e l,m a r g i n a l p r o f i t o rm a r g i n a l u t i l i t y i so f t e nu s e d t od e c i d e t h e f i x e dp r i c e a n do u t p u td u e t ot h a t t h e f i r m sa r eu n a b l e t og e t s u f f i c i e n t i n f o r m a t i o n.B y i n t r o d u c i n g“p r i c ed i f f e r e n c e”a sa n i m p o r t a n t f a c t o r i n-f l u e n c i n gt h ed e c i s i o n m a k i n g,t h ea u t h o r ss t u d yt h es t a b i l i t ye v o l u t i o no ft h ed u o p o l yB e r t r a n dg a m e,i n c l u d i n gt h es t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u ms o l u t i o n,b i f u r c a t i o nd i a g r a ma n dt h em a x i m u m L y a p u n o ve x p o n e n td i a g r a m.T h er e s u l t ss h o wt h a t t h ed y n a m i cg a m es y s t e m a f t e rt h ei n t r o d u c t i o no ft h e“p r i c ed i f f e r e n c e”i s m o r es e n s i t i v et ot h ef i r msa d j u s t m e n tp a r a m e t e r.W h e n t h e s p e e do f a d j u s t m e n t i s s l o w,a s e r i e so f c o m p l e xd y n a m i cp h e n o m e n a s u c ha sb i f u r c a t i o na n dc h a o sw i l l a p p e a r.T h e r e f o r e,h o wt oa v o i dt h e i m p a c to fp r i c ec h a n g e so nt h e f i r mi sa n i m p o r t a n tp a r t i nt h em a n-a g e m e n to f e c o n o m i c a l a n df i n a n c i a l r i s k s.K eyw o r d s:B e r t r a n dm o d e l;p r i c ed i f f e r e n c e;b i f u r c a t i o n;c h a o sc o n t r o l周心莲,杜明娟:基于“价格差”策略的B e r t r a n d双寡头博弈模型演化分析