关于奇点集类型的分类探究问题.pdf

收稿日期：2022-12-22作者简介：闫傲寒，女，吉林榆树人，吉林师范大学数学与计算机学院在读硕士（吉林 长春 130000）.闫傲寒：关于奇点集类型的分类探究问题2023 年第 8 期第 44 卷总第 341 期学 报关于奇点集类型的分类探究问题闫傲寒摘要：文章对奇点集局部理论进行研究，讨论了从Rn Rp的光滑映射f的奇点集分类问题.文章从三个方面进行探究，分别是 Thom 的一阶奇点集、Thom 的二阶奇点集和特殊的高阶奇点集，并通过具体的例子对这几种不同的奇点集进行讨论，从而得到了奇点集的简单分类，也得到了 Boardman符号和Boardman奇点的几个重要结果，可为后续讨论映射芽的开折及稳定映射芽的分类奠定一定基础.关键词：Thom 的一阶奇点集；Thom 的二阶奇点集；高阶奇点集；Boardman 奇点中图分类号：O175.12文献标志码：A文章编号：1008-7974（2023）08-0020-06DOI：10.13877/22-1284.2023.08.004在奇点理论这门学科的研究观点中，通有性是观点之一，本质意义上来说，学术界并不关心给定一个光滑映射，它有哪种类型的奇点，以及奇点所构成的集合具有哪些性质引理.学术界要研究的是对于给定的两个微分流行M，N，给出了微分流行的维数m，n，光滑映射f：M N会有何种类型的奇点、奇点性质如何.奇点集作为奇点理论的重要分支，近年来受到越来越多学者的关注.高守平等1给出了C映射芽的 Boardman 符号的机器算法.孙美丽2、李祥贵3和黄贤通4重点研究了Jacobi 代数扩张的问题，分析总结了 Jacobi 扩张的主要研究成果和应用.李养成5介绍了微分流形上的可微映射及映射芽.盛平兴6在不依赖矩阵的特征值，不依赖任何映射的情况下，采用数学分析和微分几何综合分析的方法，对奇点进行探究.刘世泽7-8研究了奇点的基本分类问题，按照不同的拓扑结构，研究产生不同的指数规律.李学敏9、许广山10和谢大来11分别研究了高次奇点和有限奇点的拓扑分类.甘文良12研究了在局部拓扑性质下，光滑函数芽的相关性质，并且专门研究了一类特殊的1,1,0型奇点，给出了高阶奇点集的具体范例.受上述研究的启发，本文将重点研究奇点集的分类问题和 Boardman 奇点的几个相关内容，以期为奇点集的研究发展提供借鉴和参考.20闫傲寒：关于奇点集类型的分类探究问题1Thom 的一阶奇点集已知映射f在点x的 Jacobi 矩阵()fixj(x)的秩称为f在点x处的秩，记为rank f(x)13，若f的一阶微分的秩rankD f(x)小于min()m,n，则x为光滑映射f的奇点.自然要按照rankD f(x)来对奇点类型进行区分.定 义 15设f：Rn Rp为 光 滑 映 射，点x Rn.若微分Df(x)：Rn Rp的核空间具有维数i，则称点x位于集i(f)中，并说f在点x具有i类奇点.集i(f)=x Rn|dim()KerD f(x)=i称为 Thom 的一阶奇点集.于是Rn被划分为有限个一阶奇点集的并，并且在每一个奇点集i(f)上，f具有常秩.在 数学辞海（第 2 卷）14中，Thom 提出了另一种更为特别的定义方法，即把m n实矩 阵 全 体 所 形 成 的m n维 实 向 量 空 间L()m,n中，秩为r的矩阵全体所形成的集合记为Lr()m,n.把L()m,n进行自然分层，由于实向量空间L()m,n可分解为多个光滑子流行的不交并集，所以每个光滑子流行称为一个层.由于一阶导网空间J1()m,n与L()m,n又自然等同，由此可得出一阶导网丛J1()M,N的纤维是J1()m,n.用Lr()m,n代替就可以得到一个子丛.若f:M N是光滑映射，J1()f:M J1()M,N记为f的一阶导网映射，则有i=J1(f)1Lr()m,n.这样通过在导网丛中构造子丛的方法就可以得到i类奇点的定义.例 1 考 虑 Whitney 尖 点 映 射f:R2 R2，()x,y()x,3x2y y3 a2y，有Df()x,y=106xy3x2 3y2 a2，dimKerDf()x,y=0,若 3x2 3y2 a2,1,若 3x2 3y2=a2.于是0(f)=()x,y R2|3x2 3y2 a2是整个平面除去圆周3x2 3y2=a2，根据i型奇点的定义，圆周3x2 3y2=a2为f的一阶奇点集1(f)或者可以说f在该圆周上的每一点处的芽具有1类奇点，显然1(f)和0(f)都是R2的子流形.在这里需要注意的是，给出一个光滑映射f：Rn Rp的 Thom 一阶奇点集i(f)，在一般状态下，要求i(f)为微分子流形.但倘若i(f)不是微分子流形，则需要根据具体情况对f作微小改变，即对f进行形变，相应进行改变的奇点就可组成一个微分子流形.例 2设 光 滑 映 射f:R2 R2，()x,y()x2+y,y2，则Df()x,y=2x102y.