工程力学-第九章-梁的应力及强度计算.doc

课 时 授 课 计 划
授课日期
2011.10.23

班 别
1044-3

题 目
第九章 梁的应力及强度计算

目
的
要
求
Ø 掌握弯曲应力基本概念；
Ø 掌握弯曲正应力及弯曲剪应力的计算；
Ø 掌握弯曲正应力的强度计算；
Ø 掌握弯曲剪应力强度校核。

重

点

梁应力的计算、弯曲强度计算

难

点

弯曲正应力的强度计算和、弯曲剪应力的强度校核
教 具
课本
教 学 方 法
课堂教学

报

书

设

计
第九章 梁的应力及强度计算
第一节 纯弯曲梁横截面上的正应力
第二节 梁的正应力强度条件
第三节 梁的剪应力强度条件
第四节 提高梁弯曲强度的措施
教学过程：
复习：1、复习刚架的组成及特点。
2、复习平面静定刚架内力图的绘制过程。
新 课：

第九章 梁的应力及强度计算
第一节 纯弯曲梁横截面上的正应力
一、纯弯曲横梁截面上的正应力计算公式
平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩M，而无剪力Q = 0，这种弯曲称为纯弯曲。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察

现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。

2、假设

（1）平面假设：梁变形后，横截面仍保持为平面，只是绕某一轴旋转了一个角度，且仍与变形后的梁轴曲线垂直。

中性层：梁纯弯曲变形后，在凸边的纤维伸长，凹边的纤维缩短，纤维层中必有一层既不伸长也不缩短，这一纤维层称为中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

中性轴将横截面分为两个区域——拉伸区和压缩区。

注意：中性层是对整个梁而言的；
中性轴是对某个横截面而言的。
中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。

2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。

3、推理
纯弯曲梁横截面上只存在正应力，不存在剪应力。

二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律
由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由胡克定律可知

通过上式可知横截面上正应力的分布规律，即横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴之间的距离成正比，也就是正应力沿截面高度呈线性分布，而中性轴上各点的正应力为零。

三、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式
梁在纯弯曲时的正应力公式：

式中：σ——梁横截面上任一点的正应力；
M——该点所在横截面的弯矩；
Iz——横截面对其中性轴z的惯性矩；矩形= ；圆形=
y——所求正应力点到中性轴的距离。

正应力的单位为：Pa或MPa，工程上常用MPa。

公式表明：梁横截面上任一点的正应力σ与截面上的弯矩M 和该点到中性轴的距离成正比，而与截面对中性轴的惯性矩 IZ 成反比。

在中性轴上（y=0），正应力为零。离中性轴越远，正应力越大。在横截面上、下边缘各点处（y=ymax），正应力达到最大值。

应力σ的正负号直接由弯矩M的正负来判断。M为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。

第二节 梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即

对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：

二、常用截面的惯性矩与抗弯截面系数
1、常用截面的惯性矩IZ
惯性矩是截面各微元面积与各微元至截面上某一指定轴线距离二次方乘积的积分。
它是与截面的形状及尺寸相关的几何量。

64
)
(
4
4
d
D
I
I
C
C
y
z
-
=
=
p

2、常见截面的抗弯截面系数
在对梁进行强度计算时，总要寻找最大正应力。有公式可知，当y=ymax时，即截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大。

三、弯曲正应力强度的计算
应用强度条件公式，可解决梁的强度方面三类问题。
（1）强度校核
在已知梁的材料、截面形状与尺寸（即已知[]和WZ值）以及所受荷载（即已知M）的情况下，用强度条件检查梁的最大正应力是否满足强度条件。即

（2）截面设计
当已知荷载和所用材料（即已知M和 []）时，可根据强度条件，设计截面尺寸。

求出WZ后，进一步根据所用梁的截面形状来确定尺寸。若采用型钢时，则可由型钢表查得所用型钢的型号。

（3）计算许可载荷
若已知梁的材料及截面尺寸（即已知[]和WZ），则可根据强度条件确定梁的许用弯矩[M]。

根据[M]，用平衡条件确定许用外载荷。
在进行上列各类计算时，为了保证既安全可靠又节约材料的原则，设计规范还规定梁内的最大正应力允许稍大于[]，但以不超过[]的5%为限。即

3、进行强度计算时应遵循的步骤
（1）分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力，分析梁的内力（画出弯矩图）。
（2）依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险截面：对等截面梁，弯矩最大截面即为危险截面。
（3）确定危险点
（4）依据强度条件，进行强度计算。

第三节 梁的剪应力强度条件
一、概念
梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。

对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力t均与剪力Q同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。

根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：

式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；
Q—该截面上的剪力；
b—需求剪应力作用点处的截面宽度；
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。