于是1(f)=()x,y R2|xy=0，0(f)=R2 1(f).很显然1(f)不是R2的子流形，因为实际上它是两条坐标轴的并.所以要考虑对f作线性形变，并且对f作线性形变不影响 Jacobi 的性质.对例 2 作出如下变形，令f:R2 R2,()x,y()x2+y,y2+6x，其中：为非零实数，则有Df()x,y=2x162y，1(f)=()x,y R2|xy=，其中：双曲线1(f)是R2的微分子流形，当与 0 非常接近时，f与f也非常接近.212023 年第 8 期学 报2二阶奇点集对 光 滑 映 射f引 入 Thom 的 一 阶 奇 点 集i(f)，已知可以通过rankDf(x)来区别奇点，若rankDf(x)=min(n,p)，则x为 正 常 点.若rankDf(x)n时，k=.而且这些理想k+1，k，k 1，彼此之间又存在着包含关系，对行列式进行展开即可得到 k+1 k k 1 1 n，k=1,2,3,.（3）对 于n中 的 理 想，引 进 符 号k=n k+1，由式()3的上升序列可知，的相继Jacobi 扩张0,1，2,n满足下列包含关系=0 1 2 n n.（4）定义 53设为n中真理想，的 Jacobi扩张叫作临界的，如果k n,k+1=n，则称k为的临界 Jacobi 扩张.也就是说，的临界 Jacobi 扩张是指在式（4）中按照从左到右顺序排在最右边的真理想，假定i1为的临界 Jacobi 扩张，重复上述过程可得到的相继临界 Jacobi 扩张，设为i2,i1，如此下去可获得的一个理想上升序列i1 i2,i1 i3,i2,i1 ，则称理想具有 Boardman 符号()i1,i2,i3,.232023 年第 8 期学 报例 3 映 射 芽f()R,0()R,0,x y=x4,写 出 映 射芽f的 Boardman 符号.易见理想的相继临界 Jacobi 扩张为1I=x3，11I=x2,111I=x，0111I=111I=x，所以的 Boardman 符号为()1,1,1,0.注：确定 Boardman 符号是有一定方法的，首先要找到理想的临界 Jacobi 扩张k，其次要列出的相继临界 Jacobi 扩张的序列，最后得到 Boardman 符号.定义 68设f:()Rn,0()Rp,0是光滑映射芽，理想()f的 Boardman 符号即为f的 Boardman 符号，其中n中的理想()f由f的分量f1,fp生成.定义 78设I=()i1,i2,ik为一组非负整数，对于给定的f:()Rn,0()Rp,0是光滑映射芽，如果f的 Boardman 符号为()i1,i2,ik，则称映射芽f为i1,i2,ik型，或称f在原点处具有I类奇点，I取自理想()f的 Boardman 符号.注：记Jk,0n,pL()m,n表示从Rn Rp所有的常数项为 0 的k次多项式映射芽组成的实向量空间，在Jk,0n,p中定义子集，子集由满足条件的所有k-导网所组成，并要求它们中每一代表都为光滑映射芽且属于类I.定 理 2 设f:()Rn,0()Rp,0是 光 滑 映 射芽，定义f的 Boardman 符号为f0的 Boardman 符号，若f K-等价于光滑映射芽f0.证明 设光滑映射芽f，f0:()Rn,0()Rp,0，f=()f1,fp，f0=()1,p.首 先，若f和f0是C-等价的，即f和f0属于同一条轨道，也就是说，()f=()f0.根据定理 1，在等价群C下，f的 Boardman 符号即为f0的 Boardman 符号；其次，若f和f0是-等价的，则存在另一可逆芽g:()Rn,0()Rp,0，使得f0=f g.取可逆芽g的一组分量g1，gn为()Rn,0的局部坐标系，分别计算出f1，fp关于g1，gn的 Jacobi 矩阵和1，p关于标准坐标系x1，xn的 Jacobi 矩阵，可以得出相同的 Jacobi 扩张，因而在等价群下，f的 Boardman 符号即为f0的Boardman 符号；最后若f和f0是K-等价的，则存 在 可 逆 芽g:()Rn,0()Rp,0，使 得f g K-等价于f0，故f和f0必有相同的 Boardman 符号.定 理 3 设f:()Rn,x()Rp,y是 光 滑 映 射芽，则f的 Boardman 符号中前k个整数仅依赖于f的k-导网.证明 设x=0,y=0，即有f:()Rn,0()Rp,0，为n中的一个有限生成的理想，任意选取的 一 组 生 成 元f1，fp，并 令 理 想具 有Boardman 符号()i1,i2,ik.对k使用归纳法，理想 序 列i1，i2i1,iki2i1显 然 是 由f1，fp的阶数不大于k的偏导数所生成，并且这些生成的理想序列是否是真理想仅依赖于 所 有 这 些 偏 导 数 在 原 点 处 的 值，故f的Boardman 符号中前k个整数ik仅依赖于，即Jacobi 矩阵的k阶子式生成的理想，于是f的Boardman 符号中前k个整数ik仅依赖于f的k-导网.4结语本文力求用简明易懂的方式对奇点集进行分类叙述，分别对一阶奇点集、二阶奇点集和高阶奇点集进行探究，介绍了 Thom 的奇点集和 Boardman 的基本理论，试图深入浅出地介绍基本概念定义，并用例题进行佐助讲解，24闫傲寒：关于奇点集类型的分类探究问题以帮助读者掌握要义，让读者对奇点集有一个系统的认识.为后续用横截性描述通用形变，利用形变理论继续对 Thom 的初等突变模型进行讨论提供基础定义和理论依据，为读者继续深入研究创造条件.参考文献：1高守平，李养成.C映射芽的 Boardman 符号的机器算法 J.数学理论与应用，2002，22（2）：74-77.2孙美丽.非齐次 Nambu-Poisson 流形和 Jacobi代数的扩张 D.南昌：南昌航空大学，2017：14-15.3李祥贵.Hamilton-Jacobi 方程数值方法研究D.北京：中国工程物理研究院，2002：7-8.4 黄贤通.几类特殊结构 Jacobi 矩阵的广义逆特征问题及其应用 D.长沙：湖南大学，2007：22-23.5 李养成.Whitney 浸入定理的引伸 J.湖南师范大学自然科学学报，1984（1）：11-16.6 盛平兴.奇点的分类和稳定性 J.上海大学学报（自然科学版），1997，3（5）：100-105.7 刘世泽.关于奇点分类的问题 J.内蒙古大学学报（自然科学版），1964（2）：77-86.8 刘世泽.n维空间奇点的拓扑分类 J.数学进展，1965，8（3）：217-242.9 李学敏.平面五次微分系统高次奇点的拓扑分类 J.数学物理学报，1996，16（1）：1-8.10 许广山.具两个零特征根五次系统高次奇点的拓扑分类 J.山东师范大学学报（自然科学版），1997，12（2）：6-11.11 谢大来.()E2有限奇点的拓扑分类 J.西北大学学报（自然科学版），1983（1）：21-28.12 甘文良.高余维光滑函数芽和强相对稳定映射芽的分类 D.长春：东北师范大学，2019：73-76.13谢毅，徐聪.矩阵的秩的三种常见的应用J.数学学习与研究，2020（9）：154-156.14 刘绍学，朱元森.数学辞海 M.第 2 卷.太原：山西教育出版社，2002：722-729.（责任编辑：陈衍峰）On the Classification of Singular Point Set TypesYAN Ao-han（School of Mathemafics and Computer Science，Jilin Normal University，Siping 136000，China）Absrtact：This paper focuses on the research of local theory of singularity set，The purpose of this paperis to discuss the point classification of singularities of smooth mapping f fromRn Rp.This paperdescribes it from three aspects，namely，the first order singularity set，the second order singularity set，andspecial higher order singularities.Three different sets of singular points are discussed through specificexamples.Thus，the simple classification of singular point set is obtained and some important results ofBoardman symbols and Boardman singularities are introduced.It is helpful for readers to understand theknowledge point of singularity set，and it is convenient for readers to inquire and discuss.It is preparedfor further discussion of the unfolding and stability of map germs.Keywords：the first order singularity set；the second order singularity set；higher order singularities；Broadman singularity 25