剪应力的单位与正应力一样。剪应力的方向规定与剪力的符号规定一样。

二、矩形截面横梁截面上的剪应力
如图所示高度h大于宽度b的矩形截面梁。横截面上的剪力Q沿y轴方向作用。

将上式带入剪应力公式得：

上式表明矩形截面横梁截面上的剪应力，沿截面高度呈抛物线规律变化。
在截面上、下边缘处y=±h/2,则=0；在中性轴上，y=0，剪应力值最大，其值为

即

上市说明：矩形截面横梁截面上的最大剪应力为平均剪应力Q/A的1.5倍。

综上所述：剪应力沿其截面高度的分布规律与正应力不同，正应力最大的在截面的上下边缘各点，剪应力为零；剪应力最大的在中性轴上各点，正应力为零。

三、工字形横截面的剪应力
工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。

1)腹板上的剪应力：腹板为狭长矩形,承担截面绝大部分剪应力，剪应力沿腹板高度按抛物线规律分布，故中性轴处有最大剪应力；在腹板与翼板的交界处，剪应力与最大剪应力相差不多，接近于均匀分布。

2)翼缘上的剪应力：翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很小且分布复杂，一般不考虑；水平分量认为沿翼缘厚度均匀分布，计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间存在“剪应力流”的规律。

由理论分析可知，工字形截面的腹板上几乎承受了截面上的95%左右的剪力，而且腹板上的剪应力又接近于均匀分布，故可以近似得出工字形截面最大剪应力的公式：

式中：d、h1—腹板的宽度和高度；
Q—横截面上的剪力。

工程中，工字钢常采用轧制的工字型钢，由下式计算它的最大剪应力：

式中：——工字形截面中性轴一侧面积对中性轴的惯性矩；
——可以直接由型钢表中查取（书P261），代入上式进行计算；
b——腹板的宽度，可以查型钢表确定。

四、圆形截面横梁截面上的最大剪应力
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。

其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。

结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。

五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：

在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
但在下列几种情况下，还需作剪应力强度校核：
（1）梁的跨度很短而又受到很大的集中力作用，或在支座附近作用有较大的集中荷载，此时梁的最大弯矩较小，但最大剪力却很大。
（2）工字梁的腹板宽度很小，或某些铆接或焊接的组合截面钢梁中，其腹板宽度与高度之比小于一般型钢截面的相应值时，此时腹板上的剪应力可能较大。
（3）木梁。由于木材在顺纹方向的抗剪强度很差，当横截面中性轴上有较大的剪应力时，根据剪应力互等定理，梁的中性层上也产生较大的剪应力，可能使木材沿顺纹方向破坏。

第四节 提高梁弯曲强度的措施
一、提高梁弯曲强度的措施
根据弯曲正应力的强度公式，减小梁的工作应力的途径：
A、降低最大弯矩值Mmax
B、增加截面的抗弯截面系数WZ
（1）合理安排梁的支座与荷
当荷载一定时，梁的最大弯矩Mmax与梁的跨度有关，因此，应合理安排支座。
如果结构允许，应尽可能合理地布置梁上的荷载。把梁所受的一个集中力分为几个较小的集中力，梁的最大弯矩就会明显减小。

（2）采用合理的截面形
1）从应力分布规律考虑
应使截面面积较多的部分布置在离中性轴较远的地方。
从应力分布情况看，工字形、槽形等截面形状比面积相等的矩形截面更合理，而圆形截面又不如矩形截面。凡是中性轴附近用料较多的截面就是不合理截面。

2）从抗弯截面系数WZ考虑
应在截面面积相等的条件下，使得抗弯截面系数WZ尽可能地增大(IZ 越大越好)，由式Mmax=[σ] WZ可知，梁所能承受的最大弯矩Mmax与抗弯截面系数WZ成反比。所以，从强度角度看，当截面面积一定时，WZ值越大越有利。

3）从材料的强度特性考虑
应合理的布置中性轴位置，使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到材料的容许应力。
对抗拉和抗压强度相等的材料，一般采用对称于中性轴的截面形状，如矩形、工字形、槽形、圆形等。对抗拉和抗压强度不相等的材料，一般采用菲对称截面形状，使中性轴偏向强度较低的一边，如T字形、槽形等。

（3）等强度梁
将梁制成变截面梁，使各截面上的最大弯曲正应力与材料的许用应力[σ]相等或接近。

小结：
1、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律
2、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式
3、常用截面的惯性矩与抗弯截面系数
4、梁的正应力强度条件及应用
5、梁的剪应力强度校核
6、提高梁弯曲刚度和强度的措施

课后作业：书P170 8-1、8-3（d）